트위스트 에드워즈 곡선

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대수기하학에서 트위스트 에드워즈 곡선(twisted Edwards curve)은 ^[1]번스타인, 버크너, 조예, 랭, 피터스가 2008년에 도입한 에드워드 곡선의 일반화이다.곡선 집합은 수학자 해롤드 M의 이름을 따서 명명되었다. 에드워즈.타원 곡선은 공개 키 암호화에서 중요하며 Edwards 곡선은 다른 디지털 서명 방식에서 표면화된 보안 문제를 방지하면서 고성능을 제공하는 EdDSA라는 전자 서명 방식의 핵심입니다.

정의.

각 트위스트 에드워즈 곡선은 에드워즈 곡선의 트위스트입니다.${\displaystyle 필드\mathbb{}}$ K${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle \mathbb$$${$K$${\displaystyle \})}$ 위에$$ 문자$$curve 2(\$displaystyle \operatorname {char}(\displaystyle$ {K$$$})$가 ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ 비틀린 Edwards E ${\displaystyle {E_{}}_{}}$ ${\displaystyle {a{}_{,}}_{}}$ $(\$ E_${a,$$d}})$는 다음 방정식으로 정의된 아핀 곡선입니다.

$\displaystyle E_{E_{a,d}:ax^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2}}$

$여기$서 a${\displaystyle ,}$ $,$ $displaystyle$ a$, d$는 K$(\$의 0이 아닌 개별 요소입니다$.$ $특별$한 경우 a = 1(\$displaystyle$ a$=1)$은 곡선이 일반적인 Edwards 곡선으로 감소하기 때문에 사용되지 않습니다.

모든 꼬인 에드워즈 곡선은 선천적으로 몽고메리 형태의 타원 곡선과 동등하며 ^[2]그 반대도 마찬가지입니다.

그룹법

모든 타원 곡선과 트위스트 에드워즈 곡선의 경우 두 점을 더하거나 하나를 두 번(또는 세 번)하는 등 점 사이의 연산을 수행할 수 있습니다.이러한 연산의 결과는 항상 곡선 자체에 속하는 점입니다.다음 절에서는 다른 두 점 사이의 덧셈(더하기)으로 인한 점의 좌표 또는 곡선에서 단일 점이 두 배로 증가하여 발생한 점의 좌표를 얻기 위해 몇 가지 공식이 제공됩니다.

트위스트 에드워즈 곡선에 추가

K$(\$를 2와 다른 특성을 가진 필드로 $합니다{\displaystyle \mathbb{}}$.( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$1)$${style $(x_{1}, y_{1})$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2, ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$)$${$displaystyle (x_{2}, y_{2})$을 비틀린 Edwards 곡선의 점으로 합니다$.{\displaystyle }$트위스트 에드워즈 곡선의 방정식은 다음과 같이 작성된다.

E_E,a,d: $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$ + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2 ({$displaystyle$ ax$^{2}+y^{2}=1+$displaystyle $^{2}y^{2$

E 위의_E,a,d 이들 포인트$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle ),}$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$2 , y 2$)(x_${1$},$ y_{$1}),$ ($x_{2})의$합계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle (x_{1},y_{1}+(x_{2})=\leftflac\frac {x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}}{1+flac_{1}}x_{2}y_{1}y_{2}},{\frac {y_{2}y_{2}-ax_{1}x_{2}{1-frac_{1}x_{2}y_{2}y_{2}}\right}}$

중립 요소는 (0,1)이고 (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$1)의$음수$는${\displaystyle }$($x_{1}, y_{1})$입니다$.{\displaystyle }$ ( - ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1, ${$1})는 ${\displaystyle {}_{}}$ x 1 )($x_{1}, y_{$1})입니다.

이러한 공식은 두 배에도 적용됩니다.K{\displaystyle \mathbb{K}에서 있는 사각형}과 K{\displaystyle \mathbb{K}에서}non-square은 d, 이 공식들:이것은 그들이 점의 예외 없이 모든 쌍들을 위하여;그래서 그들은 그만큼 잘 두배로 증가하고 중립적인 요소와 부정적인 입력으로 받아들여지고 일하는 사용될 수 있다는 것 완료되었다.[3][검증 실패한]

추가 예시

a = 3 및 d = 2일 때 다음과 같은 비틀림 Edwards 곡선이 주어집니다.

${\displaystyle 3x^{2}+y^{2}=1+2x^{2}y^{2}}$

$위$의 공식을 사용하여${\displaystyle }$P $1$ ( 1, ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ) { $displaystyle$ P_{1}$=$ ($1$, ${\$$sqrt$ {2$}}$ )$$} ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$ P 2 ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$2 ) { $displaystyle P_${2} = ( 1$,$ - {\$sqrt${2}}}} } $지점$을 $추가$할 수 있습니다.결과는 다음과 같은 좌표를 갖는 점₃ P입니다.

${\displaystyle x_{3}=black {x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}}{1+black_{1}}x_{2}y_{1}y_{2}}=0,}$

${\displaystyle y_{3}=black {y_{2}y_{2}-ax_{1}x_{2}{1-black_{1}x_{2}y_{1}y_{2}=-1.}$

비틀린 Edwards 곡선에서의 더블링

곱셈은 덧셈과 정확히 동일한 공식으로 수행할 수 있습니다.곡선_a,d E에서 점$({\displaystyle {}_{}{}_{}}$1, y$)({displaystyle (x_{1},y_{1$}))의$$ 배율은 다음과 같습니다.

$\displaystyle 2(x_{1},y_{1})=(x_{3},y_{3})}$

어디에

${\displaystyle {\displaystyle}x_{3}&=displayfrac {x_{1}y_{1}+y_{1}x_{1}{1+displaystyle_{1}}x_{1}y_{1}y_{1}}=black {2x_{1}y_{1}{ax_{1}^{2}+y_{1}}^{2}\\[6pt]y_{3}&=superfrac {y_{1}y_{1}-ax_{1}x_{1}x_{1}y_{1}=superfrac {y_{1}y_{1}y_{1}y_{1}=superfrac {y_{1}y_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_y_y_{1}x_y_y_y_{1}x_{1}}}{y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_{1}}}}\end { aligned}}$

곱셈의 분모는 곡선 $방정식{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ -$$ ({$display style dx^{2}$y^{2}=$ax^{2}+$by$^{2$}-1$\})$을 사용하여 단순화됩니다. 이렇게 하면 4에서 2로 출력이 감소하여 보다 효율적으로 계산할 수 있습니다.

더블링의 예

앞의 예에서 제시한 것과 동일한 비틀림 Edwards 곡선을 고려하면 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 1 $=$ ($$, ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$)${\displaystyle }${$display P_{1$}=($1,{\sqrt {2}})$ $점$을 두 배로 늘릴 수 있습니다$.$위의 공식을 사용하여 얻은 점 2P의₁ 좌표는 다음과 같습니다.

${\displaystyle x_{3}=black {2x_{1}y_{1}}{ax_{1}^{2}+y_{1}}^{2}}=black {2blackrt {2}}{5},}$

${{displaystyle y_{3}=black {y_{1}^{2}-ax_{1}^{2}}{2-y_{1}^2}=black {1}{3}}.}$

${\displaystyle {}^{}}$의 계산으로 점 P3$=$ ( ${\displaystyle \frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{5}{\mathrm{}}}$ , ${\displaystyle 1\frac{3}{}}$ $){$ $display$ $style$ P_${3$}=\$left ({\frac {2clashrt {2}}{5}},$ {\$frac${1$}{$3${\displaystyle \}\}\backslash }$$frac$ {${\displaystyle 2}$} ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ + ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 2$^2$$})$$이$ $곡선$에 속함을 알 수 있습니다.

확장 좌표

뒤틀린 에드워즈 곡선의 점을 나타낼 수 있는 또 다른 종류의 좌표계가 있습니다.${\displaystyle {x2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}1}$ + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $위$의 점$x$ $)$ {$displaystyle$ ($x, y, z$)}은(는) X, Y$,$ Z$,$ T = 다음$$방정식을 만족시키는 X, Y, Z, T로 나타낸다.

점의 좌표(X:Y:Z:T)를 확장 트위스트 에드워즈 좌표라고 합니다.아이덴티티 요소는 (0:1:1:0)로 표시됩니다.점의 음수는 (-X:Y:Z:−T).

반전 트위스트 에드워즈 좌표

점의${\displaystyle }$좌표(${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1 : ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$1 : $)\displaystyle(X_{1}:$$Y_{1}:Z_{1}}$는$$곡선의 반전 트위스트 에드워즈 좌표(${X2\mathrm{}}^{}$+ $a$ ${}^{}{}^{}$ ${}^{}$ ${}^{}$ ${}^{}{}^{}$ $\mathrm{Y2}$ ${}^{}$ ${d\mathrm{}}^{}$ Z 4$({$))라고 불립니다.$Y^{2}Z^{2}=X^{$$2}$$Y^{2}+dZ^{4$$}($${}_{}{}_{}$ ${}_{}{}_{}$ ${Z1\mathrm{}}_{}0$ 0$${ $textstyle X_{1})$$Y_{1}Z_{1}\neq$ 0$\}.$ 이것은 E의 아핀_E,a,d 1$({\displaystyle {Z1\mathrm{}}_{}{}_{}{}_{}}$ $)\$style$(Z_{1}/X_{$1}, Z_{1$}/Y_{1$})을 나타냅니다.Bernstein과 Lange는 사례 a=1에 대해 이러한 반전 좌표를 도입했고 이 좌표가 추가로 시간을 절약한다는 것을 관찰했다.

투영 트위스트 에드워즈 좌표

투영 트위스트 에드워즈 곡선의 방정식은 다음과 같습니다$.{\displaystyle }$ (${\displaystyle {a\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathrm{}}^{}}$4 + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ Y$$ \ $displaystyle (aX^{2}+)$$Y^{2}Z^{2}=Z^{4}+dX^{2$$}$}$Y^{$2$$}} Z 0 0일₁ 때 점₁(X₁:Y₁:Z)은 E 위의 아핀 점₁(x = X₁₁/Z₁, y = Y₁₁/Z)을_E,a,d 나타낸다$.$

비틀린 Edwards 형식으로 타원 곡선을 표현하면 동일한 곡선을 Edwards 형식으로 표현할 수 있더라도 산술적으로 시간을 절약할 수 있습니다.

투영 트위스트 곡선에 추가

투영 트위스트 에드워즈 곡선의 덧셈은 다음과 같습니다.

(X₃:Y₃:Z₃) = (X₁:Y₁:Z₁) + (X₂:Y:Z)Y₂:Z₂)

10승 + 1제곱 + 2D + 7의 추가 비용이 듭니다. 여기서 2D는 a의 1배이고 d의 1배입니다.

알고리즘.

A = Z₁ · Z₂,

B = A²

C = X₁₂ · X

D = Y₁ · Y₂

E = dC · D

F = B - E

G = B + E

X₃ = A · F ( ( X₁ + Y₁ ) · ( X₂ + Y₂ ) - C - D )

Y₃ = A · G · (D - aC)

Z₃ = F · G

투영 트위스트 원곡선에서 이중화

투영 트위스트 곡선의 더블링은 다음과 같습니다.

(X₃:Y₃:Z₃) = 2(X₁:Y₁:Z₁).

여기에는 3승 + 4제곱 + 1D + 7 더하기 비용이 듭니다. 여기서 1D는 a의 곱셈입니다.

알고리즘.

B = (X₁ + Y₁)²

C = X₁²

D = Y₁²

E = aC

F = E + D

H = Z₁²

J = F - 2H

X₃ = (B - C - D).j

Y₃ = F · (E - D)

Z₃ = F · J^[1]

「 」를 참조해 주세요.

• EdDSA
• 특정 경우에 필요한 실행 시간에 대한 자세한 내용은 타원 곡선의 운영 비용 표를 참조하십시오.

메모들

레퍼런스

• Daniel J. Bernstein; Marc Joye; Tanja Lange; Peter Birkner; Christiane Peters, Twisted Edwards Curves (PDF)

• Huseyin Hisil, Kenneth Wong, Gary Carter, Ed Dawson., Twisted Edwards Curves revisited{{citation}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

• Daniel J. Bernstein; Tanja Lange; Peter Birkner; Christiane Peters, ECM using Edwards curves (PDF)

외부 링크

• http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/index.html
• http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-twisted.html
• Ed25519 알고리즘:http://ed25519.cr.yp.to/