웨일 제한

수학에서 스칼라의 제한("Weil restriction"이라고도 함)은 필드 L/k의 유한한 확장과 L에 대한 대수적 다양성 X에 대해 k에 걸쳐 정의되는 또 다른 품종 ResX를_L/k 생산하는 functor이다.큰 분야보다 품종에 대한 질문을 작은 분야보다 더 복잡한 품종에 대한 질문으로 줄이는 데 유용하다.

정의

L/k를 필드의 유한한 확장이 되게 하고, X를 L에 걸쳐 정의된 다양성이 되게 한다.k-schemes에서^op set로 functor ${\displaystyle {\mathrm{Res}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(특히 ${\displaystyle {\mathrm{Res}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$/ ${\displaystyle k{}_{}}$⁡ X ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$의 k-rational 지점은 X의 L-rational 지점이다$$.)이 functor를 대표하는 품종은 스칼라의 제한이라 불리며, 존재한다면 독특한 이소모르피즘에 버금간다.

일련의 집합의 관점에서 볼 때, 스칼라의 제한은 형태주의 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$spec${\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ($$k $displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to$ \$operatorname$ {$Spec} (k)$를 따라 푸쉬 포워드일 뿐이며, 따라서 위의 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$는 훨씬 일반적인 방법으로 다시 쓰일 수 있다.특히 고리형 토포이의 어떤 형태론에 의해서도 필드의 확장을 대체할 수 있으며, X에 대한 가설은 스택(stack)과 같은 것으로 약화될 수 있다.이것은 스칼라 제한의 행동에 대한 통제가 덜 되는 비용에서 온다.

특성.

어떤 한정된 장의 확장에 대해서, 스칼라의 제한은 퀘이프로젝트 품종을 퀘이프로젝트 품종으로 가져간다.결과 품종의 치수는 확장의 정도에 곱한다.

적절한 가설(예: 평평하고, 적절하고, 정밀하게 제시됨)에서 대수적$$ 공간의 어떤 ${\displaystyle \mathrm{형태주의}}$T →$$S[\$displaystyle T\to$ S$}$는 Artin, Deligne-Mumford 및 표현성과 같은 특성을 보존하면서 대수적 스택을 대수적 스택으로 가져오는 스칼라 펑터의 제한을 산출한다.

예제 및 응용 프로그램

간단한 예는 다음과 같다.

1. L을 도 s의 k의 유한한 확장이 되게 한다.Then ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)}$ and ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$ is an s-dimensional affine space ${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$ over Speck.
2. X가 부호 L-변수인 경우, 다음과 같이 정의된다.
   $${\displaystyle X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots,x_{n}]/(f_{1},\dots,f_{m});}$$

   
   우리는 Spec k[y는 나는, j]/(gl, r){\displaystyle k[y_{i,j}](g_{l,r})},yi,j(1≤ 나는 ≤, 1≤ j≤ s{\displaystyle 1\leq i\leqn,1\leq j\leq s})새 변수 및 gl,r(1≤ 나는 ≤ m1≤ rs≤{\displaystyle 1\leq l\leq m,로 ResL/k⁡ X{\displaystyle \operatorname{Res}_{L/k}X}를 쓸 수 있다.1\leq$r\leq s}$) are polynomials in ${\displaystyle y_{i,j}}$ given by taking a k-basis ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{s}}$ of L and setting ${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s}}$ and ${\displaystyle f_t=g_{t,1}{e}_1+\cdots +g_{}}$${\displaystyle t_{}}$, ${\displaystyle s_{}}$ e ${\displaystyle s_{}}$ ${\$1}e_${1$}++++{$g_${t$,s}e_{s$

만약 어떤 계획이 집단 계획이라면, 그것에 대한 어떤 웨일 제약도 또한 될 것이다.이것은 예를 들어, 숫자 이론에서 자주 사용된다.

1. 토러스
   $${\displaystyle \mathb {S} :=\operatorname {Res} _{\mathb {C} /\mathb {R} }\mathb {G}}$$

   
   여기서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$displaystyle $\mathb {G} _{m}}$은 승수군을 나타내며$$, 실제 Hodge 구조의 탄나키안 범주는 $S{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\display$ style $\mathb {S}$의 표현 범주와 동일하기 때문에 Hodge 이론에서 중요한 역할을 한다$.$${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$ $\}\}\}.$ Mumford-Tate 그룹을 참조하십시오.
2. The Weil restriction ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$ of a (commutative) group variety ${\displaystyle \mathbb {G} }$ is again a (commutative) group variety of dimension ${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} ,}$ if L is separable over k.알렉산더 모모트는 대수적 차원의 증가를 바탕으로 한 초월 이론에서 새로운 결과를 도출하기 위해$$ ${\displaystyle k\mathbb{}}$= R ${\$${\displaystyle L\mathbb{}}$ = $C{\displaystyle }${\$displaystyle L=\mathb${C$}을($^{[citation needed]}를) 가진$$ 역학군 품종의 Weil 제한을 적용했다.
3. 아벨리아 품종에 대한 스칼라 제한(예: 타원 곡선)은 L이 k보다 분리가 가능한 경우 아벨리아 품종을 산출한다. 제임스 밀른은 이것을 모든 수 분야에 걸쳐 아벨리아 품종에 대한 버치 및 스윈너튼-다이어 추측을 합리성에 대한 동일한 추측으로 줄이기 위해 사용했다.
4. 타원 곡선 암호학에서 Weil 강하 공격은 Weil 제한을 사용하여 유한 확장 필드 L/K에 대한 타원 곡선의 이산 로그 문제를 베이스 필드 K에 대한 과대망상 곡선의 자코비안 다양성에 대한 이산 로그 문제로 변환하는데, 이는 K의 작은 크기 때문에 잠재적으로 해결이 용이하다.

Weil 제한 vs.그린버그 변신

스칼라의 제한은 그린버그 변환과 유사하지만, 역 대수 A에 위트 벡터의 링이 일반적으로 A-알제브라(A-algebra)가 아니기 때문에 일반화되지는 않는다.

참조

원래의 참고문헌은 Weil의 1959-1960 강의 1.3절이며, 다음과 같이 출판되었다.

• 안드레 웨일"아델레스와 대수학 그룹", 수학의 진보 23, 비르카유저 1982.1959-1960년에 주어진 강의 노트.

기타 참조:

• 지그프리드 보쉬, 베르너 뤼트케보메르트, 미셸 레이노우드.1990년 베를린 스프링거-베를라크의 "네론 모델"
• 제임스 S.밀른 "아벨 품종의 산술에 관하여," 발명가.수학. 177년(1972년)-177년-190년.
• 마틴 올슨."홈 스택 및 스칼라의 제한", Duke Math J, 134(2006), 139–164.http://math.berkeley.edu/~htmlsson/homstackfinal.pdf
• 비욘 푸넨."품종에 대한 기본 포인트", http://math.mit.edu/~poen/paper/Qpoints.pdf
• Nigel Smart, Weil download 페이지(라이브러리그래픽 포함), https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_nfil.properties.
• 알렉산더 모모트(Alksander Momot) https://arxiv.org/abs/1011.3368