상부 콘벡트 맥스웰 모형

UCM(Upper-convected Maxwell) 모델은 Upper-convected 시간 미분을 사용한 대규모 변형의 경우 Maxwell 재료의 일반화이다.그 모델은 제임스 G에 의해 제안되었다. 올드로이드.그 개념은 제임스 클럭 맥스웰의 이름을 따서 지어졌다.

모델은 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

\mathbf {T} +\displayda {stackrel {\mathbf {T}}=2\eta _{0}\mathbf {D}

여기서:

$\mathbf {T}$ {\ $displaystyle \mathbf {T}}$ 는 $\mathbf {T}$ 응력 텐서이다.
$§$ $(\displaystyle$ \displayda $)$ 은 $\lambda$ 휴식시간입니다.
${\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}$ ${\$ { \ $displaystyle$ \ $stackrel$ \ $nabla$ } { \ $mathbf$ { $T }$ }는 ${\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}$ 응력 텐서의 상위 컨벡트 시간 도함수입니다.

{\stackrel}{\mathbf {T}}=mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \cdla \mathbf {T} - (\displaystyle \mathbf {V})^{T}\cdot \mathbf {T

$\mathbf {v}$ \ $displaystyle \mathbf {v}$ 는 $\mathbf {v}$ 유체 속도입니다.
$\eta _{0}$ \ $eta _{$ 0 $\eta _{0}$ })은 안정적 단순 전단에서의 재료 점도이다.
$(\$ 는 $\mathbf {D}$ 변형률 텐서입니다.

정상 전단 사례

이 경우 전단 응력의 두 성분만 0이 아니었다.

T_{12}=\eta _{0}{\dot {\dot }},

그리고.

T_{11}=2\eta _{0}\capda {dot }^{2},

여기서 $({$ dot {{ $dot}}})$ 은 ${\dot {\gamma }}$ 전단 속도입니다.

따라서 맥스웰 상방 모델은 단순 전단응력이 전단율에 비례하고, 상방응력 T_{ $}-T_{22$ 의 제1차 차이( $T_{22}-T_{33}$ - $T_{22$ $T_{22}-T_{33}$ 는 상방응력의 제2차 차이(T22 - $T_{22}-T_{33}$ 33 {di})인 $T_{22}-T_{33}$ 의 제곱에 $비례$ 한다고 예측한다. $splaystyle T_{22}-T_{339$ 는 항상 0입니다.즉, UCM은 정규 응력의 첫 번째 차이의 출현을 예측하지만 전단 점도의 비뉴턴 거동이나 정규 응력의 두 번째 차이의 비뉴턴 거동은 예측하지 않습니다.

통상적인 응력의 첫 번째 차이에 대한 2차적 거동은 통상적인 응력의 두 번째 차이에 대한 2차적 거동이지만, 일정한 점도는 비현실적이고 모델의 사용성을 제한한다.

정상 전단 기동 시

이 경우 전단 응력의 두 성분만 0이 아니었다.

({displaystyle T_{12}=\eta _{0}}{\dot {\exp \left}}{\frac {t}}\right})

그리고.

\displaystyle T_{11}=2\eta _{0}\dot {dot }^2}\left(1-\exp \left {\frac {t}}\right)\left(1+{\frac {t}{\frac {t}}}}\left(1+{\frac {\fracda }}}}}}}\right)\right)

위의 방정식은 정상 상태 값이 0에서 점차적으로 상승하는 응력을 나타냅니다.이 방정식은 전단 흐름의 속도 프로파일이 완전히 발달한 경우에만 적용할 수 있다.그러면 채널 높이에 걸쳐 전단 속도가 일정합니다.시동 형태가 제로 속도 분포를 계산해야 하는 경우, PDE의 전체 세트를 해결해야 합니다.

정상 상태의 단축 확장 또는 단축 압축의 경우

이 경우 UCM은 다음 방정식으로 계산되는 정상 응력 $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ - $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ - $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ T $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ { $displaystyle$ \ displaystyle $= T_{11}$ - $T_{22$ } = $T_{11}$ - $T_{33}$ 을 $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ 예측합니다.

{\displaystyle\dotsfrac {2\eta _{0}{\dotsfrac {1-2\dotsda {{0}}}+{\frac {eta _{0}{1+\dotsilon }}}}

여기서 $({$ 은 ${\dot {\epsilon }}$ 신장률입니다.

이 방정식은 낮은 신장률( ${\dot {\epsilon }}\ll {\frac {1}{\lambda }}$ 1 ${\$ { $display$ $style$ { \ $display style$ 3 \ ${\dot {\epsilon }}\ll {\frac {1}{\lambda }}$ $eta$ _ { $0$ } （ 뉴턴 유체와 동일)에 $3\eta _{0}$ 하는 신장 점도를 예측하며, 점도가 일정하게 유입될수록 두꺼워지는 빠른 $변형률$ ({ displaystyle { $1}$ {\ $lambda$ } } } } ${\dot {\epsilon }}\ll {\frac {1}{\lambda }}$ ）일부 신장 속도( ${\dot {\epsilon }}_{-\infty }=-{\frac {1}{\lambda }}$ ${\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}$ ${\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}$ ${\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}$ 1 2 ${\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}$ { displaystyle { dot ${ displaystyle$ } _ { \ $infty$ } $=$ 1 λ ${\dot {\epsilon }}_{-\infty }=-{\frac {1}{\lambda }}$ rate ${\dot {\epsilon }}_{-\infty }=-{\frac {1}{\lambda }}$ $1$ { $displaystyle$ { $displaystyle } =$ ${\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}$ = 1 λ { $displaystylon$ } = 1 = $frac$ { displaystylac } frac { $displaystylon$ } )이 행동은 현실적일 것 같다.

작은 변형의 경우

작은 변형의 경우, 상부 콘벡트 도함수에 의해 도입된 비선형성은 사라지고 모델은 맥스웰 재료의 일반적인 모델이 되었다.

레퍼런스

Macosko, Christopher (1993). Rheology. Principles, Measurements and Applications. VCH Publisher. ISBN 1-56081-579-5.

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