와인가르텐 방정식

Weingarten 방정식은 표면에 있는 점의 위치 벡터의 첫 번째 파생상품 측면에서 단위 정규 벡터의 파생상품을 표면으로 확장하는 것을 제공한다.이 공식들은 1861년 독일의 수학자 율리우스 와인가르텐에 의해 제정되었다.^[1]

고전적 차동 기하학의 문

S는 위치 벡터 r(u, v)에 의해 파라메트리되는 3차원 유클리드 공간의 표면이 되도록 한다.P = P(u, v)를 표면의 점으로 한다.그러면.

${\displaystyle \mathbf {r} _{u}={\frac {}{\mathbf {r}{\mathbf {r},\mathbf {r} _{v}={\frac {\frac \mathbf {}{}}{\mathb}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

P 지점의 접선 벡터 두 개.

n(u, v)을 단위 정규 벡터가 되게 하고 (E, F, G) 및 (L, M, N)을 각각 이 표면의 첫 번째와 두 번째 기본 형태의 계수가 되게 한다.Weingarten 방정식은 접선 벡터 r과_uv r:

${\displaystyle \mathbf{n} _{u}={\frac {FM-GL}{2}}:00}\mathbf {r}{u}+{\flac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r}{r}_{v}}}}}}}$

${\displaystyle \mathbf{n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r}{{u}+{\FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r}{v}}}}}}$

이것은 다음과 같이 지수 표기법으로 압축적으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{}\mathbf{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

여기서 K는_ab 표면의 곡률 텐서 성분이다.

메모들

참조

• Weisstein, Eric W. "Weingarten Equations". MathWorld.
• Springer 수학 백과사전, Weingarten 파생 공식
• Struik, Dirk J. (1988), Lectures on Classical Differential Geometry, Dover Publications, p. 108, ISBN 0-486-65609-8
• Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, 1991년 ISBN 0-486-66721-9, 섹션 45.