삼선형 보간법

삼선형 보간은 3차원 정규 그리드에서 다변량 보간 방법이다.격자점의 함수 데이터를 사용하여 로컬 축 직사각형 프리즘 내의 중간 지점$,$ $,$ z$)의 함수$ 값에 근접합니다$$.임의의 비구조적 망사(유한 요소 분석에서 사용됨)의 경우 다른 보간 방법을 사용해야 합니다. 모든 망사 요소가 사면체(3D 단순)인 경우, 중심 좌표는 간단한 절차를 제공합니다.

삼선형 보간은 수치 분석, 데이터 분석 및 컴퓨터 그래픽스에서 자주 사용됩니다.

선형 및 쌍선형 보간과 비교

삼선형 보간은 $치수{\displaystyle }$ D ${\displaystyle =}$ {$디스플레이스타일$ D$=1$인 공간에서 작동하는 선형 보간과 $치수{\displaystyle }$ D ${\displaystyle =}$ {$디스플레이스타일$ D$=2$로 작동하는 쌍선형 보간을 $치수{\displaystyle }$ D ${\displaystyle =}$ {$디스플레이스타일$ D=3$\}$까지 확장한 것입니다.이러한 보간 방식은 모두 차수 1의 다항식을 사용하여 차수 2의 정확도를 제공하며, 보간 지점 주위에 2 ${\displaystyle D^{}}$ $=$ {\$displaystyle$ 2$^{D$}=$8}$개의$$ 인접 사전 정의된 값이 $필요$합니다.순서 1의 3차원 텐서 B-스플라인 보간과 동일한 3차원 보간법에 도달하는 방법은 여러 가지가 있으며, 3차원 보간 연산자 또한 3개의 선형 보간 연산자의 텐서 곱이다.

방법

주기 및 입방체 격자에서 x ${\displaystyle d_{}}$ ${\$${d$$\}\},$ $y{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle y_$${\$$text$${d$$\}\}$ 및 ${\displaystyle z_{}}$ d$${\$displaystyle$ $z$$}$는 각각$$x {\$displaystyle$x$\},$$y{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ y$\},$$z{\displaystyle }$ {\$d$$}$와 관련된 작은 좌표의 $차이$입니다.

${\displaystyle {d}x_{\text{d}=param frac {x-x_{0}}\y_{\text{d}}=param frac {y-y_{0}{y_{0}}\z_{\text{d}}}}\y_{0z}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 x 0$({$은$$x({$displaystyle$x$\})$ $아래$의 격자점을 $나타내고{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$$({displaystyle$$x$$})$ $위$의 격자점을 나타냅니다.${\displaystyle {또\mathrm{}}_{}{}_{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {y1\mathrm{}}_{}}$, z$$0({$0}, y_{$1} $및$ $z$$$({$displaystyle z_1$도 $마찬가지$입니다.

먼저 x$({displaystyle$x})($$${\displaystyle {\mathrm{C0}}_{}}$ $(\$C_{$0jk})$에 의해 정의된 큐브의 면을 ${\displaystyle {\mathrm{C1}}_{}}$ $(\$에 의해 정의된 반대 면에 "푸시"한다고 가정함)에 따라 보간합니다.

${\displaystyle {d}c_{00}&=c_{000}(1-x_{\text{d})+c_{100}x_{\text{d}}\c_{01}&=c_{001}(1-x_{\text{d}})+c_101}x_{c}&{c}$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서 c 000$({$})은${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$0 ${\displaystyle )}$의 함수값을 의미합니다$.{$ $displaystyle$($x$_ {$0$ , y _ 0 , y _ 0 , z$_$ { $0$} ).} 그런$$ 다음 $이러한{\displaystyle }$ 값(\$displaystyle$y$\},$ $0k$(\$displaystyle$C_${i0k$})에서 $1k$(\displaystyle$C_{i1k$})$$로 "푸싱")을 보간하여 다음을 제공합니다$.$

${\displaystyle {d} c_{0}&=c_{00}(1-y_{\text{d}})+c_{10}y_{\text{d}}\c_{1}&=c_{01}(1-y_{\text{d})+c_{11}y_{\text{\d}}\end}} 정렬$

마지막으로 z$\style$z를 $$$따라{\displaystyle }$ 다음 값을 보간합니다(직선을 따라 이동).

$(\displaystyle c=c_{0}(1-z_{\text{d}})+c_{1}z_{\text{d}}).}$

이것으로 점의 예측값을 얻을 수 있습니다.

3선 보간 결과는 3개의 축을 따라 보간 스텝의 순서와 무관합니다. 예를 들어 x$\displaystyle$ y$\displaystyle$ $y\backslash ,$ 마지막으로 $\displaystyle$z$\backslash$ 등의 다른 순서가 동일한 값을 생성합니다.

위의 조작은 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.먼저 관심 지점을 둘러싼 큐브의 여덟 모서리를 찾습니다.이러한 모서리에는 c $(\$000$\}),$$$ $100{\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle$$c_{$100$\}),$$$$010$(\$displaystyle c_${110$}),$ $c{\displaystyle {}_{}}$ $(\$ $(\$$displaystyle c_011$ $등$의 $값$이 있습니다.displaystyle $c_{display$ 를 $지정$합니다.

다음으로 c $({$$\})$과 c $({$$100$$})$ $사이$의 선형 보간을 실행하여 ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ ${\displaystyle {00}_{}}$$({$ $c_$${$$00$$}),$ $c{\displaystyle {}_{}}$ $({$$displaystyle c_{$$001})$ $및$ c ${\displaystyle {101}_{}}$$({$$displaystyle$ c_101)을 찾습니다$.$$$${\displaystyle {\mathrm{c\_}}_{}}$${011}$ $및$ $({$$displaystyle c_{$11$\}),$ $c{\displaystyle {}_{}}$$$$({$$})$ $및{\displaystyle {}_{}}$ c $({$$10$})을$$$$$$ $검색$하여 $({$10$\})$을 검색합니다.

다음으로 c $({$과 c $({$${10$$})$ $사이$에서 보간 처리를 하여 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 0$({$${0$$\}),$ c$$({$displaystyle c_$${$01$$$})$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ 11$({$$displaystyle c_{$$11$$\})$을 $.$ 마지막으로 값$c{\displaystyle }${$displaystyle$ c_{$style$ c}를 계산합니다.c 0$$({display$style c_{$0$$}) $c$ 1({$displaystyle c_{$1})의 선형 $보간$으로 }을$($를) 사용합니다.

실제로, 삼선형 보간은 선형 보간과 결합된 두 개의 쌍선형 보간과 동일합니다.

${\displaystyle c\approx l\left(b(c_{000}, c_{010}, c_{100}, c_{110}), b(c_{001}, c_{011}, c_{1011}\right)}$

대체 알고리즘

보간 문제에 대한 해결책을 쓰는 다른 방법은

$\displaystyle f(x,y,z)\about a_{0}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_{4}}xy+a_{5}xz+a_{6}yz+a_{7}xyz}$

여기서 계수는 선형 시스템을 풀어서 찾을 수 있다.

$1}&y_{1}&, z_{0}&, x_{1}y_{1}&, x_{1}z_{0}&, y_{1}z_{0}&, x_{1}y_{1}z_{0}\\1&, x_{0}&, y_{0}&, z_{1}&, x_{}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{bmatrix}}=param {bmatrix}c_{000}\c_{100}\c_{010}\c_{001}\c_{101}\c_{011}\c_{param}\end{bmatrix},\end{aligned}}$

결과를 낳다

$1}={}&.{){0}}{()+c_{101}x_{0{1}-c_{1{0}-x_{1}(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}.\end { aligned}}$

「 」를 참조해 주세요.

• 선형 보간법
• 쌍선형 보간법
• 삼입방체 보간법
• 반지름 보간법
• 사면체 보간법

외부 링크

• (C find Xd, Yd 및 Zd의 정점과 값이 주어짐)는 NASA의 유사 코드이며, 반복적인 역삼선형 보간법을 설명합니다.
• 폴 부르크, 보간법, 1999년이진 논리에 기반하고 모든 차원(테트라리니어, 펜탈리니어 등)으로 확장할 수 있는 3선형 보간을 찾는 매우 영리하고 간단한 방법이 포함되어 있습니다.
• 켄라이트, 자유 형태의 사면체 변형.비주얼 컴퓨팅에 관한 국제 심포지엄.Springer International Publishing, 2015 [1].