보즈타 추측

수학에서 보즈타의 추측은 폴 보즈타(1987)가 숫자 분야보다 대수적 다양성에 대한 점의 높이에 대해 소개한 추측이다.그 추측은 복잡한 분석에서 디오판틴 근사치와 네반린나 이론(가치분포 이론)의 유추에 의해 동기 부여되었다.그것은 디오판타인 근사, 디오판타인 방정식, 산술 기하학, 수학적 논리학에서 다른 많은 추측들을 내포하고 있다.

추측성명

Let ${\displaystyle F}$ be a number field, let ${\displaystyle X/F}$ be a non-singular algebraic variety, let ${\displaystyle D}$ be an effective divisor on ${\displaystyle X}$ with at worst normal crossings, let ${\displaystyle H}$ be an ample divisor on ${\displaystyle X}$, and let ${\displaystyle K_X}$${\displaystyle K_{X}}$ be a canonical divisor on ${\displaystyle X}$. Choose Weil height functions ${\displaystyle h_{H}}$ and ${\displaystyle h_{K_{X}}}$ and, for each absolute value ${\displaystyle v}$ on ${\displaystyle F}$, a local height function ${\displaystyle \la$$mbda{\displaystyle }$ $_{D,v$ F ${\displaystyle F}$의 $절대값{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 유한 집합을 고정하고,$$> 0 ${\displaystyle \epsilon >0}$으로 한다그 다음 상수 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$과(와) 비어 있지 않은 Zariski ${\displaystyle \mathrm{오픈}}$ $세트{\displaystyle }$ U$\$ X {\$displaystyle$ U\$subseteq X}$이(가) 있다$.$

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+{X}}\leq \epsilon h_{H}(P)+C\quad{\hbox{모든 }}}}}}}}{{{{{}}}}.}$

예:

1. Let ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$. Then ${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$, so Vojta's conjecture reads ${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$ for all ${\displaysty$$U(F)}$의 P$\in$
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 사소한 표준 번들(예: 아벨리안 품종, K3 표면 또는 칼라비-야우 품종)을 가진 품종이다$$.Vojta의 추측에 따르면 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 효과적인 충분한 정규 교차점이라면, $아핀{\displaystyle }$ 버라이어티 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\setminus$ D$}$의 S$$ ${\$diski 밀도가 아니다$$.아벨 품종의 경우, 이것은 랭에 의해 추측되었고 팔팅스에 의해 증명되었다(1991년).
3. Let ${\displaystyle X}$ be a variety of general type, i.e., ${\displaystyle K_{X}}$ is ample on some non-empty Zariski open subset of ${\displaystyle X}$. Then taking ${\displaystyle S=\emptyset }$, Vojta's conjecture predicts that ${\displaystyle X(F)}$ is not Zariski dense in ${\displ$$aystyle X$ 일반 유형의 다양성에 대한 마지막 진술은 봄비에리-랑 추측이다.

일반화

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) $"){\displaystyle$ X$({\overline{F})}$에 따라 달라질 수 있는 일반화가 있으며$,$ 필드 확장자 $F{\displaystyle (P)/F}$ ${\displaystystyle F(P)/F}$의 판별에 따라 상위에 추가 용어가 있다$.$

비아카이브 지역 높이 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ D${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle v_{}}$ ${\$을(를) 잘린 지역 높이로 대체하는 일반화가 있는데, 이는 다중성이 무시되는 지역 높이다.이러한 버전의 Vojta 추측은 ABC 추측의 자연스러운 고차원적 유사성을 제공한다.

참조

• Vojta, Paul (1987). Diophantine approximations and value distribution theory. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1239. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0072989. ISBN 978-3-540-17551-3. MR 0883451. Zbl 0609.14011.
• Faltings, Gerd (1991). "Diophantine approximation on abelian varieties". Annals of Mathematics. 123 (3): 549–576. doi:10.2307/2944319. MR 1109353.