잘 정의된 표현식

수학에서 잘 정의된 표현식 또는 모호하지 않은 표현식은 정의가 자신에게 고유한 해석이나 값을 할당하는 표현식이다.그렇지 않으면 표현이 잘 정의되지 않거나 잘못 정의되거나 모호하다고 한다.^[1]입력 값을 변경하지 않고 입력의 표현이 변경되었을 때 동일한 결과를 주는 경우 함수가 잘 정의된다.예를 들어 f가 실제 숫자를 입력으로 사용하고 f(0.5)가 f(1/2)와 같지 않으면 f가 제대로 정의되지 않는다(따라서 함수가 아니다).^[2]잘 정의된 용어는 논리적인 표현이 모호하지 않거나 모순되지 않음을 나타내기 위해 사용될 수도 있다.

잘 정의되지 않은 함수는 정의되지 않은 함수와 같지 않다.예를 들어, f(x)가 1/x인 경우 f(0)가 정의되지 않았다는 사실이 f가 잘 정의되지 않았다는 것을 의미하지는 않지만, 그 0은 단순히 f의 영역에 있지 않다.

예

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}을(를) 설정하고$$, ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}} 및$$ "define"${\displaystyle }f{\displaystyle }$ : ${\displaystyle A}$→${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$}$${\$displaystystystylease f:$${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$$\rightarrow \{0$$,{0}}$인 경우 \{$0$$}$인 $경우$ ${\displaystyle \backslash }$$0$$,$ ${\displaystyle 1_{}}$인 경우$$\$displaystyle$ f$(a)=0,$ 1인 ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$$displaystyle f($$a)=1}$인 $경우{\displaystyle }$ \rightarrow \{$0,$${\displaystyle }$$}=$$,$$$}

Then ${\displaystyle f}$ is well defined if ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$. For example, if ${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$ and ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$, then ${\displaystyle f(a)}$ would be well defined and equal to $$${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \propertname {mod} (a,2)}$.

However, if ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$, then ${\displaystyle f}$ would not be well defined because ${\displaystyle f(a)}$ is "ambiguous" for ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$. For example, if ${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$그리고 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle A_{1}:\{2$ $그러면{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$( 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(2)$가 모두 0과 1이어야 하므로 애매하다$$.결과적으로, 후자의 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가) 제대로 정의되지 않아$$ 함수가 아니다.

정의에 대한 예상으로서 "정의"

앞의 간단한 예에서 "define" 주위의 인용 부호를 피하기 위해 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 "definition"을 두 가지 간단한 논리적 단계로 나눌 수 있다$$.

1단계의 정의는 어떤 정의의 자유로 공식화되고 확실히 효과적이지만("잘 정의된" 것으로 분류할 필요 없이), 2단계의 주장은 증명되어야 한다.즉, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\empt }$이$($가) 잘 정의된 경우에만 함수로서$$ $f{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $f}$이다.$$On the other hand, if ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$, then for an ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$, we would have that ${\displaystyle (a,0)\in f}$ and ${\displaystyle (a,1)\in f}$, which makes the binary relation ${\disp$$레이스타일 f}$이(가) 작동하지 않으므로(이진 관계#이진 관계의 특수 유형) 함수로 잘 정의되지 않는다.구어적으로 말하면, "$기능{\displaystyle }$" f$${\$displaystyle f}$도 $점{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$에서 애매한 것으로 불리며$$($$각 정의는 결코 "암묵적인 함수"가 존재하지 않지만), 원래의 "정의"는 무의미하다.이러한 미묘한 논리적인 문제에도 불구하고, (아포스트로피 없이) 이러한 종류의 "정의"를 위해 예상적으로 (아포스트로피 없이) 용어 정의를 사용하는 것은 매우 일반적이다 – 세 가지 이유:

1. 그것은 2단계 접근법의 편리한 속기를 제공한다.
2. 관련 수학적 추론(즉, 2단계)은 두 경우 모두 동일하다.
3. 수학적 문헌에서 그 주장은 "100%까지" 진실이다.

대의원 독립

함수의 정의에 대한 문제는 함수의 정의 방정식이 주장 그 자체를 지칭하지 않고 (또한) 논쟁의 요소들을 대표자 역할을 할 때 발생한다.이것은 때때로 주장이 코스메트이고 방정식이 코스메트 대표자들을 언급할 때 피할 수 없다.기능 적용의 결과는 대표자의 선택에 따라 결정되어서는 안 된다.

하나의 인수가 있는 함수

예를 들어, 다음 기능을 고려하십시오.

${\displaystyle {\display}f:&\mathb {Z} /8\mathb {Z} &\to &\mathb {Z} /4\mathb {Z}\\\\mathb {\\\n1}{8}}\mapsto &\overline {n}{n}}}},\mapstoon{n}},\matrix}}}}}}$

where ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ and ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ are the integers modulo m and ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$ denotes the congruence class of n mod m.

N.B.: $n{\displaystyle {\stackrel{\text{'}}{}4}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle$ {$n}_{4}}$은(는) n${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$∈${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle 8_{\mathrm{}}}$ 8 ${\$${8}$을(를) 참조하고,$$n'$8{\displaystyle {\stackrel{\text{'}}{}}_{}}$은 f$$ ${\displaystystyle$ {$n}$의 주장이다$.$

다음과 $같은{\displaystyle }$이유로 f {\$displaystyle$ f$}$ 함수가 잘 정의되어 있다$$.

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}\;\왼쪽 화살표 \;8(n-n' 나누기)\오른쪽 화살표 \\4(n-n' 나누기)\\좌우 이동 \;n\equiv n'{\bmod {4}.}$

반대 예로서, 반대 정의는

${\displaystyle {\display{display}g:&\mathb {Z} /4\mathb {Z} &\to &\mathb {Z} /8\mathb {Z}\\\\mathb {\\\n}_{4}&\mapsto {n}\n1}{8}\mapsto}}}$

does not lead to a well defined function, since e.g. ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$ equals ${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$, but the first would be mapped by ${\displaystyle g}$ to ${\displaystyle {\ove$$rline {1}}_{8}}$, while the second would be mapped to ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$, and ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ and ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ are unequal in ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$.

운영

특히, 잘 정의된 용어는 (이진) 코세트의 연산에 관하여 사용된다.이 경우 연산을 두 변수의 함수로 볼 수 있으며 잘 정의되는 속성은 함수에 대한 것과 동일하다.예를 들어 정수 modulo에 대한 덧셈은 정수 덧셈의 관점에서 자연스럽게 정의될 수 있다.

$[\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

이것이 잘 정의되어 있다는 사실은 ${\displaystyle \mathrm{우리}}$가 [${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a]}$의 어떤 대표자도${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{kn}}$ ${\displaystyle a+kn}$으로 쓸$$ 수 있다는 사실에서 따온 것이다$.$ $여기$서 k ${\displaystyle k}$은 정수다$$.그러므로

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[a+b];}$

${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ 유사한 방법으로 [b${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [b]}$의 모든 대표에 대해$,$ 대표자의 선택에 관계없이 ${\displaystyle [+b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a+b]}$을(를) 동일하게$$ 한다.

잘 정의된 표기법

실제 숫자의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 제품 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \times }$ c ${\displaystyle a\time c}$은$({\displaystyle }$ × ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle x}$ =$$ (${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$) {\$displaystyle(a\time b)\time c=a\time$ ($b\time c)}(따라서$ 표기법)은 잘 정의되어 있다고$$ 한다.$$^[1]곱셈의 연관성이라고도 하는 이 속성은 결과가 곱셈의 순서에 따라 달라지지 않도록 보장하므로, 그 순서의 명세를 생략할 수 있다.

반면에 뺄셈 수술은 연관성이 없다.$그러나{\displaystyle }$ -${\displaystyle b}$- ${\displaystyle c}$ ${\$$displaystyle$ $a-b-c$$}$은$($ -${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$-$$의 속기이므로$$ "잘 정의되어 있다"는 관습이 있다.

분단 또한 비연관적이다.$그러나{\displaystyle }$ /${\displaystyle b}$/ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a/b/c}$의 경우$$괄호화 규약이 잘 확립되어 있지 않기 때문에 이 표현은 종종 잘못 정의된 것으로 간주된다.

기능과 달리, 공칭적 모호성은 추가 정의(예: 우선순위 규칙, 운영자의 연관성)를 통해 다소 쉽게 극복할 수 있다.예를 들어, 프로그래밍 언어 C에서 연산자는-뺄셈은 좌우 연관성이 있기 때문에, 그것은a-b-c로 정의된다.(a-b)-c, 및 연산자=임무는 오른쪽에서 왼쪽으로 연관되어 있기 때문에, 그것은a=b=c로 정의된다.a=(b=c).^[3] 프로그래밍 언어 APL에는 오른쪽에서 왼쪽으로 - 괄호 먼저라는 하나의 규칙만 있다.

용어의 기타 용도

부분미분방정식의 해법은 경계조건이 변경됨에 따라 연속적인 방법으로 경계조건에 의해 결정되는 경우 잘 정의된다고 한다.^[1]

참고 항목

• 동등성 관계 § 동등성 관계 하에서의 정의
• 정의론
• 존재
• 유니크함
• 고유도 수량화
• 정의되지 않음

참조

메모들

원천

• 컨템포러리 추상 대수학, Joseph A. Gallian, 6판, Houglin Mifflin, 2006년 ISBN 0-618-51471-6.
• 대수: 0장, 파올로 알루피 ISBN 978-082184781716페이지
• 추상 대수학, 더밋과 풋, 제3판 ISBN 978-0471433347.1 페이지