벡터 자기 복귀

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벡터 자동 복귀(VAR)는 여러 수량이 시간에 따라 변화할 때 관계를 캡처하는 데 사용되는 통계 모델입니다.VAR은 확률적 공정 모형의 한 유형입니다.VAR 모형은 다변량 시계열을 허용하여 단일 변수(단변량) 자기 회귀 모형을 일반화합니다.VAR 모델은 경제 및 자연과학 분야에서 자주 사용됩니다.

자기 회귀 모델과 마찬가지로, 각 변수는 시간에 따른 진화를 모델링하는 방정식을 가지고 있습니다.이 방정식에는 변수의 지연(과거) 값, 모형에 있는 다른 변수의 지연 값 및 오차 항이 포함됩니다.VAR 모형에는 변수에 영향을 미치는 힘에 대한 지식이 연립 방정식을 사용하는 구조 모형만큼 많이 필요하지 않습니다.필요한 유일한 사전 지식은 시간이 지남에 따라 서로 영향을 미친다고 가정할 수 있는 변수의 목록입니다.

사양

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정의.

VAR 모형은 내생 변수라고 하는 k개 변수 집합의 시간 경과에 따른 진화를 설명합니다.각 시간 주기는 t = 1, ..., T로 번호가 매겨진다. 변수는 길이 k인 벡터_t y로 수집된다. (동일하게 이 벡터는 (k × 1)-1000으로 설명될 수 있다.)벡터는 이전 값의 선형 함수로 모델링됩니다.벡터의 성분을 y라고 하는데_i,t, 이는 i번째 변수의 시간 t에 대한 관측치를 의미합니다.예를 들어, 모형의 첫 번째 변수가 시간에 따른 밀 가격을 측정하는 경우 y는_1,1998 1998년 밀 가격을 나타냅니다.

VAR 모형의 특징은 모형이 사용할 이전 기간의 수를 나타내는 순서입니다.위의 예와 마찬가지로 5차 VAR은 매년 밀 가격을 과거 5년간의 밀 가격과의 선형 조합으로 모델링합니다.지연은 이전 기간의 변수 값입니다.따라서 일반적으로 p차 VAR은 마지막 p 기간의 지연을 포함하는 VAR 모델을 나타냅니다.pth-order VAR은 "VAR(p)"로 표시되며 "p lags가 있는 VAR"로 불리기도 합니다.pth-order VAR 모델은 다음과 같이 기술됩니다.

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},}$

y 형식의_t−i 변수는 해당 변수의 값 i가 이전 기간임을 나타내며 y의_t "ith lag"라고 합니다.변수 c는 모형의 절편 역할을 하는 상수의 k-벡터입니다.A는_i 시간 불변(k × k) 행렬이고_t e는 오차항의 k 벡터이다.오차항은 다음 세 가지 조건을 충족해야 합니다.

1. ${\displaystyle \mathrm{E}}$( ${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ ) $=$ \$style \mathrm {E}(e_{t$})= $0$ 모든 오류 항의 평균은 0입니다.
2. $displaystyle$\$Omega$ $,,\}.$ 오류 항의 동시 공분산 행렬은 δ로 표시된 k × k 양의-반 유한 행렬이다$.$
3. ${\displaystyle }$E${\displaystyle }$( ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle e_{}^{}}$t - ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle )}$ ) $=$ \ $displaystyle$\$mathrm${$E$} ( $e _${ t$$$$} e _ { t - k } )= 0 ,$$} 。시간 간 상관관계가 없습니다.특히, 개개의 ^[1]에러에 대해서는 시리얼 상관관계가 없습니다.

추론은 선택한 지연 ^[2][3]순서의 정확성에 따라 달라지므로 VAR 모형에서 최대 지연 p를 선택하는 과정은 특별한 주의가 필요합니다.

변수의 적분 순서

모든 변수는 동일한 적분 순서여야 합니다.다음의 경우는 구별됩니다.

• 모든 변수는 I(0) (정지)입니다.이것은 표준 케이스, 즉 레벨의 VAR입니다.
• 모든 변수는 I(d)(비정전)이며 d > ^{[citation needed]}0입니다.
  • 변수는 통합됩니다. 오류 수정 항을 VAR에 포함해야 합니다.모델은 제한된 VAR로 표시될 수 있는 VECM(Vector Error Correction Model)이 됩니다.
  • 변수는 통합되지 않습니다. 첫째, 변수를 d회 차이여야 하며 VAR이 있어야 합니다.

간결한 행렬 표기법

VAR(p)를 확률적 행렬 차분 방정식으로 쓰기 위해 간결한 행렬 표기법을 사용하여 벡터를 쌓을 수 있다.

$(\displaystyle Y=BZ+)U,}$

매트릭스에 대한 자세한 내용은 별도의 페이지에 있습니다.

예

k개의 변수가 있는 VAR(p)의 일반적인 예제는 VAR(p)의 일반 행렬 표기를 참조하십시오.

두 변수의 VAR(1)은 다음과 같이 매트릭스 형식(더 콤팩트한 표기법)으로 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle {bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}=c_{1}\c_{c_{2}\end{bmatrix}+{\displaystyle{1,1}&a_{2,}$

(이 예에서는 최대 지연 p가 1과 같기 때문에 단일 A 행렬만 표시됨) 또는 동등하게 두 방정식의 다음 시스템처럼 표시됨

${{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t},}$

$\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t},}$

모형의 각 변수에는 하나의 방정식이 있습니다.각 변수의 현재(시간 t) 관측치는 VAR에서 서로 지연된 값뿐만 아니라 자체 지연된 값에 따라 달라집니다.

VAR(p)를 VAR(1)로 쓰기

p 지연이 있는 VAR은 종속 변수를 적절히 재정의함으로써 항상 하나의 지연만 있는 VAR로 동등하게 다시 작성할 수 있습니다.변환은 새로운 VAR(1) 종속 변수에 VAR(p) 변수의 지연을 쌓고 방정식의 수를 완성하기 위해 식별성을 추가하는 것과 같습니다.

예를 들어 VAR(2) 모델은

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

VAR(1) 모델로 다시 캐스팅할 수 있습니다.

${\displaystyle {bmatrix}y_{t}\y_{t-1}\end {bmatrix}=c\0\end {bmatrix}+{\display {bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\y_{t-2}\end{bmatrix}+{\begin{bmatrix}e_{t}\0\end{bmatrix}}},$

여기서 I는 아이덴티티 매트릭스입니다.

동등한 VAR(1) 형식은 분석적 도출에 더 편리하고 보다 간결한 문장이 가능합니다.

구조적인 형태와 축소된 형태

구조 VAR

p의 지연이 있는 구조 VAR(SVAR의 약칭도 있음)는 다음과 같다.

$\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t}+\epsilon_{t}$

여기서₀ c는 상수의 k × 1 벡터이고_i, B는 k × k 행렬이며(각 i = 0, ..., p에 대하여), θ는_t 오차항의 k × 1 벡터이다.B 행렬₀(i^th 방정식의 i^th 변수에 대한 계수)의 주 대각선은 1로 조정됩니다.

오차항 θ_t(구조적 충격)는 $공분산행렬{\displaystyle \mathrm{}}$ E${\displaystyle ({\theta }_{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ t${\displaystyle }$) ) $=$ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ $\displaystyle \mathrm${E$}(\displaystyle$_t}\$ilon$ _${t$}\sigma $=')$의 대각선 오프 대각선에 있는 모든 원소가 0이라는 특수성과 함께 상기 정의 (1) - (3) 조건을 만족한다.즉, 구조적 충격은 상관없습니다.

예를 들어, 두 가지 가변 구조 VAR(1)는 다음과 같습니다.

$디스플레이 스타일(\displaystyle\bmatrix)1 &B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\y_{2,t}\end{bmatrix}=sbegin{bmatrix}c_{0;1}\c_{0;2}\end{bmatrix1}+{\begin{bmatrix1}{1,\b}$

어디에

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\sigmilon _{t}\sigm _{t}'=sigm {bmatrix}\sigm {bmatrix}\sigm {{2}&\sigm _{2}\end {bmatrix});}$

즉, 구조적 충격의 분산은 v ${\displaystyle \mathrm{a}}$ r${\displaystyle }$(${\displaystyle {\theta }_{}}$i ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\theta }_{}^{}}$ i ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $(\$ (\$ilon$ _${i$})=\$display$ _${\displaystyle \{}$$i}^2}$ $$(${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$ = 1,${\displaystyle {}_{}{\theta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2}$) $=$ ${\displaystyle \mathrm{0}}$ \$display \mathrm {co}$ ($1\ilon)$로 $표시$된다$.$

첫 번째 방정식을 명시적으로 쓰고 y를 오른쪽으로 넘기면_2,t 얻을 수 있다.

${{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1,1}y_{1,t-1}+B_{1,2}y_{2,t-1}+\epsilon_{1,t}$

B가 0이 아닐 경우_0;1,2 y는 y에 동시에_1,t 영향을 미칠 수 있습니다_2,t.이것은, B가 아이덴티티 매트릭스(초기 정의에서는 모든 비대각 요소가 제로)인₀ 경우와는 다릅니다.y는_2,t 직접_1,t+1 y와 후속 미래 값에 영향을 줄 수 있지만 y는 영향을_1,t 주지 않습니다.

모수 식별 문제 때문에 구조 VAR의 일반적인 최소 제곱 추정은 일관되지 않은 모수 추정치를 산출합니다.이 문제는 축소된 형식으로 VAR을 다시 쓰는 것으로 해결할 수 있습니다.

경제적 관점에서, 변수 집합의 공동 역학을 VAR 모델로 나타낼 수 있는 경우, 구조 형태는 기초가 되는 "구조적" 경제 관계를 나타낸다.구조형태의 두 가지 특징은 기초관계를 나타내는 데 선호되는 후보이다.

1. 오차항은 상관관계가 없습니다.경제적 변수의 역학을 주도하는 구조적, 경제적 충격은 독립적이라고 가정하며, 이는 원하는 속성으로서 오차항 간의 상관관계가 0임을 의미한다.이는 VAR에서 경제적으로 무관한 영향의 영향을 분리하는 데 도움이 됩니다.예를 들어, 유가 충격(공급 충격의 예)이 의류 스타일에 대한 소비자의 선호도 변화와 관련되어야 할 이유는 없다. 따라서 이러한 요소들이 통계적으로 독립적일 것으로 예상할 수 있다.

2. 변수는 다른 변수에 동시에 영향을 미칠 수 있습니다.이것은 특히 저주파 데이터를 사용할 때 바람직한 기능입니다.예를 들어, 간접세율 인상은 결정 발표일에 세수에 영향을 미치지 않지만, 그 분기의 데이터에서 효과를 찾을 수 있다.

축소형 VAR

구조 VAR을₀ B의 역순으로 프리멀티핑함으로써

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}Y_{p+}B_{0}^{-1}\epsilon_{t}$

를 나타내고 있습니다.

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{{}i=1,\text},p4\text{및}}B_{0}^{-1}\epsilon_{t}=e_{t}}$

하나는 p차수 감소 VAR을 얻는다.

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

축소 형식에서는 모든 우측 변수가 시간 t에 미리 결정된다는 점에 유의하십시오.오른쪽에는 내생 변수가 없으므로 모형의 다른 변수에 직접적인 동시 영향을 미치는 변수는 없습니다.

그러나 감소된 VAR의 오차항은 구조 충격_t e = Bµ의₀⁻¹_t 합성물이다.따라서 하나의 구조적 충격 δ의_i,t 발생은 잠재적으로 모든 오차 조건_j,t e에서 충격의 발생으로 이어질 수 있으며, 따라서 모든 내생 변수에서 동시 이동을 발생시킬 수 있다.결과적으로, 감소된 VAR의 공분산 행렬은

$\displaystyle \Omega =\mathrm {E}(e_{t}e_{t})'=\mathrm {E}(B_{0}^{-1})=B_{0}^{-1}\Sigma(B_{0}^{-1}',}$

는 0이 아닌 오프캐리어 요소를 가질 수 있기 때문에 오차항 간에 0이 아닌 상관관계를 설정할 수 있습니다.

견적

회귀 모수의 추정

간결한 매트릭스 표기법부터 시작합니다(자세한 것은, 이 부록을 참조해 주세요).

$(\displaystyle Y=BZ+)U,}$

• B 수율을 추정하기 위한 다변량 최소 제곱법(MLS) 방법은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {B}}=YZ'(ZZ')^{-1}.}$

대신 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {Vec}({\hat {B}})=(ZZ')^{-1}Z\otimes I_{k}\\operatorname {Vec}(Y)},$

여기서 ${\$ { $displaystyle \otimes }$는 Kronecker 곱을 나타내고 Vec은 표시된 행렬의 벡터화를 나타냅니다.

이 추정기는 일관적이고 점근적으로 효율적입니다.이 값은 조건부 최대우도 추정기와 ^[4]더 동일합니다.

• 설명 변수는 각 방정식에서 동일하므로 다변량 최소 제곱 추정치는 각 방정식에 개별적으로 적용되는 ^[5]일반 최소 제곱 추정기와 동일합니다.

오차의 공분산 행렬 추정

표준 사례와 마찬가지로 공분산 행렬의 최대우도 추정기(MLE)는 일반 최소 제곱(OLS) 추정기와 다릅니다.

MLE 견적기:^{[citation needed]} ${\displaystyle \sigma \frac{\mathrm{}}{}\stackrel{}{}}$^ ${\displaystyle =}$ 1 ${\displaystyle \frac{T}{}\underset{}{\overset{}{}}{\stackrel{}{}}_{}}$ t ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ^ t ^ t${\displaystyle {}_{}^{}}$^ t$$^ $display$style {\$hat$ { Sigma } =$frac {1$} ${}$$T}}\sum _{t=1}^{$$T}{\hat {epsilon }}_{t}{\hat {epsilon }}_{t}}$

OLS 견적기 ^{[citation needed]}: $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}=}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$T - ${\displaystyle \frac{kp}{}}$ - ${\displaystyle \frac{1}{}\underset{\mathrm{t}}{\overset{}{}}}$ t ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ T${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}{\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ^ t${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$^ ${\displaystyle t_{}^{}}$ {\ ^ t $′$ {$display$ style$}$=$fr frac$ {1} {$T-kp-1}$\ $sum$_ { $t= 1$}^일정하고 k개의 변수와 p의 지연이 있는 모델의 경우 T$}{\$hat {\$hat {psilon$}}$_$${t}}.$

매트릭스 표기법에서는 다음과 같습니다.

$({displaystyle {\sigma}}=black {1}{T-kp-1}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)))}$

추정기의 공분산 행렬 추정

모수의 공분산 행렬은 다음과 같이 추정할^{[citation needed]} 수 있습니다.

${\displaystyle(\mbox{Cov})({\mbox{Vec}({\hat {B}})={Z'})^{-1}\otimes(\sigma }},})$

자유도

벡터 자기 회귀 모델에는 많은 모수의 추정이 수반되는 경우가 많습니다.예를 들어 변수가 7개이고 시차가 4개일 경우 주어진 시차 길이에 대한 계수의 각 행렬은 7x7이고 상수의 벡터는 7개의 요소를 가지므로 총 49×4 + 7 = 203개의 매개변수가 추정되므로 회귀의 자유도(데이터 점의 수에서 추정할 파라미터의 수)가 상당히 낮아진다.이 경우 모수 추정치의 정확도가 저하될 수 있으며 따라서 모형이 제공하는 예측치의 정확도가 저하될 수 있습니다.

추정 모형의 해석

VAR 모델의 특성은 일반적으로 그레인저 인과 관계, 임펄스 반응 및 예측 오차 분산 분해를 사용한 구조 분석을 사용하여 요약됩니다.

임펄스 응답

1차 사례(즉, 1개의 지연만 있는 경우)와 진화 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t}}$

$진화$하는 ($)$ 벡터 y$($$디스플레이$스타일$$ y) $및{\displaystyle }$ $벡터$ e($디스플레이$ 스타일$$ e$)$의 충격입니다.예를 들어 충격 벡터의 j번째 요소가 상태 벡터 2주기 이후의 i번째 요소에 미치는 영향(특정 임펄스 응답)을 찾으려면 먼저 위의 진화 방정식을 한 주기 늦게 작성한다.

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

이것을 원래의 진화 방정식에 사용하여

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

그리고 나서 두 번 지연된 진화의 방정식을 사용하여, 얻기 위해

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

여기서 e ${\displaystyle t_{}}$-$$의 j번째 성분({$displaystyle e_{t-2})$이 y $t$의$$i번째 성분({$displaystyle y_{t})$에 미치는 영향은 $행렬{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}^{}}$2의 i, j 요소({$displaystyle$ A^$2})$$이다.$$}$

AR 프로세스가 안정적이라고 가정하면 시간이 지남에 따라 효과가 점점 작아지겠지만, 즉 행렬 A의 모든 고유값이 절대값 1보다 작다는 것을 이 유도 프로세스에서 알 수 있다.

추정된 VAR 모형을 사용한 예측

추정된 VAR 모델은 예측에 사용될 수 있으며, 일변량 자기 회귀 모델링에 사용된 방법과 완전히 유사한 방법으로 예측의 품질을 판단할 수 있다.

적용들

Christopher Sims는 거시경제적 ^[6]계량학에서 초기 모델링의 주장과 성능을 비판하면서 VAR 모델을 지지해 왔습니다.그는 이전에 시계열 통계와 시스템 식별에 등장했던 VAR 모델을 제어 이론의 통계 전문으로 추천했다.Sims는 VAR 모델이 경제적 관계를 추정하기 위한 이론이 없는 방법을 제공하므로 구조 ^[6]모델에서 "믿을 수 없는 식별 제한"의 대안이 될 수 있다고 주장했다.VAR 모델은 다이어리 데이터^[7] 또는 센서 데이터의 자동 분석을 위한 건강 연구에도 점점 더 많이 사용되고 있다.

소프트웨어

• R: 패키지 변수에는 ^[8][9]VAR 모델에 대한 함수가 포함되어 있습니다.기타 R 패키지는 CRAN 작업 보기에 나열됩니다.시계열 분석.
• Python: statsmodels 패키지의 tsa(시계열 분석) 모듈은 VAR을 지원합니다.PyFlux는 VAR 및 베이지안 VAR을 지원합니다.
• SAS: VARMAX
• 상태: "var"
• EView: "VAR"
• 그레틀: "var"
• 매트랩: "varm"
• 시계열의 회귀 분석: "SYSTEM"
• LDT

「 」를 참조해 주세요.

• 베이지안 벡터 자기 회귀
• 컨버전스 크로스 맵핑
• 그레인저 인과관계
• 패널 벡터 자동 복귀, 패널 데이터에^[10] 대한 VAR 모델의 확장
• 분산분해

메모들

추가 정보

• Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). "Vector Autoregressive (VAR) Models and Causality Tests". Applied Econometrics (Second ed.). London: Palgrave MacMillan. pp. 319–333.
• Enders, Walter (2010). Applied Econometric Time Series (Third ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Favero, Carlo A. (2001). Applied Macroeconometrics. New York: Oxford University Press. pp. 162–213. ISBN 0-19-829685-1.
• Lütkepohl, Helmut (2005). New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlin: Springer. ISBN 3-540-40172-5.
• Qin, Duo (2011). "Rise of VAR Modelling Approach". Journal of Economic Surveys. 25 (1): 156–174. doi:10.1111/j.1467-6419.2010.00637.x.