비노그라도프의 평균값 정리

수학에서 비노그라도프의 평균값 정리는 동력의 수에 대한 추정치다.I. M. 비노그라도프의 이름을 딴 분석적 숫자 이론의 중요한 불평등이다.

$좀{\displaystyle }$ 더 구체적으로, ${\displaystyle {Js}_{}}$, ${\displaystyle k}$( X ) ${\displaystyle$ J_${s,k$}($X)}$이(가)$$k {\$displaystyle k}$ 동시$$ 디오판틴 방정식의 시스템에 대한 솔루션 수를 ${\displaystyle \mathrm{2s}}$ ${\displaystyle 2s}$개$$ 변수에 세도록$$ 한다.

${\displaystyle x_{1}^{j}+x_{2}^{j}+\cdots +x_{s}^{j}=y_{1}^{j}+y_{2}^{j}+\cdots +y_{s}^{j}\cdits (1\leq j\leq k)}}$

와 함께

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$ )${\displaystyle 1\leq x_{i},y_{i}\leq X,(1\leq$ i$\leq s$ .

That is, it counts the number of equal sums of powers with equal numbers of terms (${\displaystyle s}$) and equal exponents (${\displaystyle j}$), up to ${\displaystyle k}$th powers and up to powers of ${\displaystyle X}$. An alternative analytic expression for ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$ is

${\displaystyle J_{s,k}(X)=\int _{[0,1)^{k}{{k}(\mathbf {\alpha } ;X)^{2s}d\mathbf {\\alpha }}}}}}$

어디에

${\displaystyle f_{k}(\mathbf {\alpha } ;X)=\sum _{1\leq x\leq X}\exp(\pi i(\alpha _{1}x+\cdots +\alpha _{k}x^{k}).}$

비노그라도프의 평균값 정리는 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, k${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$의 값에 상한을 부여한다$.$

$J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, ${\displaystyle k{}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$에 대한 강력한 추정치는 워링의 문제를 공격하기 위한 하디-리틀우드 방법의 중요한 부분이며$$ 또한 임계 스트립에서 리만 제타 기능에 대한 제로 자유 영역을 입증하기 위한 중요한 부분이다.^[1]다양한 경계는 ${\displaystyle s_{}}$, k${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$에 대해 생성되었으며$,$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ 및$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 서로 다른 상대적 범위에 대해 유효하다$.$정리의 고전적 형태는 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$이(가) $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 관점에서 매우 클 때 적용된다$.$

비노그라도프 평균값 추측의 증거에 대한 분석은 릴리안 피어스의 부르바키 세미나레 토크에서 찾을 수 있다.^[2]

하한

${\displaystyle X^{}}$ s ${\$ 솔루션을$$ 고려하는 경우

${\displaystyle x_{i}=y_{i},(1\leq i\leq s)}$

$J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \gg }$ X ${\displaystyle s^{}}$ ${\$을(를) 볼 수 있다$.$

보다 신중한 분석(Vaughan 방정식 7.4 참조)은 하한을 제공한다.

${\displaystyle J_{s,k}\g X^{s}+X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)}}$

주요 추측의 증거

비노그라도프의 평균값 정리에 대한 주요 추정은 상한선이 이 하한에 가깝다는 것이었다. 더 구체적으로 , > 0 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대해 우리가 가지고 있는 것이 있다.

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }+X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }}}}$

이것은 장 부르가인, 시프리안 데메터, 래리 구스에^[4] 의해 증명되었고 트레버 우리에 의해 다른 방법으로 증명되었다.^[5]

만약

${\displaystyle s\geq {1}{1}{2}}k(k+1)}$

이것은 바운드와 같다.

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }}$

마찬가지로 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k}$( ${\displaystyle \mathrm{k}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle s\leq {\frac {1}{2}}k(k+1)}$의 경우 추정 형식은 바운드와 동일하다.

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }}$

더 강한 형태의 정리는 $특히{\displaystyle {}_{}}$ $큰{\displaystyle }$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$과$($와) 관련된$$ 큰 s ${\displaystyle s}$에 대해 J s ,${\displaystyle k_{}}$ ${\$ $J_$${s,k}}$에 대한 점증적 표현으로 이어진다.

${\displaystyle J_{s,k}\심 {\mathcal{C}}X^{2s-{\frac{1}{2}}k(k+1)},}$

여기서 $C{\displaystyle \mathcal{}(s}$, ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle$ ${\$$mathcal$ {\mathcal${C}}(s$$,$k$)}$은 $s$ {\$displaystyle$ $}$ 및 k {\$displaystyk$ k}에 따라 고정 양수인 경우$$, 정리 1.2 in을 참조하십시오.^[6]

역사

비노그라도프의 1935년의 원래 정리는 고정 s의 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s,k}$이(가)

${\displaystyle s\geq k^{2}\log(k^{2}+k)+{\frac {1}{1}{1}{4}k^{2}+{5}{4}}}{4}k+1}$

다음과 같은$$ 양의 상수 $D{\displaystyle (s}$, ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle D(s,k)}$이(가) 있다.

${\displaystyle J_{s,k}(X)\leq D(s,k)(\log X)^{2s}X^{2s-{\frac{1}{2}}k(k+1)+{\frac{1}{1}2}}.}$

획기적인 결과였지만 완전한 추측 형태에는 미치지 못한다.대신에 그것은 다음과 같은 추측의 형태를 보여준다.

> ${\$.

비노그라도프의 접근방식은 ${\displaystyle \mathrm{카라츠바}}$와^[8] 스테치킨에^[9] 의해 개선되었는데, $그$는 s ${\displaystyle \ge }$ k ${\$$displaystyle$ $s\$$geq k}$에 대해 다음과$$ 같은 양의 $상수{\displaystyle }$ D${\displaystyle (}$,${\displaystyle k}$)가 존재한다는$$ 것을 보여주었다$.$

${\displaystyle J_{s,k}(X)\leq D(s,k)*^{2s-{\frac {1}{2}}:k(k+1)+\eta _{s,k},}$

어디에

${\displaystyle \eta _{s,k}={\frac {1}{1}:{2}}:k^{1}{k}\오른쪽)^{1-{{\frac {1}{k}}}{\leq k^{2}e^{-s/k^{1}.}$

에 주목하여

${\displaystyle s>k^{2}(2\log k-\log \epsilon )}$

우리는 가지고 있다.

, < $\$ {\$displaystyle \eta_{s$,k$}<\epsilon$

이는 추측 형식이 이 크기의$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$}$에 대한 것임을 증명한다.

그 방법은 점증적 추정치를 증명하기 위해 더 날카롭게 할 수 있다.

${\displaystyle J_{s,k}\심 {\mathcal{C}}X^{2s-{\frac{1}{2}}k(k+1)},}$

$대형{\displaystyle }$ s ${\displaystyle$ $s$$}$의 경우 k ${\displaystyle$ k$\}.$

2012년에 $Wooley$는^[10] 추측 형태가 가지고 있는$$ $s$의 범위를 개선했다$.$그는 그것을 위해 증명했다.

${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k\geq$ 2$}$ 및$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$k${\displaystyle (k}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle s\geq k(k+1)}$

그리고 > ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대해서는

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }}$

Ford와 Wowley는^[11] $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 관점에서 $작은{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$에 대한 추측 형태가 성립된다는 것을 보여주었다$.$ 특히 그들은 그것을 위해

$(\displaystyle k\geq 4}$

그리고

${\displaystyle 1\leq s\leq {\frac {1}{4}(k+1)^{2}}$

> ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대해

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }}$

참조