범용변수제식

궤도역학에서 범용 변수 제형은 2체 케플러 문제를 해결하기 위해 사용되는 방법이다.케플러 방정식의 일반화된 형태로서 타원 궤도는 물론 포물선 궤도와 쌍곡선 궤도에까지 적용되도록 확장한다.따라서 그것은 매우 다양한 편심률의 궤도가 존재하는 태양계의 많은 상황에 적용된다.

소개

궤도역학에서 흔히 볼 수 있는 문제는 다음과 같다: 궤도에 있는 신체와 시간 t가₀ 주어진다면, 주어진 다른 시간 t에서 신체의 위치를 찾는다.편심도가 상당히 작은 타원 궤도의 경우 뉴턴의 방법과 같은 방법으로 케플러 방정식을 풀면 적절한 결과가 나온다.그러나 궤도가 점점 편심해지면서 수치 반복이 서서히 수렴되기 시작하거나 아예 수렴되지 않을 수도 있다.^[1][2]더욱이 케플러의 방정식은 타원 궤도에 특별히 맞춘 것이기 때문에 포물선 궤도와 쌍곡선 궤도에 적용할 수 없다.

파생

포물선 궤도와 쌍곡선 궤도에 대해서는 케플러 방정식과 유사한 방정식을 도출할 수 있지만, 편심 변이 E를 대신할 새로운 독립 변수를 도입하는 것이 편리하며, 궤도의 편심성과 상관없이 해결할 수 있는 단일 방정식을 갖는 것이 더 편리하다.새로운 변수 s는 다음과 같은 미분 방정식으로 정의된다.

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}={\frac {1}{r}}}$

여기서 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle r=r(t)}$은 유인력의 중심까지의 시간 간격이다.기본 방정식 $d{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ d ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\displaystyle \frac{{t\mathrm{}}^{}}{}}$2 + $μ$ r${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ = ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$ {r}}{$dt^{2}}}+}\mathbf {0}}}은(는)$ 다음 수율에 대한 변수의 변경을 적용하여 정규화된다.^[2]

${\dplaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r}{ds^{2}}+\알파 \mathbf {r} =-\mathbf {P}}}}$

여기서 P는 일정한 벡터이고 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle \cHB ={\frac {\mu}{a}}}$

이 방정식은 물리학과 수학 모두에서 잘 알려진 방정식인 고조파 발진기의 방정식과 같다.다시 파생상품으로 삼차 미분방정식을 얻는다.

${\dfrac {d^{3}\mathbf {r}}{ds^{3}}+\frac {d\mathbf {r}}{ds}=\mathbf {0}}}}}}$

이 미분에 대한 솔루션 equation[2]의 가족이 상징적으로 기능을 1, sc1(s2α), s2c2(s2α),{\displaystyle 1,\s\ c_{1}(\alpha s^{2}),\ s^{2}\ c_ᆱ(\alpha s^{2}),}이 기능}k()){\displaystyle)c_{k}())c, 촉 슈툼프 기능 전화로 쓰여졌다.e감속사인 및 코사인 함수의 활성화.이를 적용하면 다음과 같은 결과가 된다.^[3]

${\displaystyle t-t_{0}=r_{0}\s\c1}(\caps s^{2})+r_{0}{0}{0}{dr_{0}\s^{dt}\ s^{2}\c^{2}\2}\mu \s^{3}\{3}}(\c^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

케플러 방정식의 범용 변수 공식이다.이 방정식은 이제 뉴턴의 방법이나 라구에르(Laguere)의 방법과 같은 뿌리 찾기 알고리즘을 사용하여 주어진 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$을(를) 산출하는$$ 데 사용할 수 있으며$,$ 이 알고리즘은 f와 g 함수를 계산하는 데 사용된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=1-\left({\frac {\mu }{r_{0}}}\right)s^{2}c_{2}(\alpha s^{2}),\\g(s)&=t-t_{0}-\mu s^{3}c_{3}(\alpha s^{2}),\\{\frac {df}{dt}}&={\dot {f}}(s)=-\left({\frac {\mu }{rr_{0}}}\right)sc_{1}(\alpha s^{2}),\\{\frac {dg}{dt}}&={\dot {g}}(s)=1-\left({\frac {\mu }{r}}\right)s^{2}c_{2}(\alpha s^{2})\end{aligned}}}$

f 및 g 함수의 값은 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$\}:$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}\ f(s)+\mathbf {v} _{0}\g(s)}$

또한 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 차체 속도는 다음과 같이$$ $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \dot{}(s}$) ${\dot{f}}$ 및 $g$ ˙(s) ${\dot{g}}$을 사용하여 확인할 수 있다$$.

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {r} _{0}\ {\dot {f}+\mathbf {v}\{0}\\dot {g}s}}}$

${\displaystyle {}_{}}$서 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및$$$$$v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ {\$displaystyle$ $\$$mathbf${$v$$}$은(는) 시간$$ t {\$displaystyle$ t$},$ r $0$${\$ \mathbf ${$r} _${0}$ 및 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0}은(는$)$의 위치와 속도다.me ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0${\$

참조