예측 오차의 분산 분해

계량경제학 및 다변량 시계열 분석의 다른 응용 분야에서는 벡터 자동 회귀(VAR) 모델을 ^[1]적합시킨 후 해석하는 데 도움이 되는 분산 분해 또는 예측 오차 분산 분해(FEVD)가 사용됩니다.분산 분해는 각 변수가 자기 회귀의 다른 변수에 기여하는 정보의 양을 나타냅니다.각 변수의 예측 오차 분산 중 어느 정도가 다른 변수에 대한 외부 충격에 의해 설명될 수 있는지 결정합니다.

예측 오차 분산 계산

VAR 형식(p)의 경우

${\displaystyle {}_{}y}$ t ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_t}$ -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ + ${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_t}$ -${\displaystyle {}_{}{p}_{}}$ + ${\displaystyle u_{}}$ t$${ $display style$ y _ { $t$} = \$nu$ + $A$_ {$t-1}$ y$_$ { $dots$+ A$_$ { $p$} $y$_ { $t-p$} + u _ { t $$$}$

이는 동반 형식으로 작성하여 VAR(1) 구조로 변경할 수 있습니다(VAR(p)의 일반 매트릭스 표기 참조).

$displaystyle Y_{t$$AY_{t-1}+$$U_{t$$}}:$ 여기서

$]($$A_{1}&A_{2}&\dots&A_{p-1}&$A_{p}\\\mathbf{나는}_{k}&, 0&, \dots &, 0&, 0\\0&,\mathbf{나는}_{k}&,&0&, 0\\\vdots &,&\ddots, \vdots &, \vdots \\0& &, 0&, \dots &, \mathbf{나는}_{k}&, 0\\\end{bmatrix}}}, Y)[y 1⋮는 yp]{\displaystyle Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{p}\end{bmatrix}}}, V-경우. ν 0⋮ 0]{\displaystyle V={\begin{bmatrix}\n$u$\\$0\vdots$\\$0\end{bmatrix}}$ $및$ ${\displaystyle \begin{array}{c}U{}_{}\end{array}}$ t ${\displaystyle =}$ [ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ \mathrm{}\end{array}}$ t 0${\displaystyle \begin{array}{}\\ 0\\ \mathrm{}\end{array}}$0$$]{ $style$ U _ { t } $=${ $begin${ bmatrix } $u _$ { $t$} \ \ $0$\ \ \ \ $vdots$\ \ 0 \$end$ { $bmatrix$}

${\displaystyle {여기}_{}}$서 y t$${ $displaystyle$$y$$_$ { $t$} , ${\$ { \ $displaystyle$ \ nu$$$$} $u$ { \ $displaystyle$u}는$$k \ $displaystyle$$$kp의 $kp$이고$,$ $A{\displaystyle }$$${ $displaystyle$$$kp$$}는$$$$ $,$ Y$${ $displaystyle$ Y$\},$$V{\displaystyle }$ 및 U { $displaystyle$ V$}$입니다.${\displaystyle U}${\$displaystyle$ U$}$는 ${\displaystyle \mathrm{kp}}$ {\$displaystyle$ kp$}$차원$$ 열 벡터입니다.

$변수{\displaystyle }$ j$\displaystyle$j의$$ h-step 예측의 평균 제곱 오차는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathbf {MSE} [y_{j,t}(h)]=\sum _{i=0}^{h-1}\sum _{l=1}^{k}(e_{j})'\Theta _{i}e_{l}^{2}=bigg (})\sum _{i=0}^{h-1}\Theta _{i}\Theta _{i}'{\bigg}_{bigg}=sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}\Sigma _{u}\Phi _{i}'{\bigg}_{jj}}$

그리고 어디서

• ${\displaystyle e_{}}$ j$(\$는 ${\displaystyle I_{}}$ k$(\$의^th j열로, ${\displaystyle \mathrm{첨자}}$ j$(\displaystyle$ jj$)$는 매트릭스 요소를 나타냅니다.

• ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}{}_{}}$i = ${\displaystyle {}_{}}$i$P$ , {$displaystyle$ \$Theta$ _ { i } = \$Phi$_ { i$}$ P$$ , $여기서$P {$$displaystyle P$$ }는$$${\displaystyle \sigma }$$U$ \ sigma$$ _$${ u} ${\displaystyle {}^{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$\ $display$ P$$=$display$ {\ularularularularularularular p p = \ $sigma$ _ { i display P display obtained obtained p obtained p p obtained obtained obtained obtained obtained obtained obtained p p p p p p p obtained p p p p p obtained p$PP$ 여기서 {\$$ \ $displaystyle$\ $Sigma$_ ${u}$는 오류의 공분산 $매트릭스입니다.$

• $J$$$$JA_{i}J',}$ 서 J [ 0 ... , ${\displaystyle$ J$$$= begin {bmatrix}\mathbf {I} _{k}&\$$display style$ $J$는 $\display kp$matrix$}$ $차원$ 행렬에 의한 k\$displaystyle$ k$$$'$입니다.

$l$에 대한 외부 충격에 의해 $설명$되는 변수$$j {$displaystyle$j$}$의 예측$$ 오차 분산은 ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ l${\displaystyle {,}_{}}$ $,$ {$displaystyle \obega$ _${jl,h}$로 구한다.

$\displaystyle _{jl,h}=\sum _{i=0}^{h-1}(e_{j})'\Theta _{i}e_{l}^2}/MSE[y_{j,t}(h)]}$

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