균일화(확률론)

확률론에서 균일화 방법(Jensen의 방법^[1] 또는 임의화 방법이라고도^[2] 함)은 유한 상태 연속 시간 마르코프 체인의 과도해결 용액을 계산하는 방법이며, 이산 시간 마르코프 체인에 의한 공정을 근사한다.^[2]원래의 체인은 가장 빠른 전환율 γ에 의해 스케일링되므로, 전환은 모든 상태에서 동일한 속도로 발생하므로 이름이 붙는다.이 방법은 프로그래밍이 간단하며 단일 시점(약 0)에서 과도 분포에 대한 근사치를 효율적으로 계산한다.^[1]이 방법은 1977년 윈프리드 그라스만(Winfried Grassmann)이 처음 도입했다.^[3][4][5]

방법설명

전환율 매트릭스 Q가 있는 연속 시간 Markov 체인의 경우, ${\displaystyle {\mathrm{균일화}}_{}}$된 이산 시간 Markov 체인은 확률^[1][6][7] 전환 $매트릭스{\displaystyle }$ P ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle (p_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$, j ${\$ 로 정의된다$.$

${\displaystyle p_{ij}={\case}q_{ij}/\cHB &\text{{}만약 }i\neq j\\1-\sum _{j\ij}/\cHB &{}i=j\end{}}}}}}}}의 경우 {\text}$

다음과 같이 선택한 균일한 비율 매개변수인 γ을 사용하여

${\displaystyle \geq \max _{i} q_{i} .}$

행렬 표기법:

${\displaystyle P=I+{\frac {1}{\gamma }Q.}$

시작 분포 π(0)의 경우 시간 t, π(t)에서의 분포는 다음을 통해^[1] 계산된다.

${\displaystyle \pi(t)=\sum _{n=0}^{\py (0)P^{n}{\frac {(\gamma t)^{n}}{n!}}}{-\ft t}.}$

이 표현은 연속 시간 마코프 체인이 강도 ast의 포아송 프로세스에 따라 점프가 발생하는 위에서 정의한 전환 매트릭스 P를 가진 이산 마코프 체인으로 설명될 수 있음을 보여준다.

실제로 이 시리즈는 많은 용어 끝에 종료된다.

실행

알고리즘에 대한 유사코드는 레이브만과 트리베디의 1988년 논문 부록 A에 포함되어 있다.^[8]알고리즘의 병렬 버전을 사용하여 상태 공간이 10보다⁷ 큰 체인을 분석하였다.^[9]

제한 사항

레이브만과 트리베디는 경직된 문제의 경우 일부 맞춤형 알고리즘이 더 나은 성능을 발휘할 수 있다는 점에 주목하면서도 "단일화는 일반적인 문제에 대한 선택 방법"이라고 말한다.^[8]

외부 링크

• 매트랩 구현

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