S 매트릭스

물리학에서 S 매트릭스 또는 산란 행렬은 산란 과정을 거치는 물리적 시스템의 초기 상태와 최종 상태를 관련짓는다.그것은 양자역학, 산란 이론, 양자장 이론에서 사용된다.

좀 더 형식적으로, QFT의 맥락에서, S-행렬은 물리적 상태의 힐버트 공간에서 점근 자유 입자 상태(in-state 및 out-state) 세트를 연결하는 단일 행렬로 정의된다.다입자 상태는 로런츠 변환 하에서 아래 식 (1)에서 규정하는 일입자 상태의 텐서 곱 또는 직접 곱으로 변환되면 자유(비상호작용)라고 한다.점근적 자유는 먼 과거 또는 먼 미래에 이러한 모습을 가진 상태를 의미합니다.

S-행렬은 점근적으로 해결 가능하고 사건 지평선이 없는 모든 배경(공간)에 대해 정의할 수 있지만 민코프스키 공간의 경우 단순한 형태를 갖는다.이 특별한 경우, 힐베르트 공간은 불균일한 로렌츠 군(푸앵카레 군)의 축소 불가능한 단일 표현 공간이며, S-행렬은 t $t=-\infty$ - ${\$ \ $display$ t = - \ $infty$ $t=+\infty$ $}$ (먼 $과거$ )와 t $t=+\infty$ + $display$ \ $display$ t $=$ \ $infty$ 사이의 $t=-\infty$ 연산자이다.이 값은 0 에너지 밀도(또는 무한 입자 분리 거리)의 한계에서만 정의됩니다.

민코프스키 공간의 양자장 이론이 질량 갭을 갖는다면, 점근적 과거와 점근적 미래의 상태는 모두 폭크 공간에 의해 설명된다는 것을 보여줄 수 있다.

역사

S 매트릭스는 1937년 존 아치볼드 휠러가 "공명 그룹 구조에 의한 빛 핵의 수학적 설명에 대하여"^[1]라는 논문에서 처음 도입했다.이 논문에서 Wheeler는 "[적분 방정식의] 임의의 특정 솔루션의 점근 거동과 표준 ^[2]형식의 솔루션의 점근 거동"을 연결하는 계수의 단일 행렬인 산란 행렬을 도입했지만 완전히 개발하지는 않았다.

1940년대에 Werner Heisenberg는 독립적으로 S-행렬의 개념을 개발하고 입증했다.그 당시 양자장 이론에서 존재하는 문제 있는 차이 때문에, 하이젠베르크는 이론이 발전함에 따라 미래의 변화에 영향을 받지 않을 이론의 본질적인 특징을 분리하려는 동기를 부여받았다.이를 통해 그는 유니터리 "특징"^[2] S 매트릭스를 도입했다.

그러나 오늘날, 정확한 S 매트릭스 결과는 적합장 이론, 적분 가능한 시스템, 그리고 양자장 이론과 끈 이론의 몇 가지 추가 영역의 최고의 성과입니다.S-매트릭스는 현장 이론 치료의 대체물이 아니라 그러한 최종 결과를 보완한다.

동기

고에너지 입자 물리학에서는 산란 실험에서 다른 결과에 대한 확률을 계산하는 데 관심이 있다.이러한 실험은 세 단계로 나눌 수 있습니다.

들어오는 입자의 집합(일반적으로 높은 에너지를 가진 두 개의 입자)을 충돌시킵니다.
들어오는 입자가 상호작용할 수 있도록 합니다.이러한 상호작용은 존재하는 입자의 유형을 바꿀 수 있다(예를 들어 전자와 양전자가 소멸하면 두 개의 광자를 생성할 수 있다).
결과적으로 발생하는 입자를 측정합니다.

들어오는 입자가 (상호작용을 통해) 나가는 입자로 변환되는 과정을 산란이라고 합니다.입자물리학의 경우, 이러한 과정의 물리적 이론은 서로 다른 유입 입자가 서로 다른 에너지와 충돌할 때 서로 다른 외부 입자에 대한 확률을 계산할 수 있어야 합니다.

양자장 이론의 S행렬은 정확히 이것을 달성한다.이러한 경우 작은 에너지 밀도 근사치가 유효하다고 가정한다.

사용하다

S 매트릭스는 양자역학에서의 전이 확률 진폭 및 다양한 상호작용의 단면과 밀접하게 관련되어 있다. S 매트릭스의 요소(개별 수치 입력)는 산란 진폭으로 알려져 있다.복합 에너지 평면에서 S 매트릭스의 극은 결합 상태, 가상 상태 또는 공명으로 식별된다.복합 에너지 평면에서의 S 매트릭스의 분기 절단은 산란 채널의 개방과 관련된다.

양자장론에 대한 해밀턴식 접근법에서, S-행렬은 상호작용 그림에서 통합된 해밀턴식의 시간순서 지수로 계산될 수 있다; 또한 파인만의 경로 적분을 사용하여 표현될 수 있다.두 경우 모두 S 행렬의 섭동 계산은 파인만 다이어그램으로 이어진다.

산란 이론에서, S 매트릭스는 하이젠베르크 그림에서 자유 입자를 자유 입자 아웃 상태(산란 채널)에 매핑하는 연산자입니다.대부분의 경우 교호작용(적어도 가장 흥미로운 교호작용은 아님)을 정확하게 설명할 수 없기 때문에 이 방법은 매우 유용합니다.

에서 1차원 양자역학

설명을 위해 S 매트릭스가 2차원인 단순한 프로토타입을 먼저 고려한다.그 중 날카로운 $에너지$ E를 가진 입자는 1차원 양자역학의 법칙에 따라 국부 $전위$ V에서 산란한다.이미 이 단순한 모델은 더 일반적인 사례의 몇 가지 특징을 보여주고 있지만, 더 쉽게 처리할 수 있습니다.

각 $에너지$ E는 V에 $의존$ 하는 $행렬$ S = $S (E)$ 를 산출한다.따라서, 비유적으로 말하면, 전체 S 행렬은 주어진 V에 $대한$ 대각선을 따라 2 × 2 블록을 제외한 $모든$ 요소 0을 가진 "연속 행렬"로 시각화할 수 있다.

(Definition)

$에너지$ E를 가진 양자 입자의 빔을 받는 국소적인 1차원 전위 $장벽$ V $(x)$ 를 생각해 보자.이 입자들은 왼쪽에서 오른쪽으로 잠재적인 장벽에 입사한다.

전위장벽 밖의 슈뢰딩거 방정식의 해는 다음과 같이 주어진 평면파이다.

_\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}

잠재적 장벽의 왼쪽에 있는 영역에 대해, 그리고

_displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}

잠재적 장벽의 오른쪽 영역에 대한 설명입니다.

k^{displaystyle k=snt {2mE/\hbar ^{2}}}

파동 벡터입니다.시간 의존성은 개요에서 필요하지 않으므로 생략한다.

계수

가 A인 항은 들어오는 파형을 나타내며,

계수

C인 항은 나가는 파형을 나타냅니다.

B

는 반사파를 나타냅니다.착신파가 정방향(왼쪽에서 오는 방향)으로 이동하도록

설정

했기 때문에 D는 0이 되어 생략할 수 있습니다.

"산란 진폭" 즉, 발신파와 수신파의 전이 중첩은 S 매트릭스를 정의하는 선형 관계이다.

\(displaystyle\begin{pmatrix}B\)\C\end{pmatrix}="begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}"S_{212}&S_{22}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}A\D\end{pmatrix}}

는 의음음음음음음음음음음음음음음음음음 the the the the the the 라고 쓸 수 있습니다.

_rm _ {displaystyle \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}}}

어디에

_\{\displaystyle\Psi_{\rm {out}={begin{pmatrix}B\C\end{pmatrix},\quad\Psi_{\rm {in}}=pmatrix}A\D\end{pmatrix},\qquad S=pmatrix{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{212}&S_{22}\end{pmatrix}.}

S의

요소

는 전위

장벽 V(x

)의 산란 특성을 완전히 나타낸다.

S 행렬의 단일 특성은 양자 역학에서 확률 전류의 보존과 직접적으로 관련이 있다.

파동 함수 $δ$ ( $x)$ 의 확률 전류 $밀도$ J는 다음과 같이 정의된다.

({displaystyle J=par {hbar}{2mi}}\left(\psi ^{*}){\frac {frac x}-\frac {frac \psi ^{*}}{\frac x}\right}).}

\psi _{\rm {L}}(x)

왼쪽에 있는 §

\psi _{\rm {L}}(x)

L (

\psi _{\rm {L}}(x)

)

의

J_{\rm {L}}(x)

\psi _{\rm {L}}(x)

확률 전류

J_{\rm {L}}(x)

J

J_{\rm {L}}(x)

(

J_{\rm {L}}(x)

) \

displaystyle J

J_{\rm {L}}(x)

_ { \

J_{\rm {L}}(x)

rm

{

L

J_{\rm {L}}(x)

} （

x

）。

k^{^{rightdisplaystyle J_{\rm {L}}(x)=frac {hbar k}{m}\left(A ^{2}-B ^{\right})})})

한편 장벽 오른쪽에

\psi _{\rm {R}}(x)

§ R

\psi _{\rm {R}}(x)

(

\psi _{\rm {R}}(x)

)의

J_{\rm {R}}(x)

\psi _{\rm {R}}(x)

확률 전류

J_{\rm {R}}(x)

J

J_{\rm {R}}(x)

(

J_{\rm {R}}(x)

) \

displaystyle J

J_{\rm {R}}(x)

_ { \

J_{\rm {R}}(x)

rm

{

R

} （

x

）。

({displaystyle J_{\rm {R}}(x)=selectfrac {hbar k}{m}}\left(C ^{2}- D ^{2}\display).}

확률 전류 보존을 $위해 L$ J = $J R$ .이는 S-행렬이 단일행렬임을 의미한다.

★★★

{\displaystyle{\begin{정렬}&.디스플레이 스타일J_{L\rm{}}=J_{\rm{R}}\\& ^{2}- B^{2}= C^{2}- D^{2}\\&amp의;^{2}+ C^{2}= ^{2}+ D^{2}\\&amp을 말한다.\Psi _{\text{을}}^{\dagger}\Psi _{\text{을}}=\Psi}^{\dagger}\Psi _{\text{에}}\\&, _{\text{에}.\Psi _{\text{에}}^{\dagger}S^{\dagger}S\Psi}=\Psi _{\text{에}}^{\dagger}\Psi _{\text{에}}\\&, _{\text{에}.S^{\dagger}J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\& A ^{2}- B ^{2}= C ^{2}\& B ^{2}+ C = A ^{2}+ D ^{2}\&PSI\{textout}^{2} ^{textout}^{2}I\\end {aligned}

$전위$ V $(x)$ 가 실재하는 경우, 시스템은 시간-역대칭성을 가집니다.이 조건 하에서 $θ(x)$ 가 슈뢰딩거 방정식의 해라면 $θ*(x)$ 도 해이다.

시간 역방향 솔루션은 다음과 같습니다.

_\displaystyle \psi _{\rm {L}^*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}

왼쪽에서 잠재적 장벽까지의 영역에 대해, 그리고

_\displaystyle \psi _{\rm {R}^*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}

계수

가 B

*,

C *

인 항은 유입파를 나타내고

계수

A

*,

D *

인 항은 발신파를 나타낸다.

이들은 다시 S-행렬에 의해 관련된다.

}&A^{*}\D^{*}\end{pmatrix}={begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{212}&S_{22}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}B^{*},}pmatrix},

그것은,

\Displaystyle \Psi _{\rm {in}^*}=S\Psi _{\rm {out}^*}.}

이제, 그 관계는

_ {}}= _ {S\Psi _{\rmout^*}\PSi \Displaystyle \Psi _{\Rm {\}, \Psi},

병용하다

S디스플레이 스타일 S^{*}S=

이 조건은 단일성 관계와 함께 시간 반전 대칭의 결과로 S-행렬이 대칭임을 의미한다.

S^{T}=S.

및

전위 장벽의 왼쪽에서 전달 계수는 D = $0일$ 때 $다음$ 과 같다.

T_{\rm {L}}=flac { C ^{2}}{A ^{2} = S_{212} ^{2}.

전위 장벽의 왼쪽에서 반사 계수는 D = $0일$ 때 $다음$ 과 같다.

R_{\rm {L}}=flac {B ^{2}}{A ^{2} = S_{11} ^{2}.

마찬가지로, 전위 장벽의 오른쪽에서 전달 계수는 A = $0일$ $때$ ,

T_{\rm {R}}=flac {B ^{2}}{D ^{2} = S_{12} ^{2}.

전위 장벽의 오른쪽에서 반사 계수는 A = $0일$ 때 $다음$ 과 같다.

R_{\rm {R}}=flac { C ^{2} {D ^{2} = S_{22} ^{2}

는 '반사계수'입니다.

rm {L}}}{\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}

그리고.

}{\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}

이 동일성은 S 행렬의 단일성 속성의 결과이다.

광학

$유리입자$ V $(x)$ = $0$ 인 경우, S-행렬은^[3] 다음과 같다.

({displaystyle S=pmatrix}0&1&0&end{pmatrix})}

그러나 V

(x)

가 0과 다를

때

마다 S-행렬이 위의 형태에서 벗어나서

({displaystyle S=pmatrix}2ir&1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}\end{pmatrix}).}

이 출발은 두 가지 복잡한 에너지

기능인

r

과 t에 의해 매개변수화된다.단일성에서는 이 두 기능 간의 관계도 따른다.

r ^{2}+ t ^{2}=\operatorname {Im}(t).

3차원에서의 이 동일성의 유사성은 광학 정리라고 알려져 있다.

S 매트릭스를 정의하는 간단한 방법은 상호작용 ^[4]그림을 고려하는 것부터 시작한다. $해밀턴$ H를 자유 $부분 0$ H와 $상호작용$ V, $H$ $= H 0$ + $V$ 로 나누자. 이 그림에서 연산자는 자유장 연산자로 동작하고 상태 벡터는 $상호작용$ V에 따라 역동성을 갖는다.허락하다

}(\displaystyle\left\Psi(t)\right\rangle)

자유 초기 상태에서 발전한 상태를 나타낸다

\displaystyle \left \Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}

S 매트릭스 요소는 최종 상태에 대한 이 상태의 투영으로 정의된다.

_ {displaystyle\left\langle\)Phi_{\rm {f}}\right}

따라서

\ _ _{f}\S {

$여기$ 서 S는 S 오퍼레이터입니다.이 정의의 큰 장점은 상호작용 그림에서 상태를 진화하는 시간 진화 $연산자$ U가 공식적으로 알려져 있다는 것이다.^[5]

Udisplaystyle U(t,t_{0})\color Te^{-i\int_{0}^{t}d\color V(\tau)}}

여기

서 T는 시간순으로 정렬된 제품을 나타냅니다.이 연산자로 표현하면,

_{}\ _{t_1}\left \ _{t_t_1}\right\rm {\rm}\rm}\rm {{{{{f}}}\rmrm}\rm}\rm}\right}\pirighty}\p}\}\right}\pi}\righty}\p}\

거기서부터

\displaystyle S=U(\infty,-\infty)}

U에

대한

지식을 활용하여 확장하면 다이슨 시리즈가 탄생합니다.

S=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-i)^{n}}{n!_{-\}^{\infty \ _}^{\infty }{\infty }^{\infty }{\infty }\int  \int _{-\infty }{{\infty }{n} dt } dt } dt {n} {\intT\left [V(t_{1}\cdots V(t_{n}\right],

V가 해밀턴 밀도로

나온다면

S=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-i)^{n}}{n!_{-\infty}^{{n}^{n}\int _{-\infty }{{{-\infty }{{1}^{{{-infty}^{n}\intots\infty }^{n} } } }  _{{n} } int _{{{\infty } int _infty  _{n} int _{{{{n} } } }T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots\mathcal {H}(t_{n}\right]

$S$ 는 특별한 유형의 시간 진화 연산자이기 때문에 유니터리이다.초기 상태 및 최종 상태에 대해

\ _=\ _}{\}{\n}\right\rangle =\} {n} {n} {n} {ranglefty {{-\ {{} \ _ {-\ {{ \int {-\infty } {{n} {\ } {1\infty } {\cdots } {\cdots } {n}}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots\mathcal {H}(t_{n})\right]\Phi _{\rm {i}\right\rangle .}

이 접근방식은 잠재적인 문제가 ^[6]은폐된다는 점에서 다소 순진하다.이것은 의도적인 것이다.이 접근방식은 실제로 작동하며 일부 기술적 문제는 다른 섹션에서 다루어진다.

/

여기서는 위의 상호 작용 그림 접근법에서 무시되었던 잠재적인 문제를 다루기 위해 약간 더 엄격한 접근법을 취한다.물론 최종 결과는 더 빠른 경로로 갈 때와 같습니다.그러기 위해서는, 출입 상태에 대한 개념이 필요합니다.이것들은 두 가지 방법으로 개발될 것입니다. 공상진말할 필요도 없이, 두 가지 접근법은 동일하지만, 다른 각도에서 문제를 조명합니다.

vacuavacua

a $(k)$ 가 생성 연산자일 $경우 †$ , 은둔자 인접은 소멸 연산자이며 진공을 파괴한다.

\displaystyle a(k)\left *,0\rangle = 0.}

Dirac 표기법에서는 다음을 정의합니다.

}{\displaystyle *,0\rangle}

진공 양자 상태, 즉 실제 입자가 없는 상태.아스타리스크는 모든 vacua가 반드시 동일하다고는 할 수 없으며 Hilbert space zero

state

0과 동일하다고는 할 수 없음을 나타냅니다.모든 진공 상태는 공식적으로 환산, 회전 및 ^[6]승압 시 푸앵카레 불변성, 불변성으로 가정한다.

P*,,\ P^{\ } *,rangle = *,0\rangledisplaystyle M^{\mu

여기

서^μ P는 시공간 변환의

발생기

이고^μν M은 로렌츠 변환의 발생기입니다.따라서 진공에 대한 설명은 기준 프레임과 독립적입니다.정의되는 in 및 out 스테이트에는 in 및 out 필드

연산자 i

(일명 필드) δ 및

δ o

가 관련지어집니다.여기서 주목하는 것은 가장 단순한 경우, 가능한 한 표기법의 혼돈으로 예시하기 위해 스칼라 이론의 경우이다.입력 및 출력 필드는 다음을 충족합니다.

_displaystyle(\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}}(x)=0

자유 클라인-고든 방정식이러한 필드는 자유 필드와 동일한 시간 변환 관계(ETCR)를 갖는 것으로 가정됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{[\phi_{\rm{i,o}}(x),\pi_{\rm{i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}),\\{[\phi_{\rm{i,o}}(x),\phi_{\rm{i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi_{\rm{i,o}}(x),\pi_{\rm{i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{정렬}}}{\displaystyle{)}{\phi_{\rm{i,o}}(x}),\pi _ᆻ(y)}}_{x_{0}=y_{0}}&a.융점, =i\display(\mathbf {x} -\mathbf {y}),\{\rm {x},{x},i},{pho},\pi}},

여기서

δ

는_i,j

δ

에_i,j 대해 규범적으로 공역하는 필드이다.in 및 out 필드에는 2개의 생성 및 소멸 연산자

a † i (k)

와^†_f a

(k)

가 관련지어져 있으며, 2개의 서로 다른 완전 집합(Fock 공간,

초기

공간 i,

최종

공간 f) 상의 동일한 Hilbert ^[7]공간에서 동작합니다.이러한 연산자는 일반적인 정류 규칙을 충족합니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{[a_{\rm{i,o}}({p}),a_{\rm{i,o}}^{\dagger}(\mathbf{p}의\mathbf)]}&,=i\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'}),\\{[a_{\rm{i,o}}(\mathbf{p}),a_{\rm{i,o}}(\mathbf{p'})]}&, =ᆰ=0.(\displaystyle{p}{{\rm{i,o}}(\mathbf{p}), a_{\r.m{i,o}^\display}(\mathbf {p} -\mathbf {p'}),\{a}, {p}\end {aligned}}\end {aligned}}

각각의 진공 및 입자와 입자의 수가 한정된 상태에 대한 생성 연산자의 작용은 다음과 같습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\left\mathrm{나는},k_{1}\ldots, =a_ᆰ^ᆱ(k_{1})\cdots a_{\rm{나는}};=a_{\rm{f}}}a_ᆹ^ᆺ(p_{n})\left f,0\right\rangle ,\end{정렬}^ᆸ(p_{1})\cdots}및 ^ᆳ(k_{n})\lefti,0\right\rangle ,\\\left \mathrm{f},p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle 및\displaystyle{디스플레이 k_{n}\right\rangle.tyle)mathrm { i } , k _ { n } \ldots k _ { n } \ right \ rm { n } \ right \ rangle , \ cdots } { \ cdots } { \ cdots } { \ lef } { right }

정상화 문제는 무시되어 왔다.일반적인 n개의 파티클 상태가 정규화되는 방법에 대한 자세한 설명은 다음 섹션을 참조하십시오.첫 번째 공간과 마지막 공간은 다음과 같이 정의됩니다.

\rm}\ {irm}\rm {n} \{{{\} } } } } } } } } } } } } } } } } } }tspan} \{\rpan} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }} }}} } }

}{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}=\operatorname {span} \{\left f,p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}^{\cdoc}(p_{1}\cdots {f}\cdots}\cdots})

점근 상태는 잘 정의된 푸앵카레 변환 특성을 갖는 것으로 가정한다. 즉, 단일 입자 ^[8]상태의 직접적인 산물로 변환된다고 가정한다.이것은 비대화 필드의 특성입니다.따라서 점근 상태는 모두 운동량 $연산자 μ$ ^[6]P의 고유 상태이며,

}{\displaystyle P^{\mu}\left \mathrm {i},k_{1}\ldots k_{m}+\cdots +k_{m}^{\mu}\left \m\rangle {i},\rangle {i},\r},\rangle k_{1},

특히, 그것들은 완전한 해밀턴의 고유 상태이고,

}{\displaystyle H=P^{0}}

진공은 보통 안정적이고 ^[6]^{[nb 1]}독특한 것으로 가정됩니다.

displaystyle \mathrm {i},0\rangle = \mathrm {f},0\rangle = *,0\rangle \equiv 0\rangle .}

교호작용은 단열적으로 켜졌다 꺼졌다고 가정합니다.

하이젠베르크 그림은 지금부터 사용되고 있다.이 그림에서 상태는 시간에 의존하지 않습니다.하이젠베르크 상태 벡터는 따라서 ^[8]입자 시스템의 완전한 시공간 역사를 나타냅니다.in 및 out 상태의 라벨은 점근 외관을 나타냅니다.상태 $δ$ 는_{α, in} t → - $α$ 로 총칭되는 입자 함량을 특징으로 한다.마찬가지로, $상태 β, out$ δ는 t $\to$ +diples에 $대해$ $β$ 로 표현되는 입자 함량을 가질 것이다.내부 및 외부 상태와 상호 작용 상태가 동일한 힐베르트 공간에 존재한다는 가정을 사용하고 정규화된 내부 및 외부 상태의 완전성(점근적 완전성의^[6] 가정)을 가정함으로써 초기 상태는 최종 상태의 기준으로 확장될 수 있다(또는 그 반대).명시적 표현은 더 많은 표기법과 용어가 도입된 후 나중에 제시됩니다.팽창 계수는 정확히 아래에 정의해야 할 S 매트릭스 요소이다.

하이젠베르크 그림에서 상태 벡터는 시간이 일정하지만, 그것들이 나타내는 물리적 상태는 일정하지 않습니다. $시스템$ 이 시간 $t$ = 0에서 $Ω$ 상태에 있는 것으로 확인되면 시간 $t$ = $µ$ 에서 U $(δ)$ Ω = EΩ $상태$ 로 확인됩니다.이것은 (필연적으로) 동일한 하이젠베르크 상태 벡터는 아니지만, 동등한 상태 벡터이며, 측정 시 0이 아닌 계수를 가진 팽창으로부터 최종 상태 중 하나로 발견됩니다. $δ$ 를 변화시키면 관측된 $δ$ (측정되지 않음)가 실제로 슈뢰딩거 그림 상태 벡터임을 알 수 있다.측정을 충분히 여러 번 반복하고 평균화함으로써 실제로 $시간$ $t$ = 0과 같은 상태 벡터를 시간 t = $θ$ 에서 찾을 수 있다.이것은, 상기의 상태가 out 상태로 전개되고 있는 것을 반영하고 있습니다.

free prom from free particle ( 입자 상태로부터)

이 관점에서는 전형적인 산란 실험이 어떻게 수행되는지 고려해야 한다.초기 입자는 잘 정의된 상태로 준비됩니다. 너무 멀리 떨어져 있어서 상호 작용하지 않습니다.그들은 어떻게든 상호작용을 하게 되고, 최종 입자들은 너무 멀리 떨어져 있어서 상호작용을 멈추면 등록된다.하이젠베르크 그림에서 먼 과거에 자유입자 상태의 모습을 보였던 상태를 찾는 것이 아이디어입니다.이것은 미국의 주가 될 것이다.마찬가지로 out 상태는 먼 장래에 자유입자 ^[8]상태로 보이는 상태가 됩니다.

이 섹션의 일반 참조 표기법인 와인버그(2002)가 사용된다.일반적인 비인터랙티브 다입자 상태는 다음과 같다.

}\};\cdots \Psi _{1}\sigma _{1};p_{2}\sigma {2}n_{2};cdots}}

어디에

$p$ 는 운동량입니다.
$δ$ 는 스핀 z 성분 또는 질량 없는 경우 헬리시티이다.
$n$ 은 입자종이다.

이러한 상태는 다음과 같이 정규화됩니다.

\displaystyle \left(\Psi _{1}'\cdots _{2}',\cdots },\Psi _{1}n_{2},\Psi _{1}n_},{2}\cdots \{text}

순열은 다음과 같이 동작한다.s

s k

S가 k개의 오브젝트(k 입자 상태의 경우)의 순열인

경우

1i\ kdisplaystyle n_{s(i)}'=n_i},\display 1\leq i\leq k,}

0이 아닌 항이 생성됩니다.s가 홀수 수의 페르미온 전이(이 경우

마이너스

)를 수반하지 않는 한 부호는 플러스입니다.이 표기법은 보통 그리스 문자 한 개가 상태를 설명하는 전체 모음에 서 있도록 하는 약어입니다.생략형일 경우 정규화는

\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '),\Psi _{\alpha }\right)=\displaystyle \left(\alpha '-\alpha ).}

자유 입자 상태를 통합하면 이 표기로 씁니다.

d_{}\ ddisplaystyle d\alpha \cdots \cdots \cdotsum _{1}\cdots _{1}\cdots _{1}\cdots _{1cd}

여기서, 합계는 입자 유형 지수의 순열과 동일한 모듈화 두 항이 없는 항만 포함합니다.찾고 있는 일련의 주들은 완전해야 한다.이것은 다음과 같이 표현된다.

= d _alpha Psi \Right),\Displaystyle \Psi =\int d\alpha \Psi _{\ala },\Light})

라고 바꾸어 말하면

d\left\rangle _alpha }\displaystyle \int d\alpha \left \Psi _{\alpha }\right \=1,}\displaysty \ displaystyle \Psi _{\l }

여기서 각

고정α

에 대해 오른쪽은

상태α

에 대한 투영 연산자이다.불균일한 로렌츠 변환

(δ,

a)

에서 필드는 규칙에 따라 변환됩니다.

U __{mu스타일 U(\Lambda,a)\Psi _{1}\Psi _{1};p_{2}\cdots }=e^{-ia_{\mu}(\Lambda p_{1})^{\mu}+(\Lambda p{2}^{{{{})}'\}'^{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}},\lamsigmu},\sigmu},\}(_cda_{2}_cda_{2}

(1)

$여기$ 서 W $(Ω,$ $p)$ 는 위그너 $회전$ 이고^(j) D는 SO $(3)$ 의 ( $2j$ + $1)$ 차원 표현이다.(1)에 $δ =$ 1, 즉 $U가$ exp( $iHθ)$ 인 a =( $θ, 0, 0,$ 0)를 대입하면 다음과 같이 된다.

{\alpha }\displaystyle H\Psi = E_{\alpha }\Psi,\DISPE_{\alpha }=p_0_{1}+p_2}+\,}}{0}+\cdots,}

따라서 입자와 입자의 에너지 항이 혼합되어 있지 않기 때문에 필연적으로 상호작용하지 않는 전체 해밀턴의 고유 상태가 됩니다.위의 항에서 설명한 바와 같이 in 상태

ψ +

the the out 상태

ψ -

the는 다음과 같이 해야 합니다.

e d \ _ \ ealphaalpha)\pm}{\}{\t}{\t}}{\t}}}{\T}}}}\Displaystylephau}{\displaystyle e-I}Psi _{\alpha }^{\pm}=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha }\pm}g(\alpha })\Psi _{\alpha } }

큰 양의 δ와 음의

δ

는

g

로 표현되는 해당 패키지의

외관

을 가지며, g는 매끄럽고 운동량에 적합하게 국소화된 것으로 가정한다.웨이브 패키지가 필요합니다.그렇지 않으면 시간 진화에 의해 자유입자를 나타내는 위상계수만 생성됩니다.그렇지 않을 수도 있습니다.오른쪽은 입력 및 출력 상태가 위의 해밀턴 고유 상태임을 나타냅니다.이 요건을 공식화하기 위해, 완전한 해밀턴 H는 두 개의 항, 즉 자유입자

해밀턴 0

H와

상호작용

V,

H

= H 0

+

V

로 나눌 수 있으며, H의

고유 0

상태

δ

가_γ 정규화 및 로렌츠 변환 특성과 관련하여 내부 및 외부 상태와 동일한 외관을 가질 수 있다고 가정합니다.

_alpha _displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha}=E_{\alpha}\Phi _{\alpha}}

\displaystyle(\Phi _{\alpha }),\Phi _{\alpha }=\displaystyle(\alpha '-\alpha ).}

및한 해밀턴의됩니다.

Hdisplaystyle H\{\alpha}^{\pm}=E_{\alpha}\Psi_{\pm})

만족스러운

e d \ eint d\alpha \g)\display style e^{-iH\tau}\alpha\alpha\g(\alpha)Psi _{\alpha }^{\pm}\오른쪽 화살표 e^{-iH_{0}\tau}\int d\alpha \g(\alpha)\ _파이 _{\alpha}}

τ \to

-contraction 또는

τ

\to

+contraction에 대해 각각 지정합니다.정의

edisplaystyle \Omega (\tau)\equiv e^{-iH_0}\tau}e^{-iH}\tau}

그리고나서

\Displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\파이 _{\alpha}}

이 마지막 식은 wave 패키지를 사용하는 경우에만 작동합니다.이러한 정의로부터 입자와 입자의 상태는 자유입자 상태와 같은 방법으로 정규화된다.

__{\ _ }^{-}}^{-},\parama }{-},\parama},\parama },\parama },\paramparampa =(\parama },\parama },\parama

그리고 세 세트는 하나의 집합으로 동등합니다.이제 고유값 방정식을 다시 씁니다.

alpha i\ _}+ _ }\displaystyle ({\alpha })

여기서 ±

i †

항이 추가되어 LHS의 연산자가 반전할 수 있게 되었습니다.입력 및 출력

상태

가 V → 0일

때

자유 주파수 상태로 감소하므로

_alpha}}{\displaystyle i\psi _{\alpha}^{\pm}=i\ilon \Phi _{\alpha }}}

취득하는 RHS 상에서

Psi _{\alpha}^{\pm}=\Phi _{\alpha}+(E_{\alpha}-H_{0}\pm i\psi)^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm}}}}.

그리고 자유입자 상태의 완전성을 사용하세요.

displaystyle Vpmd\pm= {\}^{\pm})\(\displaystyle V\Psi_{\pm}=\Phi_{\Phi } ),

마침내 손에 넣다

\Psi_{\alpha}^{\pm}=\Phi_{\alpha}^{\pm}{\pm}\Phi_{\alpha}-E_{\pm}\pm i\ilon}}}\Phi_{\pm}}\pm i\ilon}} }}}} }}}}}\Phi_Phi}'Phi}'Phi}'Phi}'Phi}

여기

서₀ H는 자유입자 상태의 고유값으로 대체되었습니다.이것이 리프만-슈윙거 방정식이다.

statesout으로 .

초기 상태는 최종 상태에 따라 확장할 수 있습니다(또는 그 반대).하여, 「완전성 관계」를 합니다.

\Psi _ }^{-}= d _ d \ _{\passi }_{-} _\passi } _{\passi } {\passi } _\passi } _{\passi } {\passi }yle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\pass (\Psi _{\pass }^{-}=\int d\pass \Psi _{\passi }^{+}\passi }_{\passi }_{-}\passi } _{\passi } } } _{\passi } \passi } _{\passi } _{\passi } _\passi } } } } } }

\}\ \ _ {ldots}\}f},0\right\rangle \+\sum _{m=1}^{\infty}\sum {i}\ldots}\dp}

여기

서_m C는 교호작용이 변환될 확률입니다.

= _displaystyle \mathrm {i},k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{-}

안으로

= _displaystyle \mathrm {f},p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Ps }

양자역학의 일반적인 법칙에 따르면

\mathrm {i},rangle =(\Psi_dots }^{\})_psi} _Psi

그리고 누군가는 쓸 수 있다

displaystyle \left \mathrm {i},k_{1}\ldots k_{n}\right \rangle = C_{0}\left \mathrm {f},0\right \rangle \ +\sum _{m=1}{\infty }\int {n}\m} \mathright d^{p}

팽창 계수는 정확히 아래에 정의해야 할 S 매트릭스 요소이다.

S 매트릭스

이제 S 매트릭스는 다음과 같이 정의됩니다^[8].

(\displaystyle S_{\beta \alpha }=\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\control \mathrm {f},\alpha \rmathrm {f},\langle \rangle \mathcal {f})}}}}}}}.

$여기$ 서 α $및$ β는 입자 함유량을 나타내지만 개별 라벨을 억제하는 약자다.S 매트릭스와 관련하여 S $연산자$ S는 다음과 같이 정의된다^[8].

_ \ _alpha }\displaystyle \langle \Phi _{\alpha } S \phi _{\langle \equiv {\beta }

여기서 $δ$ 는_γ 자유 입자 상태입니다.^[8]^{[nb 2]}이 정의는 상호작용 그림에서 사용되는 직접 접근방식을 준수합니다.또한, 단일 등가성으로 인해

displaystyle _{\parama }^{+} S \Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\parama }^{-} S \Psi _{-}^{-}\rangle }

물리적 요건으로서 $S$ 는 단일 연산자여야 한다.이것은 양자장 이론에서의 확률 보존에 대한 진술이다.그렇지만

displaystyle _{\displayel }^{-} S \Psi _{\displayel =\displayel \Psi _{\displayel }^{-}\Psi _{\alpha }^{-}\rangle } } }

그럼 완성도라면,

S _= \ _}^{+}\displaystyle S \Psi _{\alpha }^{-}\rangle = \Psi _{\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}

즉, S는 in-state에서 out state로의 유니터리 변환입니다.로렌츠 불변성은 S 행렬의 ^[8]^{[nb 3]}또 다른 중요한 요건이다.S 연산자는 초기 상태의 양자 표준 변환을 최종 출력 상태로 나타냅니다.게다가

S

는 진공 상태를 불변으로 하고 공간 내 필드를 공간 외 ^{[nb 4]}필드로 변환한다.

S 0= 0}(\displaystyle S\left 0\right\rangle =\left 0\right\rangle }

\displaystyle \phi _{\mathrm {f} = S\phi _{\mathrm {i} } S^{-1}~.}

생성 및 소멸 연산자의 관점에서 이것은

\displaystyle a_{\rm {f}(p)=Sa_{\rm {i}(p) S^{-1}, a_{\rm {f}^{\display }(p)=Sa_{\rm {i}^{\display }(p) S^{-1}}}

이런 이유로

{begin{aligned}S \mathrm {i}, k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}\rangle & = Sa_{\rm {i}(k_{1})a_{\rm {i}{i}{\cdots}{{{{k_{{}}}}}{{{{\rmi}}}}}{{{{{\cdisignalignaligned}}}}}}}}{{{{{{k}}}S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger}(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger}(k_{n})S^{-1}S 0\rangle \\&=a_{\rm {o}^{\rm }(k_{1})a_{\rm {o}^{\rm }(k_{2})\cdots a_{\rm o}(k_{n}) S 0\rangle =a_{\rmo}(k} } } } } } {{{\rmo} } } } } } } } } } } }

S가 출력 상태에서 왼쪽으로 동작하는

경우

에도 같은 식이 유지됩니다.이는 S-행렬이 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미한다.

\displaystyle S_{\beta \alpha }=\displayle \mathrm {o},\display \mathrm {i},\display S \mathrm {i},\display S \mathrm {o},\alpha \langle.

S가 상호작용을 올바르게 기술하는 $경우$ 다음 속성도 참이어야 합니다.

시스템이 운동량 고유 $상태$ kµ의 단일 입자로 구성되어 $있다면$ , $S$ $kµ$ $=$ kµ이다.이것은, 특수한 경우로서 상기의 계산에 근거하고 있습니다.
S 매트릭스 요소는 출력 상태가 입력 상태와 동일한 총 운동량을 갖는 경우에만 0이 아닐 수 있습니다.이는 S 행렬의 필수 로렌츠 불변성에서 비롯된다.

Evolution operator U

Define a time-dependent creation and annihilation operator as follows,

a^{\dagger }\left(k,t\right)=U^{-1}(t)a_{\rm {i}}^{\dagger }\left(k\right)U\left(t\right)

a\left(k,t\right)=U^{-1}(t)a_{\rm {i}}\left(k\right)U\left(t\right)~,

so, for the fields,

\phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,

where

S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).

We allow for a phase difference, given by

e^{i\alpha }=\left\langle 0 U(\infty ) 0\right\rangle ^{-1}~,

because for

S

,

S\left 0\right\rangle =\left 0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0 S 0\right\rangle =\left\langle 0 0\right\rangle =1~.

Substituting the explicit expression for $U$ , one has

S={\frac {1}{\left\langle 0 U(\infty ) 0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,

where

H_{\rm {int}}

is the interaction part of the hamiltonian and

{\mathcal {T}}

is the time ordering.

By inspection, it can be seen that this formula is not explicitly covariant.

Dyson series

The most widely used expression for the S-matrix is the Dyson series. This expresses the S-matrix operator as the series:

S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]

where:

$T[\cdots ]$ denotes time-ordering,
$\;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)$ denotes the interaction Hamiltonian density which describes the interactions in the theory.

The not-S-matrix

Since the transformation of particles from black hole to Hawking radiation could not be described with an S-matrix, Stephen Hawking proposed a "not-S-matrix", for which he used the dollar sign ($), and which therefore was also called "dollar matrix".^[9]

Remarks

^ This is not true if an open system is studied. Under an influence of an external field the in and out vacua can differ since the external field can produce particles.
^ Here it is assumed that the full Hamiltonian $H$ can be divided into two terms, a free-particle Hamiltonian $H 0$ and an interaction $V$ , $H = H 0 + V$ such that the eigenstates $Φ γ$ of $H 0$ have the same appearance as the in- and out-states with respect to normalization and Lorentz transformation properties. See Weinberg (2002), page 110.
^ If $Λ$ is a (inhomogeneous) proper orthochronous Lorentz transformation, then Wigner's theorem guarantees the existence of a unitary operator $U (Λ)$ acting either on $H i$ or $H f$ . A theory is said to be Lorentz invariant if the same $U (Λ)$ acts on $H i$ and $H f$ . Using the unitarity of $U (Λ)$ , $S βα = ⟨ i, β f, α ⟩ = ⟨ i, β U (Λ) † U (Λ) f, α ⟩$ . The right-hand side can be expanded using knowledge about how the non-interacting states transform to obtain an expression, and that expression is to be taken as a definition of what it means for the S-matrix to be Lorentz invariant. See Weinberg (2002), equation 3.3.1 gives an explicit form.
^ Here the postulate of asymptotic completeness is employed. The in and out states span the same Hilbert space, which is assumed to agree with the Hilbert space of the interacting theory. This is not a trivial postulate. If particles can be permanently combined into bound states, the structure of the Hilbert space changes. See Greiner & Reinhardt 1996, section 9.2.

Notes

^ John Archibald Wheeler, "On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure", Phys. Rev. 52, 1107–1122 (1937).
^ ^a ^b Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory (Pages 990 and 1031) Springer, 2001 ISBN 0-387-95086-9, ISBN 978-0-387-95086-0
^ Merzbacher 1961 Ch 6. A more common convention, utilized below, is to have the S-matrix go to the identity in the free particle case.
^ Greiner & Reinhardt 1996 Section 8.2.
^ Greiner & Reinhardt 1996 Equation 8.44.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Greiner & Reinhardt 1996 Chapter 9.
^ Weinberg 2002 Chapter 3. See especially remark at the beginning of section 3.2.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Weinberg 2002 Chapter 3.
^ Leonard Susskind, Black Hole War, chapter 11.

References

L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. §125
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol I, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
Merzbacher, Eugen (1961), Quantum Mechanics, Wiley & Sons, Ch 13, §3; Ch 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
Sakurai, J.J.; Napolitano, J (2011) [1964]. Modern Quantum Mechanics (2nd ed.). Addison Wesley. Chapter 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
Barut, Asim Orhan (1967). The Theory of the Scattering Matrix for the interactions of fundamental particles. Macmillan.
Albert Messiah (1999). Quantum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-40924-4.
Tony Philips (November 2001). "Finite-dimensional Feynman Diagrams". What's New In Math. American Mathematical Society. Retrieved 2007-10-23.
Stephen Gasiorowicz (1974). Quantum Physics. Wiley & Sons. ISBN 0-471-29281-8.
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer Publishing, ISBN 3-540-59179-6
Mussardo, G. (1992). "Off-critical statistical models: Factorized scattering theories and bootstrap program". Physics Reports. 218 (5–6): 215–379. Bibcode:1992PhR...218..215M. doi:10.1016/0370-1573(92)90047-4.
Zamolodchikov, A. B. (1979). "Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models". Annals of Physics. 120 (2): 253. Bibcode:1979AnPhy.120..253Z. doi:10.1016/0003-4916(79)90391-9.

[9] This is not true if an open system is studied. Under an influence of an external field the in and out vacua can differ since the external field can produce particles.

[10] Here it is assumed that the full Hamiltonian $H$ can be divided into two terms, a free-particle Hamiltonian $H 0$ and an interaction $V$ , $H = H 0 + V$ such that the eigenstates $Φ γ$ of $H 0$ have the same appearance as the in- and out-states with respect to normalization and Lorentz transformation properties. See Weinberg (2002), page 110.

[11] If $Λ$ is a (inhomogeneous) proper orthochronous Lorentz transformation, then Wigner's theorem guarantees the existence of a unitary operator $U (Λ)$ acting either on $H i$ or $H f$ . A theory is said to be Lorentz invariant if the same $U (Λ)$ acts on $H i$ and $H f$ . Using the unitarity of $U (Λ)$ , $S βα = ⟨ i, β f, α ⟩ = ⟨ i, β U (Λ) † U (Λ) f, α ⟩$ . The right-hand side can be expanded using knowledge about how the non-interacting states transform to obtain an expression, and that expression is to be taken as a definition of what it means for the S-matrix to be Lorentz invariant. See Weinberg (2002), equation 3.3.1 gives an explicit form.

[12] Here the postulate of asymptotic completeness is employed. The in and out states span the same Hilbert space, which is assumed to agree with the Hilbert space of the interacting theory. This is not a trivial postulate. If particles can be permanently combined into bound states, the structure of the Hilbert space changes. See Greiner & Reinhardt 1996, section 9.2.

[1] John Archibald Wheeler, "On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure", Phys. Rev. 52, 1107–1122 (1937).

[Mehra-2] Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory (Pages 990 and 1031) Springer, 2001 ISBN 0-387-95086-9, ISBN 978-0-387-95086-0

[3] Merzbacher 1961 Ch 6. A more common convention, utilized below, is to have the S-matrix go to the identity in the free particle case.

[4] Greiner & Reinhardt 1996 Section 8.2.

[5] Greiner & Reinhardt 1996 Equation 8.44.

[Greiner_1-6] Greiner & Reinhardt 1996 Chapter 9.

[7] Weinberg 2002 Chapter 3. See especially remark at the beginning of section 3.2.

[Weinberg_1-8] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Weinberg 2002 Chapter 3.

[13] Leonard Susskind, Black Hole War, chapter 11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[nb 1]

[nb 2]

[nb 3]

[nb 4]

[9]

v t Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
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statesout으로 .

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