단위성(물리학)

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양자물리학에서 단위성은 슈뢰딩거 방정식에 따른 양자 상태의 시간 진화가 단일 연산자에 의해 수학적으로 표현되는 조건이다. 이것은 일반적으로 양자역학의 공리 또는 기본적 가정으로 받아들여지는 반면, 단위성의 일반화 또는 이탈은 양자역학을 넘어설 수 있는 이론에 대한 추측의 일부분이다.^[1] 단위성 구속은 진화 연산자의 단위성, 즉 시간 진화가 힐버트 공간의 내적 생산물을 보존한다는 진술에서 따르는 모든 불평등이다.

해밀턴 진화

Time evolution described by a time-independent Hamiltonian is represented by a one-parameter family of unitary operators, for which the Hamiltonian is a generator: ${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$. In the Schrödinger picture, the unitary operators are taken to act upon the system's quantum 반면에 하이젠베르크 그림에서는 시간 의존성이 대신 관측 가능성과 통합된다.^[2]

단위성이 측정 결과에 미치는 영향

양자역학에서 모든 상태는 힐버트 공간의 벡터로 묘사된다. 측정을 수행할 때 모든 기본 벡터가 측정의 정의된 결과(예: 모멘텀을 측정할 경우 정의된 모멘텀의 벡터 기준)를 갖는 벡터 베이스를 사용하여 이 공간을 설명하는 것이 편리하다. 측정 연산자는 이 기준에서 대각선이다.^[3]

특정 측정 결과를 얻을 확률은 측정 연산자를 대각선으로 만드는 기본 벡터로 물리적 상태의 내부 생산물에 의해 주어지는 확률 진폭에 따라 달라진다. 시간에 따라 진화한 후에 측정되는 물리적 상태의 경우, 확률 진폭은 관련 기본 벡터${\displaystyle }${${\displaystyle \varphi {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$${\displaystyle ⟩}$${\displaystyle }$⟩ } \ \$\$ \ \ } } } { { } ${\displaystyle \{ \pi _{i}\rangele$의 물리적 상태 ${\displaystyle product}$의 내부 산물로 설명하거나 동등하게 설명할 수 있다. 시간에 거꾸로 진화하는 기본 벡터를 가진 물리적 상태의 내부 생산물. 시간 진화 $연산자{\displaystyle {}^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {H\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ /${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\$을$($를) 사용하여 다음을 수행하십시오.^[4]

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\왼쪽 e^{-i{\hat{H}t/\hbar }\psi \right.\rigle =\좌측\langle \left.e^{-i{-}(-t)/\hbar _{i}\오른쪽 \psi \right\rangle }}$

그러나 은둔자의 결합의 정의에 따르면 이것 또한 다음과 같다.

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\왼쪽 e^{-i{\hat{H}t/\hbar }\psi \right.\오른쪽\랑글 =\왼쪽\langle \왼쪽.\phi _{i}\왼쪽(e^{-i}-hat {H}t/\hbar }\오른쪽)^{\dog }\\doger }\오른쪽 \psi \rigle =\left\langle \왼쪽).\phi _{i}e^{-i{\hat{H}^{\dager }(-t)/\hbar }\오른쪽 \psi \right\rangle }}$

이러한 동등성은 벡터 두 개에 대해 모두 사실이기 때문에, 우리는

${\displaystyle {\hat{H}^{\daugger}={\hat {H}}}$

이것은 해밀턴인이 에르미트인이며 시간 진화 ${\displaystyle {연산자}^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {H\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ t /${\displaystyle {\hslash }^{}}$ ${\$ e$^{-i{\hat{H}t/\hbar }}}}}$는 단일체임을 의미한다.

Born rule에 의해 규범이 측정에서 특정 결과를 얻을 확률을 결정하기 때문에 Born rule과 함께 단위는 확률의 합을 항상 1로 보장한다. 또한 Born 규칙과 함께 단위성은 하이젠베르크 그림의 측정 운영자가 측정 결과가 시간 내에 어떻게 진화할 것으로 예상되는지를 실제로 기술한다는 것을 의미한다. 이 점은 다음과 같은 가상의 반례에 의해 더욱 강조된다. 진남관}}일 경우 약간의 운용자 O(t1){\displaystyle{\cal{{O}(t_{1})을 측정함으로써 다른 확률을 가져오}시간 이 시간에 t1,, 시간 진화, 시간 t2에서 같은 측정을 먹기 비교하도록 O(t2){\displ(는 하이젠베르크의 묘사에)에 non-unitarity의 사건을 검토해 보자.a$ystyle {\cal {{O}(t_{2}})}}}$을(를) 측정한다$$. 그런 다음 여러 번의 측정을 통해 시간 t에서₁ 한 결과 R의₁ 확률이 임의로 100%에 근접하지만, 시간 t에서₂ 다른 결과 R의₂ 확률은 임의로 100%에 근접하는 실험을 구성할 수 있다. 이것은 적어도 양자역학에 대한 일부 해석에서는 모순으로 이어진다.

예를 들어 앨리스와 밥이 동일한 시스템에서 서로 다른 시간에 측정을 수행한다고 가정합시다. 앨리스는 시간 t와₁ 시간 t에₂ 밥을 재고 있다. 다세계의 해석에 따르면 밥은 그 결과가₂ R이었던 세상에서 거의 틀림없이 자신을 발견할 것이다. 그러나 그때 밥이 앨리스를 만났을 때 앨리스도 R을₂ 쟀을 것이다. 따라서 앨리스는 밥에게 자신이 임의로 0%에 가까운 확률로 매우 비현실적인 결과를 측정했다고 말하곤 했다. 따라서 그러한 시나리오에서 물리학자들은 그들이 매우 비현실적인 결과를 얻었다고 보고하고, 확률의 개념은 무너진다.

해밀턴인의 형태에 대한 함의

시간 진화 연산자가 단일하다는 것은 해밀턴인이 에르미트인이라는 것과 맞먹는다. 동등하게, 이것은 해밀턴인의 고유값인 가능한 측정된 에너지가 항상 실제 숫자라는 것을 의미한다.

산란 진폭과 광학 정리

S-매트릭스는 산란 과정에서 물리적 시스템이 어떻게 변화하는지 설명하기 위해 사용된다. 그것은 사실 무한대에서 입자의 운동량 상태(또는 결합한 입자의 복합체)에 작용하는 매우 오랜 시간 동안(무한에 도달)의 시간 진화 연산자와 동일하다. 따라서 그것은 단일 운영자 역시 되어야 한다; 비 단일 S 매트릭스를 산출하는 계산은 종종 바인딩 상태를 간과했다는 것을 의미한다.

광학 정리

S 매트릭스의 단위성은 무엇보다도 광학적 정리를 내포하고 있다. 이는 다음과 같이 볼 수 있다.^[5]

S-매트릭스는 다음과 같이 기록할 수 있다.

$[\displaystyle S=1+iT}$

여기서 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 상호 작용으로 인한 S-매트릭스의 부분이다. ${\displaystyle T}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T=0}$은(는) S-매트릭스가 1, 교호작용이 발생하지 않으며 모든 상태가 변경되지 않음을 의미한다$$.

S-매트릭스의 단위성:

${\displaystyle S^{\daugger }S=1}$

다음 항목과 동일함:

$(\displaystyle -i\왼쪽(T-T^{\doger }\오른쪽)=T^{\daugger }T}$

왼쪽은 S매트릭스의 상상의 두 배다. 오른쪽이 무엇인지 살펴보기 위해 이 행렬의 특정 요소(예: 초기 상태 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle I\rangle })$와 최종 상태${\displaystyle f}$ F $display$ style $\langle$ F$$} 사이에 각각 많은 입자가 포함될 수 있음)를 살펴보자. 매트릭스 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle \left\langle F^{\doger }T\오른쪽 I\right\angle =\sum_{i}\left\langle F^{\doger }A_{i}오른쪽\langle \langle A_{i}T\right\rangle }}}$

여기서 {A_i}은(는) 가능한 온쉘 상태의 집합이다. 즉 무한대에서 입자(또는 입자 결합 복합체)의 모멘텀 상태.

따라서 S-매트릭스의 상상의 두 배 부분은 S-매트릭스의 초기 상태의 모든 산포에서 무한대의 다른 물리적 상태에 대한 기여의 산출을 나타내는 합과 같으며, 후자의 산포에서 S-매트릭스의 최종 상태로 산포한다. S-매트릭스의 가상 부분은 파인만 다이어그램의 중간 상태에 나타나는 가상 입자에 의해 계산될 수 있기 때문에, 이러한 가상 입자들은 최종 상태로도 나타날 수 있는 실제 입자로만 구성되어야 한다. 이를 보장하기 위해 사용되는 수학적 기계는 게이지 대칭과 때로는 Faddeev-Popov 유령도 포함한다.

단위성 한계

광학적 정리에 따르면 산란 과정의 확률 진폭 M(= iT)은 반드시 준수해야 한다.

${\displaystyle M ^{2}=2\operatorname {Im}(M)}$

유사한 단위성 한계는 진폭과 단면이 에너지와 함께 지나치게 증가할 수 없거나 특정 공식에서^[which?] 지시하는 대로 빨리 감소해야 함을 의미한다.

참고 항목

• 항유니터리 연산자
• 타고난 규칙
• 확률 공리
• 양자 채널
• 스톤이 단변수 단일 집단에 대한 정리
• 위그너 정리

참조