사면체 삼각법

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "4면체의 트리거링" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2015년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

사면체의^[1] 삼각법은 일반 사면체의 길이와 다양한 유형의 각도 사이의 관계를 설명한다.

삼각수량

고전 삼각수량

다음은 일반적으로 일반 사면체와 관련된 삼각량이다.

• 6개의 가장자리 길이 - 사면체의 6개의 가장자리와 연관됨.
• 12면각 - 4면체의 4면 각각에 3개가 있다.
• 4면체의 어떤 두 면도 가장자리로 연결되기 때문에 6면 각은 4면체의 6 가장자리와 연관된다.
• 사면체의 각 지점과 연관된 4개의 단각.

Let ${\displaystyle X={\overline {P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}}}}$ be a general tetrahedron, where ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$ are arbitrary points in three-dimensional space.

나아가$$ e ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$}}$와 ${\displaystyle P_{}}$ $j{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $P_$${j}$를 결합하는 가장자리가$$ 되게 하고, $F{\displaystyle {}_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 P i ${\$과(와)의 반대쪽$$ 사면처럼 되게 한다.

• ${\displaystyle e_{ij}={\overline {P_{i}P_{j}}}}}}}$
• ${\displaystyle F_{i}={\overline {P_{j}P_{k}P_{l}}}}}}}}}}}$

여기서 $i{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \in \{1,}$ 2,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}},$ $i$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle j}$ ≠ ${\displaystyle k\ne }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle i\neq j\neq k\neq l$

다음 수량을 정의하십시오.

• ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ $$= 에지 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 길이
• ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {i,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ = $얼굴{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ j$$ ${\$ 지점의 $얼굴{\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle j_{}}$ ${\$
• ${\displaystyle {\theta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ $$= 가장자리 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$에 인접한 두 면 사이의 디헤드랄 각
• ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $$= ${\displaystyle P_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 지점에서의 솔리드 각도

면적 및 부피

$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 $얼굴{\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle F_{i}}$의 영역으로$$한다. 이러한 영역은 헤론의 공식으로 계산할 수 있다(가장자리 길이가 모두 알려진 경우).

${\displaystyle \Delta _{i}={\sqrt {\frac {(d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(-d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}-d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}+d_{jl}-d_{kl})}{16}}}}$

또는 다음 공식(각도와 두 개의 해당 가장자리가 알려진 경우):

${\displaystyle \Delta _{i}={\frac {1}{2}}d_{jk}d_{jl}\sin \alpha _{j,i}}}$

$h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를$)$ P i {\$displaystyle P_{i}$ 지점에서 얼굴 F ${\displaystyle i_{}}$ ${\$까지의 고도로 한다$$$.$4면체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 볼륨은 다음 공식으로 제공된다$$.

다음과 같은 관계를 만족한다.^[2]

${\displaystyle 288V^{2}={\begin{vmatrix}2Q_{12}&Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}\\Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&2Q_{13}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}\\Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}&2Q_{14}\end{vmatrix}}}$

여기서 ${\displaystyle {Qi}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$은 가장자리의 쿼드런스(길이 제곱)이다$$.

삼각측량 기본 명세서

아핀 삼각형

Take the face ${\displaystyle F_{i}}$; the edges will have lengths ${\displaystyle d_{jk},d_{jl},d_{kl}}$ and the respective opposite angles are given by ${\displaystyle \alpha _{l,i},\alpha _{k,i},\alpha _{j,i}}$.

삼각형의 평면 삼각측정에 대한 일반적인 법칙은 이 삼각형을 지탱한다.

투영 삼각형

P ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 지점의 투사형(구형) 삼각형을 고려하십시오$.$ 이 투사형 삼각형의 정점은 4면체의 다른 세 정점과 P$$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 결합하는 세 개의 선입니다.The edges will have spherical lengths ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ and the respective opposite spherical angles are given by ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}}$.

구면 삼각측정에 대한 일반적인 법칙은 이 투영 삼각형을 고수한다.

사면체 삼각법칙

교번신 정리

$사면체{\displaystyle {}_{}}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle {취하고}_{}}$ P i ${\$ 점을 꼭지점으로 간주한다$$.교류신 정리는 다음과 같은 정체성에 의해 주어진다.

하나는 이 정체성의 양면을 표면의 시계 방향과 시계 반대 방향 방향에 해당하는 것으로 볼 수 있다.

모든 형태의 4면체의 공간

네 개의 정점 중 하나를 O의 역할에 넣으면 네 개의 정점이 나오지만, 그 중 세 개의 정점 중 세 개의 정점 중 "시계 방향"이 곱되고 제품이 동일한 세 개의 정점의 "시계 반대 방향"의 제품과 동일하다고 추론되면 공통 요인은 취소된다.양쪽을 모두 롬으로, 결과는 네 번째 정체성이다.

세 각은 만약 합이 180°(수평 라디안)일 경우에만 일부 삼각형의 각이다.그들이 어떤 사면체의 12 각이 되기에 12 각도에서 어떤 조건이 필요하고 충분한가?분명히 사면체의 어떤 면의 각도의 합은 180°여야 한다.그런 삼각형이 네 개 있기 때문에 각도의 합에 있어서 그런 제약이 네 개 있고, 따라서 자유의 도수는 12개에서 8개로 줄어든다.사인법에 의해 주어진 4개의 관계는 4번째 제약이 처음 3개의 제약과 독립되어 있지 않기 때문에 8개에서 4개가 아닌 5개로 자유도를 더욱 감소시킨다.따라서 모든 형태의 4면체의 공간은 5차원이다.^[3]

사면체용 사인 법칙

참조: 시인의 법칙

사면체 코사인 법칙

사면체^[4] 코사인 법칙은 한 점에 대한 사면체의 각 면과 이면 각도의 면적을 연관시킨다.그것은 다음과 같은 정체성에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$

사면체의 이면각 사이의 관계

일반 사면체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 사용하여$$ ${\displaystyle {Fi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ k ${\$ 면들을 투영하십시오.$얼굴{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ l ${\displaystyle$ $F_{l}}}}}{{$l$\}\}\}\}$이(가) 있는 평면 위로$$ $F_{j}.$ Let $c{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle j_{}}$ ${\$

그 다음 면 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$ 면적의 합은 다음과 같이 주어진다$$.

$사면체$의 네 면 각각으로$$ i${\displaystyle }$, j${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$ $1$,${\displaystyle \mathrm{k}}$ ,${\displaystyle 3}$ , ${\displaystyle 4\}}$ ${\displaystyle$ i$,j,k,l\in \{1,2$,3,$4,}}}$을 대체함으로써 다음과 같은 균일한 선형 방정식 체계를 얻는다.이 균질 시스템은 다음과 같은 경우에 정확하게 해결책을 가질 것이다.이 결정인자를 확대함으로써 다음과 같이 사면체의 이면각 사이의 관계를 얻는다.^[1]

사면체 모서리 사이의 스큐 거리

Take the general tetrahedron ${\displaystyle X}$ and let ${\displaystyle P_{ij}}$ be the point on the edge ${\displaystyle e_{ij}}$ and ${\displaystyle P_{kl}}$ be the point on the edge ${\displaystyle e_{kl}}$ such that the line segment ${\disp$$laystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$ is perpendicular to both ${\displaystyle e_{ij}}$ & ${\displaystyle e_{kl}}$. Let ${\displaystyle R_{ij}}$ be the length of the line segment ${\displaystyle {\overline {P_{ij}P_{kl}}}}$.

$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을(를) 찾으려면$$^[1]:

$먼저$ e ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$}}$에 평행하게 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$displaystyle e_{i$}$를 통해 선을 구성하고$$, $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 평행하게$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$$displaystytle$ $P_{i}$를 통해 다른 선을 구성한다$.$Join the points ${\displaystyle O}$ and ${\displaystyle P_{j}}$. By construction, ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}}$ is a parallelogram and thus ${\displaystyle {\overline {OP_{k}P_{i}}}}$ and ${\displaystyle {$$\overline{OP_{l}P_{i}}}}}}}$은(는) 일치 삼각형이다$$.따라서 사면체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$${\displaystyle }$= O ${\displaystyle P\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{P_{}}}$ k $'{\$은 부피가 같다$$.

As a consequence, the quantity ${\displaystyle R_{ij}}$ is equal to the altitude from the point ${\displaystyle P_{k}}$ to the face ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$ of the tetrahedron ${\displaystyle Y}$; this is shown by translation of the line segment ${\displaystyle \stackrel{}{P_{ij}}}$${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{Pk}_{}}}$ $'{\$kl$\}\}\}\}\}\}\}\}.$

볼륨 공식에 의해 4면체 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 다음 관계를 만족한다$$.

where ${\displaystyle \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})}$ is the area of the triangle ${\displaystyle {\overline {OP_{i}P_{j}}}}$. Since the length of the line segment ${\displaystyle {\overline {OP_{i}}}}$ is equal to ${\displaystyle d_{kl$$}}}}($$O{\displaystyle \stackrel{}{}}$ P ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{L_{}}}$ P $'{\$은(는) 평행사변형이다. 여기서 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$따라서 이전 관계는 다음과 같이 된다.${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \sin \lambda }$을$($를) 얻으려면 두 개의 구형 삼각형을 고려하십시오.

1. Take the spherical triangle of the tetrahedron ${\displaystyle X}$ at the point ${\displaystyle P_{i}}$; it will have sides ${\displaystyle \alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}}$ and opposite angles ${\displaystyle \theta _{ij},\theta _{i$$k},\theta _{il$ 코사인(cosin)의 구형 법칙에 의해:
   $${\displaystyle \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos _{i,j}+\sin \cos \cos \cos \{i,j}\cos \cos \cos _{i,l}}}}}}}.$$

   
2. $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 지점에서$$ 사면체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 구면 삼각형을 취하십시오$.$The sides are given by ${\displaystyle \alpha _{i,l},\alpha _{k,j},\lambda }$ and the only known opposite angle is that of ${\displaystyle \lambda }$, given by ${\displaystyle \pi -\theta _{ik}}$. By the spherical law of cosines:
   $${\displaystyle \cos \cos \cos \cos \i,l}\cos \cos \cos _{i,j}-\sin \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos _{i,l}-\cos _{ik}}}}}$$

   

두 방정식을 조합하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cos \lambda$}을$$(를) 제목:

따라서 코사인 법칙과 일부 기본 삼각법을 사용하는 것은 다음과 같다.따라서 다음과 같다.자:${\displaystyle {Ri}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$과(${\displaystyle {와}_{}}$)$$ l {\$displaystyle$R_{$il}$은(는) 가장자리 길이의 순열을 통해 얻는다$$.

분모는 일반적인 볼록한 사각형의 면적을 평가하는 브렛슈나이더-본 스토트 공식의 재형식이라는 점에 유의한다.

참조