여과(확률 이론)

확률적 과정 이론, 확률 이론의 하위 훈련에서, 오차는 주어진 지점에서 이용할 수 있는 정보를 모델링하는 데 사용되며 따라서 무작위 프로세스의 공식화에 중요한 역할을 하는 하위 집합의 완전히 순서화된 모음입니다.

정의

Let $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ be a probability space and let $I$ be an index set with a total order $\leq$ (often $\mathbb {N}$ , $\mathbb {R} ^{+}$ , or a subset of ${\displaystyle \ma$ $thbb {R} ^{+}}$ $\mathbb {R} ^{+}$ .

모든 $i\in I$ $i\in I$ $i\in I$ ${\displaystyle$ i $\in I}$ 에 대해 ${\mathcal {F}}_{i}$ i ${\$ 을(를) ${\mathcal {A}}$ ${\$ 의 하위 절연골(sub-algebra)로 ${\mathcal {F}}_{i}$ 한다 $i\in I$ ${\mathcal {A}}$ 그런 다음

\mathb{F} :=({\mathcal {F}_{i}_{i\in I})

$k\leq \ell$ ${\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }$ $k\leq \ell$ ${\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }$ ${\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }$ ${\$ {\ $mathcal {\$ mathcal ${F}$ _{k}\subseteq ${\mathcal{F}_{\ell}}}}.$ 따라서 필트레이팅은 cre-algebrames의 가족으로서, 비주문된 것이다 $k\leq \ell$ ^[1] $\mathbb {F}$ ${\$ 이(가) 여과인 $\mathbb {F}$ 경우, ( $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)$ , A $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)$ , $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)$ , $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)$ ) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal {A},\mathb {F}, P)}$ 은 여과된 확률 공간이라고 한다 $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)$ .

예

$(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ) $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ N ${\$ $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ $}}}}}}$ 확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ , $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ A $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ , $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal{A},P)}$ 에 대한 확률적 과정이 되게 $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 한다 $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ 그런 다음

{\mathcal{F}_{n}:=\sigma(X_{k}\mid k\leq n)

σ-algebra이고 F $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ = $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ( $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ n $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ) n $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\$ 은(는) 여과다 $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . 여기서 $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ ( $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ n $){\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq$ n $)}$ 는 랜덤 변수 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ , $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ X $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ , $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ X $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ ${\$ 에 의해 생성된 σ-algebra를 나타낸다 $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$

$\mathbb {F}$ ${\$ 은 ${\mathbb F}$ $($ 는) 정말로 여과물인데, 이는 정의상 모든 ${\mathcal {F}}_{n}$ ${\mathcal {F}}_{n}$ ${\$ 은 ${\mathcal {F}}_{n}$ (는) σ-알게브라와

\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1)}

오차의 종류

우연속 여과

$\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ = $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ ( $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ ) $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ \ \ $displaystyle \mathb {F} =({\mathcal {F}_{i}_{i\in I})$ 가 여과인 $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ 경우 해당 우측 연속 여과가 다음과^[2] 같이 정의된다.

\mathb {F} ^{+}=({\mathcal {F}_{i}^{+})_{i\in I}}}

와 함께

{\mathcal {F}_{i}^{+}=\bigcap _{i<z}{\mathcal{F}_{z}.

$\mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F}$ + = $\mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F}$ {\ $displaystyle \mathb {F}$ 의 여과 F + $\mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F}$ = F ${\$ 이면 그 자체가 $\mathbb {F}$ 오른쪽 연속이라고 불린다 $\mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F}$ ^[3]

완전여과

내버려두다

{\displaystyle {\mathcal{N}_{P:=\{A\subseteq \Oomega \mid \subseteq B{\text{{}}}{{}P(B)=0\}}}일부 }B{\text{{}}}}}}일부 }}}}}}"

$P$ $P$ -null $P$ 집합에 포함된 모든 집합의 집합이다.

A filtration $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ is called a complete filtration, if every ${\mathcal {F}}_{i}$ contains ${\mathcal {N}}_{P}$ . This is equivalent to ${\displaystyle (\Omega ,$ ${\mathcal{F}_{i},P)}$ 은(는) $i\in I.$ $i\in I.$ {\ $displaystyle i\in I.}$ 에 대한 전체 측정 공간임 $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)$

증강 여과

완전하고 바르게 연속되면 여과라고 한다. 모든 여과 $\mathbb {F}$ ${\$ 에 대해 F ${\tilde {\mathbb {F} }}$ ~ ${\tilde {\mathbb {F} }}$ {\ $displaystyle$ {\ $tilde {\mathb {F}}}$ $\mathbb {F}$ F $\mathbb {F}$ {\ $displaystyle \mathb {F$ 이 ${\mathbb F}$ (가) 최소 증강 여과가 있다.

여과가 증강 여과인 경우에는 일반적인 가설이나 통상적인 조건을 만족시킨다고 한다.^[3]

참고 항목

참조

^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 191. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Switzerland: Springer. p. 350-351. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^ ^a ^b Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 462. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Klenke191-1] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 191. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg350-2] Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Switzerland: Springer. p. 350-351. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[Klenke462-3] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 462. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

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