워링의 문제

수론에서, Waring의 문제는 모든 자연수가 거듭제곱 k로 증가된 자연수의 합이 되도록 각각의 자연수 k가 관련된 양의 정수를 가지는지를 묻습니다. 예를 들어, 모든 자연수는 기껏해야 4제곱, 9제곱, 또는 19제곱의 합입니다. 워링의 문제는 1770년 에드워드 워링에 의해 제안되었고, 그 이름을 따서 지어졌습니다. 힐버트-워링 정리로 알려진 긍정적인 답은 1909년 힐버트에 의해 제공되었습니다.^[1] 경고의 문제에는 자체 수학 과목 분류인 11P05, "경고의 문제와 변형"이 있습니다.

라그랑주의 4제곱 정리와의 관계

워링이 문제를 제기하기 훨씬 전에 디오판토스는 모든 양의 정수를 0보다 크거나 같은 네 개의 완전 제곱의 합으로 나타낼 수 있는지 물었습니다. 이 질문은 1621년 클로드 가스파르트 드 메지리악이 디오판토스를 번역한 후 바셰의 추측으로 알려지게 되었고, 1770년 워링이 추측한 것과 같은 해에 조제프 루이 라그랑주가 4제곱 정리에서 해결했습니다. Waring은 모든 양의 정수를 정육면체의 합, 정수에서 네 번째 거듭제곱의 합 등으로 표현하여 어떤 양의 정수라도 특정 지수로 증가된 다른 정수의 합으로 표현할 수 있음을 보여줌으로써 이 문제를 일반화하려고 했습니다. 그리고 모든 양의 정수를 이러한 방식으로 나타내기 위해 필요한 특정 지수로 증가하는 정수의 최대 수가 항상 존재한다는 것입니다.

숫자 g(k)

모든 $k$ $k$ 에 대해 $k$ $g(k)$ $g(k)$ ${\displaystyle g(k))$ 는 $모든$ 양의 정수를 나타내는 데 필요한 $자연$ 의 거듭제곱 k ${\displaystyle$ k $}$ 중 $s$ $k$ 최소 수{\ $displaystyle$ s $}$ 를 나타냅니다 $g(k)$ . 모든 양의 정수는 첫 번째 거듭제곱 하나의 합이므로, $g(1)=1$ ) = $g(1)=1$ {\ $display$ g(1)= 1}입니다. 몇몇 간단한 계산들은 7은 4제곱 $,$ 23은 9제곱, 79는 19개의 네 번째 거듭제곱을 필요로 한다는 것을 보여줍니다. 이 예들은 g(2) ≥ 4 {\display g(2)\geq 4}, g(3) ≥ 9 {\display g(3)\geq 9}, $g(4)\geq 19$ g $g(4)\geq 19$ ( $g(4)\geq 19$ ≥ $19 {\displaystyle g(4$ geq 19}. 경고는 이 하한들이 사실 정확한 값이라고 추측했습니다.

라그랑주의 1770년의 네 제곱 정리는 모든 자연수는 많아야 네 제곱의 합이라고 말합니다. 정사각형 세 개로는 충분하지 않기 때문에 이 정리는 $g(2)=4$ = ${\$ displaystyle g(2) = 4}를 설정합니다. 라그랑주의 4제곱 정리는 1621년 바셰의 디오판토스의 산술에서 추측되었는데, 페르마는 증명이 있다고 주장했지만 발표하지 않았습니다.

수년에 걸쳐 점점 더 정교하고 복잡한 증명 기법을 사용하여 다양한 경계가 설정되었습니다. 예를 들어, Liouville은 g $g(4)$ $g(4)$ 가 $g(4)$ 최대 53인 것으로 나타났습니다. 하디와 리틀우드는 충분히 큰 모든 수들이 기껏해야 19개의 4제곱의 합이라는 것을 보여주었습니다.

$g(3)=9$ $g(3)=9$ = 9 ${\$ display $g($ 3)= 9}는 위페리치와 A. J. 켐프너에 의해 1909년부터 1912년까지 설립되었으며, g(4) = 19 {\display g(4)= 19}는 1986년 R. Balasubramanian에 의해 설립되었습니다. 옷을 입고, J.-M. 1964년 천징룬의 데샤일러 $g(5)=37$ ( $g(5)=37$ ) = $g(5)=37$ ${\$ displaystyle g(5)= $37$ }, 1940년 필라이의 g(6) = 73 {\displaystyle g(6)= 73}.

Let $\lfloor x\rfloor$ and $\{x\}$ respectively denote the integral and fractional part of a positive real number $x$ . Given the number $c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}$ , only $2^{k}$ and $1^{k}$ can be used to represent $c$ ; the most economical representation requires $\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1$ terms of $2^{k}$ and ${\displaystyle$ $2^{k}-1}$ 은(는) $1k$ {\ $displaystyle 1^{k$ }}입니다. g $1^{k}$ $g(k)$ $g(k)$ 는 적어도 $2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ + $2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ $⌊$ $2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ / $2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ ) $k$ $⌋$ - 2 ${\displaystyle 2^{k}+\lfloor(3/$ 2 $2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ k}\rfloor -2}만큼 큽니다. 이것은 J.A.에 의해 언급되었습니다. 1772년경 레온하르트 오일러의 아들 오일러.^[9] 딕슨, 필라이, 루부건데이, 니븐^[10] 그리고 다른 많은 사람들의 후일 작업은 다음을 증명했습니다.

g(k)={\begin{cases}2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.\end{case}}

No value of $k$ is known for which $2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}$ . Mahler^[11] proved that there can only be a finite number of such $k$ , 그리고 Kubina와 Wunderlich는^[12] $그러한$ k $k$ 가 $k>471\,600\,000$ > $k>471\,600\,000$ $k>471\,600\,000$ ${\displaystyle k$ > $471\,600\,000}$ 을 만족해야 $k$ 한다는 것을 보여주었습니다 $k>471\,600\,000$ 따라서 모든 양의 정수 k {\displaystyle k}에 대해 $g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ = $g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ $g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ + ⌊ (3 / 2) $k$ ⌋ - 2 {\ $displaystyle$ g(k) = 2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}가 발생하지 않는다고 가정합니다.

$g(k)$ $g(k)$ 의 처음 몇 가지 값은 다음과 $g(k)$ 같습니다.

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (sequence A002804 in the OEIS).

숫자 G(k)

Hardy와 Littlewood의 연구에서 ^{[citation needed]}g(k)로 관련 수량 G(k)를 연구했습니다. G(k)는 최소 양의 정수로 정의되어 충분히 큰 모든 정수(즉, 일부 상수보다 큰 모든 정수)가 k의 거듭제곱에 대한 최대 s의 양의 정수의 합으로 표현될 수 있습니다. 분명히, G(1) = 1. 제곱은 0, 1 또는 4 (mod 8)에 합동이므로, 7 (mod 8)에 합동인 어떤 정수도 3개의 제곱의 합으로 표현될 수 없으며, 이는 G(2)가 ≥ 4임을 암시합니다. 모든 k에 대하여 G(k) ≤ g(k)이므로, 이는 G(2) = 4임을 보여줍니다. 1939년 Davenport는 G(4) = 16임을 보여주었습니다. 1에서 14 mod 16에 해당하는 충분히 큰 숫자는 14의 4제곱의 합으로 기록될 수 있음을 증명함으로써(1985년과^{[citation needed]} 1989년의^{[citation needed]} Vaughan은 14를 13과 12로 연속적으로 줄였습니다). G(k)의 정확한 값은 다른 k에 대해서는 알 수 없지만 경계가 존재합니다.

G(k)의 하한

경계
1 = G(1) = 1
4 = G(2) = 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 = G(4) = 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

G(k) 수가 다음보다 크거나 같습니다.

2^r+2	if k = 2^r with r ≥ 2, or k = 3 × 2^r;
p^r+1	p가 2보다 크고 k = p(p - 1)인 소수일 경우;
(p^r+1 − 1)/2	p가 2보다 크고 k = p(p - 1)/2인 소수일 경우;
k + 1	1보다 큰 모든 정수 k에 대하여.

일치 제한이 없는 경우 밀도 인수는 G(k)가 k + 1과 같아야 한다는 것을 시사합니다.

G(k)의 상한

G(3)은 적어도 4입니다(큐브가 0, 1 또는 -1 mod 9와 합동이므로). 1.3×10보다⁹ 작은 숫자의 경우 1290740은 마지막으로 6개의 큐브를 필요로 합니다. 그리고 5개의 정육면체를 필요로 하는 N과 2N 사이의 숫자는 사람들이 G(3) = 4라고 믿게 하기에 충분한 속도로 N이 증가함에 따라 감소합니다. 현재 4개의 정육면체의 합이 아닌 것으로 알려진 가장 큰 숫자는 7373170279850이며, 저자들은 이것이 가능한 가장 큰 것일 수 있다고 합리적인 주장을 합니다. 상한 G(3) ≤ 7은 1943년 Linnik에 의한 것입니다.^[16] (모든 음이 아닌 정수는 최대 9개의 큐브를 필요로 하며, 9, 8, 7, 6, 5개의 큐브를 필요로 하는 최대 정수는 각각 239, 454, 8042, 1290740 및 7373170279850으로 추측됩니다.)

13792는 17개의 4번째 파워를 필요로 하는 가장 큰 숫자입니다. (Deshouillers, Henncart and Landreau는 2000년에^[17] 1373에서 10²⁴⁵ 사이의 모든 숫자는 최대 16개가 필요하다는 것을 보여주었고, Kawada, Woolley, 그리고 Deshouillers는 10을²²⁰ 초과하는 모든 숫자는 16개 이하가 필요하다는 것을 보여주기 위해 Davenport의 1939년 결과를 확장했습니다^{[citation needed]}.) 31·16ⁿ 양식의 숫자는 항상 16개의 4제곱을 필요로 합니다.

68578904422는 9개의 5제곱이 필요한 마지막으로 알려진 숫자입니다(정수 시퀀스 S001057, Tony D). 아니요, 2017년 7월 4일), 617597724는 10의 5제곱을 필요로 하는 1.3×10보다⁹ 작은 마지막 숫자이고, 51033617은 11을 필요로 하는 1.3×10보다⁹ 작은 숫자입니다.

k = 5, 6, ..., 20인 오른쪽 상한은 Vaughan과 Wooly에 의한 것입니다.

I. M. Vinogradov는 그의 개선된 하디-리틀우드 방법을 사용하여 다음과 같은 결과로 이어지는 많은 개선점들을 출판했습니다.

G(k)\leqk(3\log k+11)

1947년에^{[citation needed]} 그리고 궁극적으로

G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log k)

1959년의^{[citation needed]} 불특정 상수 C와 충분히 큰 k에 대하여.

하디-리틀우드-라마누잔-비노그라도프의 p-아딕 형태를 삼각합 추정에 적용하여, 합은 작은 소수를 갖는 숫자들을 대체합니다. Anatolii Alexeevitch Karatsuba는 (1985) $G(k)$ 함수 G $)$ {\ $displaystyle G$ $($ $)}($ k ≥ $400 {\displaystyle$ k\geq 400})의 새로운 추정치를 얻었습니다.

G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k.

1989년에^{[citation needed]} Vaughan에 의해 추가적인 개선이 이루어졌습니다.

그 후 울리는 일정한 C에 ^[20]대해

G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck.

본과 울리는 종합적인 설문조사 기사를 썼습니다.^[18]

참고 항목

모든 양의 정수는 최대 n개의 n각수의 합이라는 페르마 다각수 정리
경고 – 골드바흐 문제, 소수의 거듭제곱의 합으로 수를 표현하는 문제
부분집합 합 문제, 주어진 수의 가장 짧은 표현을 거듭제곱의 합으로 찾는 데 사용될 수 있는 알고리즘 문제
폴락의 추측
세 개의 정육면체의 합, 반드시 양의 정육면체가 아닌 세 개의 합은 무엇인지 논의합니다.
4개의 정육면체의 합 문제, 모든 유리수가 유리수의 4개의 정육면체의 합인지 논의합니다.

메모들

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^ 우리는 우리 자신을 자연수로 제한한다는 것을 기억하세요. 일반적인 정수를 사용하면 23을 4개의 정육면체의 합으로 쓰는 것이 어렵지 않습니다. 예를 들어, $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + 3 $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ ( $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ - 1 $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ ${\$ 2 $^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}$ 또는 $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ + $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ 3 $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ + $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ + $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ ( $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ - $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ ${\$ 입니다 $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$
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참고문헌

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외부 링크

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[2] 우리는 우리 자신을 자연수로 제한한다는 것을 기억하세요. 일반적인 정수를 사용하면 23을 4개의 정육면체의 합으로 쓰는 것이 어렵지 않습니다. 예를 들어, $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + 3 $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ + $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ ( $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ - 1 $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ ${\$ 2 $^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}$ 또는 $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ + $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ 3 $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ + $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ + $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ ( $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ - $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ ${\$ 입니다 $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$

[3] Dickson, Leonard Eugene (1920). "Chapter VIII". History of the Theory of Numbers. Vol. II: Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington.

[4] Wieferich, Arthur (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt". Mathematische Annalen (in German). 66 (1): 95–101. doi:10.1007/BF01450913. S2CID 121386035.

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