디오판틴 근사

수 이론에서 디오판틴 근사 연구는 실수의 근사치를 합리적인 숫자에 의해 다룬다. 알렉산드리아의 디오판토스의 이름을 따서 명명되었다.

첫 번째 문제는 얼마나 실수가 합리적인 숫자로 근사치를 할 수 있는지를 아는 것이었다. 이 문제의 경우, a/b와 α의 차이의 절대값이 더 작은 분모를 가진 다른 합리적 숫자로 대체될 경우, a/b와 α의 절대값이 감소하지 않을 수 있다면, a/b는 실제 숫자 α의 "좋은" 근사치가 된다. 이 문제는 18세기 동안 계속적인 분수를 통해 해결되었다.

주어진 숫자의 "최상의" 근사치를 알고 있는 필드의 주된 문제는 분모의 함수로 표현되는, 위의 차이의 날카로운 상하한을 찾는 것이다. 이러한 한계는 근사치할 실제 숫자의 특성에 따라 달라지는 것으로 보인다. 다른 합리적인 숫자에 의한 합리적인 숫자의 근사치에 대한 하한은 대수적 숫자의 하한보다 크며, 이는 그 자체로 모든 실수의 하한보다 크다. 따라서 대수적 숫자에 대한 경계보다 더 잘 근사할 수 있는 실제 숫자는 확실히 초월적인 숫자일 것이다.

이 지식은 1844년, Louville이 최초의 명시적 초월 숫자를 만들 수 있게 했다. 후에 π과 e가 초월적이라는 증거는 비슷한 방법으로 얻어졌다.

디오판틴 근사설과 초월수 이론은 많은 이론과 방법을 공유하는 매우 가까운 영역이다. 디오판틴 근사치는 디오판틴 방정식 연구에 중요한 응용을 가지고 있다.

실제 숫자의 최적 디오판틴 근사치

실제 숫자인 α를 부여하면, α의 최선의 디오판틴 근사치를 정의하는 두 가지 방법이 있다. 첫 번째 정의의 경우,^[1] 합리적인 숫자 p/q는 다음과 같은 경우 α의 최선의 디오판틴 근사값이다.

${\displaystyle \efrac \{p}{p}}{q}}\오른쪽 <\좌측 \precent -{p'}{p'}}$

0 < q q q q>와 같이 p/q와 다른 모든 합리적인 숫자의 p'/q에 대하여.

두 번째 정의의 경우,^[2][3] 위의 불평등은 다음으로 대체된다.

$\displaystyle \left q\p\right <\left q^{\premy }\p^{\p^{\premy }}}$

두 번째 정의에 대한 최선의 근사치 또한 첫 번째 정의에 대한 최선의 근사치지만, 반대는 거짓이다.^[4]

지속분수 이론은 실제 숫자의 가장 좋은 근사치를 계산할 수 있게 해준다. 두 번째 정의의 경우, 그것들은 규칙적인 지속분수로서 그 표현식의 수렴체다.^[3][4][5] 첫 번째 정의를 위해서는 세미컨버전스도 고려해야 한다.^[1]

예를 들어 상수 e = 2.718281828459045235... (정규)분수표현이 계속됨

${\displaystyle [2;1,2,1,1,1,4,1,6,1,1,8,1,\ldots \;]}$

두 번째 정의에 대한 가장 좋은 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3},{\tfrac {11}{4},{\tfrac {19}{7},{\tfrac {87}{32},\ldots \}}}$

첫 번째 정의로, 그들은

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

근사치 정확도 측정

합리적인 숫자 p/q에 의한 실제 숫자 α의 디오판틴 근사치의 정확도를 측정하는 명백한 척도는 $\alpha$- p $\frac{q}{}.$ ${\textstyle \left \alpha -{\frac{p}}{q}\right.}$이지만, 이 양은 p와 q의 절대값을 증가시켜 항상 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 근사치의 정확도는 보통이다. 이 양을 분모 q의 일부 함수 φ과 비교함으로써 추정되며, 일반적으로 음의 힘이다.

이러한 비교를 위해 정확도의 상한 또는 하한을 원할 수 있다. 하한은 일반적으로 "실수의 일부 부분집합과 모든 합리적 숫자 p/q의 모든 원소 α에 대해, - p >( $){\textstyle \left \alpha -${$p}{p}}}\pi (q)"$와 같은 정리로 설명된다. 경우에 따라서는 "모든 이성수"를 "한정수를 제외한 모든 이성수"로 대체할 수 있는데, 이는 α에 따라 φ에 어느 정도 상수를 곱하는 양이다.

상한의 경우 수렴자가 제공하는 모든 "최상의" 디오판틴 근사치가 원하는 정확도를 가지지는 않을 수 있다는 점을 고려해야 한다. 따라서, 이론들은 "실수의 일부 부분집합의 모든 요소 α에 대해, - p < (q ){\$textstyle \left$\alpha -${p$}{$p}}}}\right <\phi$ (q$)}"$와 같은 합리적 숫자 p/q가 무한히 많다.

잘못된 근사치 수

근사치가 나쁜 숫자는 양수 c가 있는 x를 의미하므로 모든 합리적인 p/q에 대해 우리가 가지고 있다.

${\displaystyle \{x-{\frac {p}{q}}\오른쪽 >{\frac {c}{q^{2}}\}\}$

매우 근사치 않은 숫자는 정확히 한정된 부분 인수를 가진 숫자들이다.^[6]

동등하게, 숫자는 그것의 마르코프 상수가 경계된 경우에만 심하게 근사할 수 있다.

디오판틴 근사치 하한

다른 이성들에 의한 이성 근사치

합리적인 숫자 $\alpha$= $\frac{b}{}$ ${\$은(는) 모든 양의 정수$$ i에 대해 p i $\frac{}{}\frac{{}_{}}{}$= i $qi$ = $i\frac{}{}$ ${p_{i}}={\frac$ {$i\,a}{i\$i\,$b}}$에 의해 명확하고 완벽하게 근사치가 될 수 있다$$.

$p\frac{}{}$ $\frac{q}{}\alpha$= $a\frac{}{}$ $\frac{b}{},$ ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not=\alpha$ = ${\frac {a}{b}\}}$이(가) 있으면 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \frac {a}{b}-{b}-{\frac {p}}{q}\오른쪽 = {\frac {aq-bp}}\왼쪽 {\frac {1}{bq}}\오른쪽 \geq},}$

${\displaystyle 왜냐하면}$ ${\displaystyle q}$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ $displaystyle aq-bp }$은(는) 양의 정수이므로$$ 1보다 작지 않기 때문이다. 따라서 비합리적인 숫자에 비해 근사치의 정확도가 좋지 않다(다음 절 참조).

앞의 증거가 비둘기 구멍 원리의 변종을 사용한다고 말할 수 있다: 0이 아닌 음이 아닌 정수는 1보다 작지 않다. 이 겉보기에 하찮은 말은 디오판틴 근사치, 심지어 가장 정교한 근사치에도 거의 모든 하한선에 사용된다.

요약하자면, 합리적인 숫자는 그 자체로 완벽하게 근사하지만, 다른 어떤 합리적인 숫자로도 형편없이 근사하다.

대수적 숫자의 근사치, Louville의 결과

1840년대에 조셉 리우빌은 대수적 숫자의 근사치에 대한 첫 번째 하한을 얻었다: x가 이성적 숫자에 대한 비합리적인 대수적 n의 숫자라면, c(x) > 0이 상수 c(x) > 0이 존재한다.

${\displaystyle \좌측 x-{\frac {p}{q}}\우측 >{\frac {c(x)}{q^{n}}}}}}}}}}$

모든 정수 p와 q에 대해 고정(q > 0).

이 결과는 그가 초월수의 첫 번째 입증된 예인, 리우빌 상수를 만들 수 있게 했다.

${\displaystyle \sum \{j=1}^{\inful }10^{-j!}=0.110001000000000001000\ldots \...}$

어느 정도 n을 선택하든, Louville의 정리를 만족시키지 못한다.

디오판틴 근사설과 초월수설 사이의 이러한 연결고리는 오늘날까지 계속된다. 많은 입증 기법이 두 분야 간에 공유되고 있다.

대수적 숫자의 근사, Thue-Siegel-Roth 정리

1세기가 넘는 기간 동안, 리우빌의 정리를 향상시키기 위한 많은 노력이 있었다: 바운드의 모든 개선은 우리가 더 많은 숫자가 초월적이라는 것을 증명할 수 있게 해준다. 주요 개선점은 악셀 투에(1909), 시겔(1921), 프리만 다이슨(1947), 클라우스 로스(1955년)가 있어 마침내 투-시겔-로스의 정리까지 이어진다. x가 비합리적인 대수적 수이고 ε a (작은) 양의 실수라면, 다음과 같은 양의 상수 c(x, ε)가 존재한다.

${\displaystyle \좌측 x-{\frac {p}{q}\우측 >{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon}}}}}}}}}}}}}}}$

모든 정수 p와 q를 q > 0으로 고정한다.

sense=0으로 정리하면 거짓이 되므로 어떤 의미에서는 이 결과가 최적이다. 이것은 아래에 설명된 상위의 즉각적인 결과물이다.

대수적 숫자의 동시 근사

이어서 볼프강 M. 슈미트는 이것을 동시 근사치의 경우로 일반화하여 다음과 같이 증명하였다₁: x, ..., x가_n 1, x₁, ..., x가_n 이성수에 대해 선형적으로 독립되어 있고 ε은 임의의 주어진 양의 실수인 경우, 그런 합리적 n-tup(p₁/q, ..., p_n/q)만 미세하게 많다.

${\displaystyle \좌측 x_{i}-{\frac {p_{i}}}}\우측 <q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\cHB=1,\ldots,n.}$

다시 말하지만, 이 결과는 지수에서 ε을 제거하지 않을 수 있다는 점에서 최적이다.

유효 한계

앞의 모든 하한은 그 증명들이 진술에 포함된 상수를 계산하는 어떤 방법도 제공하지 않는다는 점에서 효과적이지 않다. 이것은 결과나 그 증거를 관련 디오판타인 방정식의 해법 크기에 대한 한계를 얻기 위해 사용할 수 없다는 것을 의미한다. 그러나 이러한 기법과 결과는 종종 그러한 방정식의 해법 수를 구속하는 데 사용될 수 있다.

그럼에도 불구하고 Feldman에 의한 베이커의 정리의 정교화는 유효 바운드를 제공한다: x가 합리적인 숫자에 대한 대수적 n의 숫자라면, 다음과 같은 효과적으로 계산 가능한 상수 c(x) > 0과 0 < d(x) n이 존재한다.

${\displaystyle \좌측 x-{\frac {p}{q}\우측 >{\frac {c(x)}{{d(x)}}}}}{{d(x)}}}}}}}}}}}$

모든 합리적인 정수를 보유한다.

그러나 베이커의 정리의 모든 유효 버전에 대해서는 상수 d와 1/c가 너무 커서 이 유효 결과를 실제로 사용할 수 없다.

디오판틴 근사치 상한

일반 상한

디오판틴 근사치의 상한에 대한 첫 번째 중요한 결과는 디리클레트의 근사정리인데, 이는 모든 불합리한 숫자 ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$에 대해 p {\$displaystyle {\tfrac{p}{q}\};}$과 같은$$ 분수가 무한히 많다는 것을 암시한다${\displaystyle .}$

${\displaystyle \left -{\frac {p}{q}}\오른쪽 <{\frac {1}{q^{2}}:}\,}$

이는 즉시 투-시겔-로트 정리의 성명에서 ε을 억누를 수 없음을 암시한다.

세월이 흐르면서 이 정리는 에밀 보렐(1903)의 다음과 같은 정리까지 개선되었다.^[7] 불합리한 수 ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$마다 p $displaystyle {\tfrac {p}{q}\};}$의 $분수$가 무한히 많다.

${\displaystyle \left -{\frac {p}{q}}\오른쪽 <{\frac {1}{{\sqrt{5}q^{2}}:}\,}$

따라서 1 ${\displaystyle \frac{5\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{q{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$은 불합리한 숫자의 디오판트 근사치에 대한 상한이다$$. 이 결과의 상수는 일부 불합리한 숫자를 배제하지 않고서는 더 이상 개선되지 않을 수 있다(아래 참조).

등가실수

정의: ${\displaystyle \mathrm{d<img\; alt="x,y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:3.519ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="138">}}$- ${\displaystyle bc}$= ± ${\displaystyle 1}$ ${\$을(를)${\displaystyle \mathrm{가진}}$ $정수$ a, b${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle d}$가$$있는 경우 두 개의 실제 숫자 $x{\displaystyle ,}$ y ${\$$displaystyle a,$$b,$$c,d\}$을(를) 동등하다고 한다^[8][9].

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}\,}$

따라서 등가성은 실제 숫자에 대한 정수 뫼비우스 변환 또는 모듈러 그룹 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$±${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$ $){\displaystyle {\text{$$SL}_{2}^{\pm }(\mathb {Z} )},$ 정수 위에 있는 반전성 2 × 2 행렬 집합$.$ 각각의 합리적 숫자는 0과 동등하다. 따라서 합리적인 숫자는 이 관계에 대한 동등성 등급이다.

등가성은 Serret의 다음과 같은 정리에서 알 수 있듯이, 규칙적으로 지속되는 분수 표현에서 읽을 수 있다.

정리: x와 y의 정규적인 연속 분율표현과 같은 두 개의 양의 정수 h와 k가 존재하는 경우에만 두 개의 불합리한 숫자 x와 y는 등가한다.

${\displaystyle {\regated}x&=[u_{0};u_{1};{1}, u_{2},\ldots ]\\y&=[v_{0};v_{1}, v_{2},\ldots ]\\lineed}}}}}}}}}}$

검증하다

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}}$

모든 음수가 아닌 정수 i에 대해.^[10]

따라서, 유한한 초기 시퀀스를 제외하고, 등가의 숫자는 동일한 연속적인 분수를 나타낸다.

등가수는 마르코프 상수가 같다는 점에서 거의 같은 정도에 가깝다.

라그랑주 스펙트럼

위에서 말한 바와 같이 1891년 아돌프 후르비츠가 보여주듯이 보렐의 정리 속에 있는 상수는 개선되지 않을 수도 있다.^[11] $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{5\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ ${\$을(를) 황금비로 한다$$. 다음 c> $displaystyle$ c$>{\sqrt{5}\;}$을(를) 갖는 실제 상수 c의 경우 다음과 같은 합리적인 숫자 p/q만 한정되어 있다.

${\displaystyle \phi -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {1}{c\,q^{2}}.}$

따라서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$에 해당하는 숫자를 제외한$$ 경우에만 개선을 달성할 수 있다. 더 정확히 말하자면:^[12][13] $\varphi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \alpha }$과(와) 같지 않은 모든 불합리한 숫자 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \pi }$에 대해 p ${\displaystyle \frac{q}{}}$ $displaystyle {\tfrac {p}{q}\};}$의 분수가 무한히 많다$.$

${\displaystyle \left -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {1}{\sqrt{8}q^{2}}.}$

연속적인 제외 - 다음에는 $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 해당하는 숫자를 제외해야 함 $$- 점점 더 많은 종류의 등가성 등급에 의해 하한을 더 확대할 수 있다. 이러한 방식으로 생성될 수 있는 값은 라그랑주 스펙트럼의 일부인 라그랑주 숫자다. 그들은 숫자 3에 수렴하고 마르코프 숫자와 관련이 있다.^[14][15]

측정지표 디오판틴 근사 및 확장에 대한 킨친의 정리

$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \psi }$을(를) $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$ ($){\displaystyle q)}이(가$) 증가하지 않는$$ 양의 정수(즉, 양의 순서)에 대한 양의 실제 값 함수가 되도록 한다$$. 실제 숫자 x(대수학적으로 꼭 대수학적으로는 아님)는 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$이라고 하며, 다음과 같은 합리적인 숫자의 p/q가 무한히 많으면 근사하게$$ 된다.

${\displaystyle \좌측 x-{\frac {p}{q}}\우측 <{\frac {\properties (q)}{ }}}.}$

Aleksandr Khinchin proved in 1926 that if the series ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$ diverges, then almost every real number (in the sense of Lebesgue measure) is ${\displaystyle \psi }$-approximable, and if the series converges, then almost every real number is not ${\displaystyle \psi }$-approximable. 이 정리와 그 친척을 둘러싼 사상의 원은 미터법 디오판틴 근사 또는 디오판틴 근사치의 미터법 이론(디오판틴 기하학에서 높이 "측정학"과 혼동되지 않음) 또는 미터법 번호 이론으로 알려져 있다.

Duffin&셰페르(1941년), 지금 Khinchin의 이분법의 아날로그에 Duffin–Schaeffer 추측으로 대해, 꼭 그렇지만은 않아, 시퀀스 ψ{\displaystyle \psi}감소하고 알려져 있는다는 Khinchin의 결과의 일반화한 것을 증명했다. Beresnevich &, Velani(2006년)은 하우스 도르프를 재다 Duffi의 아날로그임을 입증했다.n–Schaef페어 추측이란 원래 더핀-샤이퍼 추측과 동등한 것으로, 선험적인 약점이다. 2019년 7월 디미트리스 쿠쿨로풀로스와 제임스 메이너드가 추측의 증거를 발표했다.^[16][17]

예외적인 집합의 하우스도르프 치수

킨친의 정리를 적용할 수 있는$$ 함수 ${\displaystyle \psi }$의 중요한 예는 함수 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$($q$) = ${\displaystyle {}^{}}$- c = q - ${\displaystyle c^{}}${\$displaystyle \psi _{c}(q)=q$^{-c$\}\}$인데 여기서 c > 1은 실제 숫자다. 이 기능을 위해 관련 시리즈가 수렴되고 따라서 킨친의 정리는 거의 모든 포인트가 ${\displaystyle {\psi c}_{}}$ c$${\$displaystyle \psi$ _${c}-$가$$ 근사치가 아니라는 것을 알려준다. 따라서 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$에 가까운 숫자 집합은 르베그 실선의 부분집합을 형성한다. 그 Jarník-Besicovitch 정리하는 지키르 후세인, Jarník와 A가 S.Besicovitch 때문에, 이 집합의 하우스 도르프 차원 1/c{1/c\displaystyle}.[18]특히, 있는ψ c{\displaystyle \psi_{c}수의 집합이}일부 c을에-approximable 1{\displaystyle c> 1}(매우 작동시키의 집합으로 알려진 동등한 언급한다.나는 approximable number)에는 Hausdorff 치수가 ${\displaystyle {1인}_{}}$ 반면, c> ${\$$displaystyle \psi_{c}$ - 모든 c > {\$displaysty$ c>$1}($Liouville numbers 집합으로 알려져 있음)에는 Hausdorff 치수가 0이다.

또 다른 중요한 예로는 ${\displaystyle {\psi }_{}q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ϵ}$ ${\displaystyle {\mathrm{q}}^{}}$- 1 ${\$ 여기서 > 0 ${\displaystyle \epsilon$\epsilon >$0}$은 실제 수이다. 이 기능을 위해 관련 시리즈가 분산되어 있어서 킨친의 정리에서는 거의 모든 숫자가 ${\$가$$ 근사치임을 알 수 있다. 이것은 모든 숫자가 아주 근사하지 않으면 잘 근사하다고 말하는 것과 같다. 따라서 Jarnik-Besicovitch 정리의 적절한 아날로그는 잘못 근접한 숫자 집합의 Hausdorff 치수와 관련이 있어야 한다. 그리고 실제로 V. 자닉은 이 세트의 하우스도르프 차원이 1과 같다는 것을 증명했다. This result was improved by W. M. Schmidt, who showed that the set of badly approximable numbers is incompressible, meaning that if ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ is a sequence of bi-Lipschitz maps, then the set of numbers x for which ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$${}$은(는) 모두 호스도르프 차원 1을 가진 형편없이 근사하다. 슈미트는 또한 자르니크의 정리를 보다 높은 차원으로 일반화했는데, 이는 자르니크의 주장이 본질적으로 분수의 지속적인 기구에 따라 1차원적이기 때문에 상당한 성과라고 할 수 있다.

균등분포

철저한 전개를 거듭한 또 다른 주제는 균일분배모드 1의 이론이다. 실제 숫자의 수열₁ a₂, a, ...를 취해서 그 부분들의 부분적인 부분을 고려해보라. 즉, 보다 추상적으로 원인 R/Z의 순서를 살펴본다. 원의 어떤 간격 I에 대해 우리는 그 안에 놓여 있는 시퀀스 원소의 비율을 일부 정수 N까지 살펴보고, 그것을 I가 점유한 원주의 비율과 비교한다. 균일분포는 한계에서 N이 커짐에 따라 간격에 대한 히트 비율이 '기대된' 값을 갖는 경향이 있음을 의미한다. 헤르만 바일은 이것이 수열에서 형성된 지수 총의 한계와 같다는 것을 보여주는 기본적인 결과를 증명했다. 이는 디오판틴 근사 결과가 오차항의 경계에서 분석수 이론 전반에 걸쳐 발생하는 지수 합계에서의 일반적인 취소 문제와 밀접하게 관련되어 있음을 보여주었다.

균일분배와 관련된 것은 조합성격인 분배의 불규칙성의 주제다.

미해결 문제

디오판타인 근사치에는 아직도 간단히 설명되지 않은 문제들이 남아 있는데, 예를 들어 리틀우드 추측과 외로운 주자의 추측이다. 또한 지속적인 분수 팽창에 한없는 계수를 갖는 대수적 숫자가 있는지 알 수 없다.

최근 개발

그리고리 마굴리스는 교토에서 열린 국제수학회의(1990년) 전체 연설에서 반이행 리 집단들의 행동의 역동적이고 에르고딕적인 특성을 이용하여 숫자-이론적 결과를 증명할 수 있도록 하는 에르고디컬 이론에 뿌리를 둔 광범위한 프로그램의 윤곽을 그렸다. D의 작품. 클라인복, G. 마굴리스와 그들의 협력자들은 디오판틴 근사치의 고전적 문제에 대한 이 소설적 접근법의 힘을 입증했다. 그 주목할 만한 성공으로는 후에 다니엘과 마르굴리스, 에스킨-마굴리스-모제스에 의해 연장된 마르굴리스의 수십 년 묵은 오펜하임 추정에 대한 증거와 클라인복과 마르굴리스의 다지관 근사치에 있는 베이커와 스프린츠후크 추정에 대한 증거 등이 있다. 이 프레임워크에서는 알렉산드르 킨친의 위 결과를 미터법 디오판틴 근사치로 다양한 일반화도 얻어냈다.

참고 항목

• 데이븐포트-슈미트 정리
• 더핀-셰퍼 추측
• 헤이얼브론 세트
• 저점수열

메모들

참조

외부 링크

• Diopantine 근사치: 역사적 조사. Michel Waldschmidt의 Diophantine 메소드 코스까지.
• "Diophantine approximations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]