등가관계

수학에서 등가관계는 반사적이고 대칭적이며 전이적인 이항관계이다.기하학에서 선분 사이의 등가 관계는 동등성 관계의 일반적인 예입니다.

각 동등성 관계는 기본 집합을 분리된 동등성 클래스로 분할합니다.주어진 집합의 두 요소는 동일한 동등성 클래스에 속하는 경우에만 서로 동일합니다.

표기법

문헌에서는 집합의 두 $a$와$b$가 동등$$ $관계{\displaystyle }$R에 대해 동등함을 나타내기 위해 다양한 표기가 사용됩니다$.$ $가장$ 일반적인$$ 것은 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle ~}$ \ $display style$ a \ sim b$"$와 "a b b"입니다. "a ~ b \ display $style$a$\sim$ b$"$는$$R을$$ $표시$할 때 $사용$됩니다.암묵적으로 "${\displaystyle {}_{}}$~ R b \ $displaystyle$ a \ $sim$_ {$$R } b", "a b b"_R 또는 "${\displaystyle ab}$b { $displaystyle$ ${a\mathop {R$$}$ $b$의 변형으로 $R을$명시적으로$$ $지정$합니다.불일치는 "a b b" 또는 "${\displaystyle b}$b \ $displaystyle$a \ $equiv$ b$"$로 표기할 수 있습니다.

정의.

X$집합$의 이진 관계 ~ ${\$$displaystyle$$$X$}$는 반사적이고 대칭적이며 전이적인 경우에만 동등 관계라고 합니다.즉${\displaystyle ,}$ $X$의 모든 $a{\displaystyle ,}$ $,$ {$displaystyle$ a,$b,}$ $및{\displaystyle }$c {$displaystyle$$$X$:}$에 대해 $다음$과 같습니다$.$

• ${\displaystyle a}$~ $디스플레이 스타일$ a$\sim$a $$(비활성).
• ${\displaystyle }$$a{\displaystyle }$${\displaystyle }$~$$ ~ $displaystyle$ a$\sim$b$$ ~ ${\displaystyle a}$ $displaystyle$ b\$sim$ a$$（ displaystyle b\displaystyle b$\sim$ a ） 。
• ${\displaystyle a}$~$$b ( $displaystyle$a \ $sim$b )$및$ b ~$$ ( $displaystyle$$$b \ $sim$$$c$$)$$의 $경우$는 a${\displaystyle }$~ ${\displaystyle c}$( transitivity )입니다.

$($x)는$~(\$ 관계와$$ 함께 세토이드(setoid)라고 불립니다.${\displaystyle ~}$ ,$$\ $displaystyle$[ ${\displaystyle \mathrm{a<img\; alt="a"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.23ex;\; height:1.676ex;">}]}{\displaystyle }$,$$\$$$displaystyle$[$a$${\displaystyle }$] , { displaystyle [ ${\displaystyle a}$ ] , { $displaystyle$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ]}$ $=$ { ${\displaystyle x}$ :$x$ ~ ${\displaystyle a\}}$. { $displaystyle$ [ a$]=$ \ {$x$ \ $sim$a \ }${\displaystyle }$로 $정의$됩니다.$}$^[1][2]

관계 대수를 이용한 등가 정의

R${\displaystyle x}$X ×$$ (\$displaystyle$ R$\subseteq X\times$Y) 및$$ $S{\displaystyle y}$Y ×$$ (\$displaystyle$ S$\subseteq$ Y$\times$Z)가$$ 관계인 $경우{\displaystyle }$ $복합관계{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{SR}x}$ X${\displaystyle }$×$$ (\$displaystyle$SR\$subseteq$ X$\times$ Z$)$는 다음과 같이 ${\displaystyle 정의}$됩니다.x ${\displaystyle R}$ y$($${\displaystyle 디스플레이}$ ${\displaystyle 스타일}$ $x,R,y$$)$ 및 y Z$(디스플레이 스타일$ y$,S,z$^{[note 1]}에서 이 정의는 기능적 구성의 정의를 일반화한 것입니다.$집합{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ X$)$에서 등가관계 R$(\displaystyle$ R$)$의 정의 속성을 다음과 같이 재구성할 수 있습니다.

• ${\displaystyle \mathrm{id}r}$R \ $displaystyle \operatorname {id$ \$subseteq$R . (반사성).(여기서 ID$${$displaystyle \operatorname {id}$는 X$({displaystyle$X})의 ID 함수를 나타냅니다).$$
• ${\displaystyle R}$ $=$ -$$ (\$displaystyle$ R$=R^{-1$})$$ (표준).
• ${\displaystyle R}$ $⊆$ ${\displaystyle R}$ \ $display style$RR \ $subseteq$ R$$（ transitivity ^[3]） 。

예

간단한 예

$집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ $}$ { $displaystyle$ X ${\displaystyle =}$ \ {$$${\displaystyle a}$ ,$b$${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$$$\ ${\displaystyle \}}$、 ( ${\displaystyle a}$,${\displaystyle a}$, b , ${\displaystyle c}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle b}$) ,${\displaystyle }$(${\displaystyle c}$ ,${\displaystyle b}$ ) , ( c , b${\displaystyle }$) \ $displaystyle R$ \ { $a$, a , $b$, b , c , $c$（ $c ） 、$ c 、 c 。다음 세트는 이 관계의 동등성 클래스입니다.

R ${\displaystyle$ R$}$의 모든 동등 클래스 세트는${\displaystyle }${${\displaystyle a\},}$ {${\displaystyle b}$}, {b ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \}}$ 입니다$.{$ $displaystyle \{a\},$ \{$b,c\}\}}$$$ 이 세트는$$R$(\$$displaystyle$ R$)$에 대한 X(\$displaystyle$ X$)$ $세트$의 파티션입니다.

등가 관계

다음 관계는 모두 동등성 관계입니다.

• 숫자 집합의 "Is equal"입니다.예를 들어, 1$${ $displaystyle$ { $tfrac { 1}${2}$$}는 ${\displaystyle \frac{4}{}}$8 입니다$.$$}$^[2]
• '생일이랑 똑같아' 촬영장에서
• 모든 삼각형의 집합에서 "Is like to"와 유사합니다.
• 모든 삼각형의 집합에서 "Is conquarent to"는 일치합니까?
• $자연수{\displaystyle }$n({$displaystyle$ n$\})$을 지정하면 ^[2]정수의 $modulo{\displaystyle }$n({$displaystyle$n$\})$과 일치합니다.
• ${\displaystyle \mathrm{함수}}$f : ${\displaystyle X}$ $→$ Y {\$displaystyle$ f$:$$X\to$ Y$\}$가 지정된 경우$,$ f {\$displaystyle$f$}$의 도메인 X {\$displaystyle$ X$}$의 $요소$에서 "f {\$displaystyle$ f$$$}$ 아래의 이미지가 같습니다. 예를 들어$0$ {\$displaystyle$$$0$$$\}$ 및$\pi {\displaystyle }$ \pi}의 sin \$displaystyle$vizin$v$ sin sin ${\displaystyle \sin }$ sin sin sin sin sin sin sin sin sin 。${\displaystyle 0}$ ${$ $displaystyle$ 0$\}$ 。
• 실수의 집합에서 "와 같은 절대값을 가진다"
• 모든 각도의 집합에서 "와 같은 코사인"을 가집니다.

동등하지 않은 관계

• 실수 사이의 관계 "θ"는 반사적이고 타동적이지만 대칭적이지는 않다.예를 들어, 7 55이지만 5 77은 아닙니다.
• 1보다 큰 자연수 사이에 "1보다 큰 공통 인자를 가진다"는 관계는 반사적이고 대칭적이지만 과도적이지 않습니다.예를 들어, 자연수 2와 6은 공통 요인이 1보다 크고, 6과 3은 공통 요인이 1보다 크지만, 2와 3은 공통 요인이 1보다 크지 않습니다.
• 집합 X의 빈 관계 R(aRb가 true가 되지 않도록 정의됨)은 공허하게 대칭이며 전이적입니다.단, X 자체가 비어 있지 않은 한 반사적이지 않습니다.
• 더 정확하게 정의되더라도 실수 사이의 "거의 동일" 관계는 등가 관계가 아니다. 왜냐하면 반사적이고 대칭적이기는 하지만 여러 작은 변화가 축적되어 큰 변화가 될 수 있기 때문이다.그러나 근사를 점근적으로 정의하면, 예를 들어 f - g의 한계가 0일 때 두 함수 f와 g가 어떤 점 근처에서 거의 같다고 말하는 것으로써, 이것은 동등성 관계를 정의한다.

다른 관계와의 연결

• 부분 순서는 반사적, 반대칭적, 전이적 관계입니다.
• 평등은 동등 관계이자 부분 순서이다.또한 동일성은 집합에서 반사, 대칭 및 반대칭인 유일한 관계입니다.대수식에서는 등가 관련 변수에 사용할 수 없는 기능인 등가 변수를 서로 대체할 수 있다.동등성 관계의 동등성 클래스는 서로 대체할 수 있지만 클래스 내의 개인을 대체할 수는 없습니다.
• 엄격한 부분 순서는 비반사적, 전이적, 비대칭입니다.
• 부분 등가 관계는 추이적이고 대칭적입니다.이러한 관계는 전체${\displaystyle }a$에 대해$$a$.\displaystyle$$$b${\text{}a\sim$ b$}$가 ${\displaystyle 존재}$하는 ${\displaystyle \text{경우}}$에만 반사적입니다.$$^{[proof 1]} 따라서 등가관계는 대칭관계, 전이관계 및 총관계로 정의할 수 있다.
• 삼원당량관계는 통상적인 (이진)당량관계와 3원당량관계와 유사하다.
• 반사 및 대칭 관계는 종속 관계(유한 경우)이고, 무한하면 공차 관계입니다.
• 사전 주문은 반사적이고 과도적입니다.
• 일치관계는 $도메인{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ X$)$가 대수구조의 기초 집합이며 추가구조를 존중하는 등가관계이다.일반적으로 일치관계는 동형사상의 커널의 역할을 하며, 일치관계에 의한 구조의 몫이 형성될 수 있다.많은 중요한 경우에, 합동관계는 그들이 정의되는 구조의 하위구조로서 대안적인 표현을 가진다(예를 들어, 그룹에 대한 합동관계는 정규 부분군에 해당한다).
• 모든 등가관계는 배제된 중간의 법칙과 동일하기 때문에 (건설 수학과는 대조적으로) 고전 수학에서만 역문장이 유지되더라도 거리관계의 부정이다.
• 반사적 관계와 왼쪽(또는 오른쪽) 유클리드 관계도 동등 관계입니다.

등가 관계에서의 명확한 정의

$~$ {$displaystyle$$},$ {\sim$$$}$이 X, {$displaystyle$ $X{\displaystyle ,\}}$및 P($)$의${\displaystyle }$등가 관계인 경우, {displaystyle $P(x$)}는${\displaystyle }$X$,$ {$displaystyle$X,}의 요소의 속성이며${\displaystyle ,}$ x ~${\displaystyle y}$가${\displaystyle }$참인 $경우{\displaystyle }$ {$displaystyle$$x$\$sim$${\displaystyle }$ y$P(x$$)$이다${\displaystyle .}$true, 그러면 $속성{\displaystyle }$P {\$displaystyle$ P$}$는 ~$${\$displaystyle\sim}$의${\displaystyle }$관계에서 잘 정의되었거나 클래스 불변이라고 할 수 있습니다.

${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$~ $x 2$$$( x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle =}$f$$( ${\displaystyle {}_{}}$ 2)$$= ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2) \ $displaystyle$f \$$$left{\displaystyle }$ ( x $1$)\ $sim$ $x _ {2$} f ( x 2) ${\displaystyle {}_{}}$ displaystyle f \ $left$ ( $x$ 1 \ $right$ )\$f$ $\_$ $2 =$f ; right （ x 2$$ ） \ $displaystyleft$$$$x$( ${\displaystyle \{\backslash \}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}}$$tyle$f는${\displaystyle }$~${\displaystyle }$,$${\$displaystyle$$\sim$$}$ 아래의 클래스 불변수 또는 단순히 ${\displaystyle ~}$. {\$displaystyle\sim$ 아래의 클래스 불변수에${\displaystyle }$대한 형태론이라고 합니다$$. 예를 들어 유한 그룹의 특성 이론에서 발생합니다.$\displaystyle$ f$}$ 함수의$$ 후자는 가환 삼각형으로 표현할 수 있다.「불변」을 참조해 주세요.일부 저자는 "compatible to$$~\$displaystyle$" 대신 "compatible${\displaystyle }$to $~\$displaystyle$"$ $$또는 "respects$$~\$displaystyle"$을 사용합니다.

보다 일반적으로 함수는 동등한 인수(등가관계에서$$~ $A\displaystyle\sim_{$A$\})$를 동등한 값(등가관계에서${\displaystyle {}_{}}$~ $\$에 매핑할 수 있습니다.이러한 함수는 ~ $(\displaystyle)$에서${\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle B_{}}$(\$displaystyle)$로${\displaystyle {}_{}}$모피즘으로 알려져 있습니다$.$$}$

동등성 클래스, 몫 집합, 파티션

$a{\displaystyle }$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle bx}$X$$. { $display$ a $, b$ \ $in$ X$$} 일부 정의$$:

등가 클래스

${\displaystyle Y}$ 내의 모든 a와 b에 대해${\displaystyle }$~ b$(\displaystyle$ a$\sim$ b$)$가 $유지$되고 Y 외부의 a와 b에 대해서는 ~하지 않는 X의 서브셋 Y는 ~에 의해 X의 등가 클래스라고 불립니다$.[{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$] : ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle x}$† ${\displaystyle X}$:${\displaystyle a}$ ~ x $}$ { $displaystyle$[$a$] :$=\{x\in$ $X:a\sim$x\}}는 가 속한 동등 클래스를 나타냅니다.서로 동등한 X의 모든 원소는 동일한 동등성 등급의 원소이기도 합니다.

몫집합

X의 모든 등가 클래스 집합($X{\displaystyle }$/${\displaystyle }$~${\displaystyle =}${ [${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ : X ${\displaystyle x}$ X ${\displaystyle \}}$, { $displaystyle X$ / { \ $mathord$ { \ $sim$ }): = \ { \ { x ] : x \ in X \$$} )은$$ X의 몫 집합입니다. X가 위상 공간인 경우$,$ $X$의 자연 변환 $방식{\displaystyle }$(\$style$)이 있습니다${\displaystyle .}$.

투영

$~($$x$) ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle x]}$= [x] \displaystyle$$$\$$pi(x$) = [$x]$로 $정의$되는 함수 ${\displaystyle :}$ : X /$~${\$displaystyle$ \$pi$ (x$$) $}$$$$~$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$ of of by of of of of of of of of of of of of of of of of of of of by of of of of of x x by ${\displaystyle \to }$ X$$$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$of of of by by by by of of of by by of of of by by of of of of of of of

투영에 ^[4]관한 정리:$함수{\displaystyle f}$ : ${\displaystyle X}$ $→$ B (\$displaystyle$$f:X$\$to$ B$)$가${\displaystyle }$a $~ b$일 $경우{\displaystyle }$f (${\displaystyle a)}$ ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle b)}$. (\$displaystyle$f (a) $→ f$ ($b)$가 되도록 합니다.} 그$$ 후${\displaystyle x}$ / ~= B ({$displaystyle$$g:X/\sim$ \$to$$B})$라는 $고유$한${\displaystyle }$함수가 ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}$$.$ f = ${\displaystyle g}$ $.$ . { $displaystyle$$f$$$ $}$가 $투영$인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \text{a}}$ {${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$$f${\displaystyle =}$ f$(b$$$)$}$인 경우$,$ f →${\displaystyle f}$ (b ) 및 $text$ {$text}$인 경우에만 a\displaystyle$\sim$\sim\sim}입니다.이온

등가 커널

$함수 f의$$$등가 커널은 f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle y}$) .$${ $display x$ \ $sim y texttext$ { $if and$ ${\displaystyle \text{if}}$ $}f(x$) $= f(y)$인 $경우$에만${\displaystyle }$x ~ ${\displaystyle \text{y}}$로 정의되는 등가 관계입니다.} 사출의 등가 커널은 항등 관계이다$.$

파티션

X의 분할은 X의 빈 부분 집합이 아닌 집합 P이므로 X의 모든 원소는 P의 단일 원소의 원소이다.P의 각 요소는 파티션의 셀이다.또한 P의 원소는 쌍방향으로 분리되며 그 결합은 X이다.

파티션 수

X가 n개의 원소를 갖는 유한 집합이라고 하자.X 위의 모든 등가관계는 X의 파티션에 대응하므로 X의 등가관계 수는 X의 개별 파티션 수와 같으며, 이는 N번째 벨 번호_n B입니다.

$displaystyle$$}}\quad$ }(도빈스키 공식).

등가관계의 기본정리

주요 결과는 동등성 관계와 ^[5][6][7]파티션을 연결합니다.

• 집합 X 파티션 X의 동등성 관계 ~입니다.
• 반대로 X의 모든 분할에 대응하여 X에 ~의 등가 관계가 존재합니다.

두 경우 모두 X 분할의 셀은 X의 각 원소가 X 분할의 하나의 셀에 속하고, 분할의 각 셀이 X의 각 셀과 ~만큼 동일하기 때문에 X의 각 원소는 X의 고유한 등가 클래스에 속합니다.따라서 X의 모든 동등성 관계 집합과 X의 모든 분할 집합 사이에는 자연스러운 분사가 존재한다.

동등성 관계 비교

$~(\displaystyle$\$sim$$\})$와$$~(\$displaystyle$$\$approx$)$가 같은 $S$의 2개의 동등 관계이며${\displaystyle ,}$ $a{\displaystyle }$~$b(\$$displaystyle$ a$\approx$ b$)$가 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ s$,$ \$displaystyle a\approxious$ b$,$${\displaystyle s}$에 대해 b의 $b$를 의미할 경우$,$ \$displaystyle$ a라고 $합니다.$$~(\displaystyle\sim$$$및 ~(\$displaystyle$\sim$$$})$보다 거친 관계는$${\(\$displaystyle\$apprough$)$보다 더 섬세한 관계입니다. 동등하게,

• ${\displaystyle }$$~{\displaystyle }$의 모든 등가 클래스가${\displaystyle }$등가 클래스의 서브셋$(\$displaystyle$\approx$인 경우 ~의 모든 $등가$ 클래스가 ~의$$등가 클래스의 조합$(\displaystyle\approx)$인 경우 ~ {\displaystyle$\approx}$은$(\$displaystyle$\$approx)보다 미세합니다${\displaystyle .}$$sim$ $\}$ 。
• ${\displaystyle }$$~({$displaystyle$\sim})$에 의해 작성된 파티션이 $({displaystyle\approx$에 의해 작성된 파티션을 개량한 경우 ~({$displaystyle$\approx$})$는$$({displaystyle\approx$})$보다 미세합니다${\displaystyle .}$

등가 관계는 모든 집합에서 가장 미세한 등가 관계이며, 모든 요소 쌍과 관련된 보편적 관계는 가장 거칠다.

고정 집합의 모든 등가 관계 집합에서 ~${\displaystyle$\$sim$$}$은 ${\$ {\$displaystyle$\apprough$\}$보다 미세한 관계 그 자체가 부분 순서 관계이므로 컬렉션이 기하학적 ^[8]격자가 됩니다.

동등성 관계 생성

• 임의의 $집합{\displaystyle }$X에서 $모든$ $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $→$ X {\$displaystyle$X$\$$to$ X}의 집합 $[{\displaystyle X}$] {\displaystyle $X$$\$to X}에$$$$ 대한 등가관계는 다음과 같이 구할 수 있다.각각의 고정점 세트가 동일한 카디널리티를 가지며 치환의 길이 1의 사이클에 대응하는 경우 두 함수는 동등하다고 간주됩니다.
• $X의$동등성 관계$$~ {\$displaystyle$$$X$}$는 투영 $투영{\displaystyle x}$: X ${\displaystyle \to }$X / $~.$ {\$displaystyle \pi:X\to$ X$/\$sim$}$의^[9] 동등성 커널입니다.반대로 세트 간의 투영에 따라 도메인 상의 파티션이 결정되며, 코드 내의 단일 프리미지 집합입니다.따라서${\displaystyle }$X에 $대한{\displaystyle }$ 등가관계${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ X$,\$$displaystyle$ X$,\$$displaystyle$ X${\displaystyle ,\backslash }$displaystyle X)와$$$$$$ 도메인이 $X$인 투영(\displaystyle X$,\$display $style$ X$)$은 동일한 것을 지정하는 세 가지 방법입니다.
• X에 대한 동등성 관계 집합(X${\displaystyle }$×$X$의$$$부분{\displaystyle }$ 집합으로 간주되는 2진 관계)의 교차점도 동등성 관계이다.이것에 의해, 등가 관계를 간단하게 생성할 수 있습니다.X 위의 임의의 이항 관계 R이 주어지면, R에 의해서 생성되는 등가 관계는 R을 포함한 모든 등가 관계(R을 포함한 최소 등가 관계라고도 불립니다)의 교집합입니다.구체적으로는 R은 등가관계를 생성한다.

${\displaystyle a}$~ $($$자연수$n(\$displaystyle$ n$)$ 및$$ x$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ x ${\displaystyle n_{}x}$ X$(\displaystyle x_{0}, x_{n}\in$X) $요소$가 $존재$하는 경우, $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0$(\$ a$=x_0$$\},$ b$$${\displaystyle =}$ x $($ ${\displaystyle x{}_{}{,}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x$l {R} x_$${i}$ $또는$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$-$$1 ($i$${\displaystyle =1,\dots ,}$ $.\displaystyle$ $i$$=1,\ldots,n}$의 경우)

이 방법으로 생성되는 동등성 관계는 사소한 것일 수 있습니다.예를 들어, X의 모든 총 차수에 의해 생성된 동등성 관계에는 X 자체라는 정확히 하나의 동등성 클래스가 있습니다.

• 동등관계는 "물건을 함께 붙임"으로써 새로운 공간을 구축할 수 있습니다.X를 데카르트${\displaystyle \mathrm{정사각형}}$ [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1]}$×${\displaystyle }$[0${\displaystyle ,}$ $],$ {\$displaystyle [0, 1]\times [$$0,$ 1], 그리고$$ ~을 (${\displaystyle \mathrm{a},}$ 0$)$~ ($a{\displaystyle }$$,$ ${\displaystyle 1}$ )로${\displaystyle }$정의되는 X의 동등관계로 합니다${\displaystyle .}$${\displaystyle \mathrm{그리고}}{\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$b${\displaystyle }$) ~ (${\displaystyle 1}$, b$$) $모든{\displaystyle }$ b ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 0}$$,$${\displaystyle 1]}$ ,$${ $displaystyle$b \ $in [ 0$ , $1$]] , { displaystyle X / \ $sim }$의 $몫공간{\displaystyle }$X /${\displaystyle }$~$${ $displaystyle$ X / \ sim }를$$ 토러스에서 자연스럽게 식별할 수 있습니다.각형의 윗부분을 풀로 하여,n 열려 있는 두 끝을 접착하도록 실린더를 구부려 토러스(torus)를 생성한다.

대수 구조

수학의 대부분은 등가성과 순서 관계에 대한 연구에 기초하고 있다.격자 이론은 순서 관계의 수학적 구조를 포착한다.등가관계는 순서관계만큼 수학에서 흔하지만 등가의 대수구조는 순서관계만큼 잘 알려져 있지 않다.전자의 구조는 주로 그룹 이론에 기초하고, 더 적게는 격자, 범주, 그리고 그룹체에 대한 이론에 기초한다.

군론

순서 관계가 순서 집합, 쌍별 상위 집합 및 최소 집합에서 닫힌 집합과 마찬가지로 동등성 관계는 분할된 집합에서 기초됩니다. 분할된 집합은 분할 구조를 보존하는 분사에 의해 닫힌 집합입니다.이러한 모든 분사는 동등성 클래스를 그 자체에 매핑하기 때문에 이러한 분사를 순열이라고도 합니다.따라서 치환 그룹(변환 그룹이라고도 함)과 궤도의 관련 개념은 동등성 관계의 수학적 구조를 조명한다.

'~'은 우주 또는 기본 집합이라고 불리는 비어 있지 않은 집합 A에 대한 동등성 관계를 나타냅니다.G는 A의 파티션 구조를 유지하는A 위의 바이젝트 함수 세트를 나타냅니다.즉, 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$A ( \ $displaystyle$x \ $in$A )$및$ g${\displaystyle g}$G (${\displaystyle x}$ ) )${\displaystyle }$[ $x$ $display g$\ $in$G ,$g$ ($x$ )\$in$ [$$x ].} 다음$$ 세 가지 연결된 ^[10]이론이 적용됩니다$.$

• ~ A를 동등 클래스로 분할합니다.(이것은 위에서 말한 등가관계의 기본정리이다.)
• A의 분할이 주어졌을 때, G는 구성 중인 변환 그룹이며, 그 궤도는 ^[14]분할의 셀이다.

• 변환 그룹 G over A가 주어지면, 동등성 클래스가 ^[15][16]G의 궤도인 A over A에 대한 동등성 관계가 존재합니다.

요약하자면, A에 대한 동등성 관계가 주어지면, A에 대한 변환 그룹 G가 존재하며, 그 궤도는 ~ 아래에 있는 A의 동등성 클래스이다.

동등성 관계의 변환 그룹 특성화는 격자가 순서 관계를 특성화하는 방식과 근본적으로 다릅니다.격자 이론 연산의 인수는 어떤 우주 A의 요소이다.한편, 변환군 연산 구성과 역의 인수는 일련의 바이젝션 요소, A → A이다.

일반적으로 그룹으로 이동하면 H가 일부 그룹 G의 부분군이라고 가정합니다.~가 G에 대한 등가관계라고 $하자{\displaystyle }$. 즉${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ~ ${\displaystyle \text{b}}$가${\displaystyle {\mathrm{b}}^{}}$ - 1${\displaystyle {}^{}\mu }$H일 ${\displaystyle 경우}$에만$,$ ({$displaystyle$ a$\sim$ b${\text{ if and if }}ab$$^{-1}\in$H일 경우에만) ~의 등가 클래스는 G에 대한 H의 작용 궤도라고도 불린다.a와 b를 교환하면 왼쪽 코셋이 생성됩니다.

관련 사고는 로젠(2008년: 10장)에서 찾을 수 있다.

카테고리 및 그룹로이드

G를 집합으로 하고 "~"를 G에 대한 등가 관계를 나타내도록 하자.그리고 우리는 다음과 같이 이 등가 관계를 나타내는 군집을 형성할 수 있다.오브젝트는 G의 요소이며, G의 x와 y의 2가지 요소에 대해 x에서 y까지의 ${\displaystyle \mathrm{고유}}$한 모르피즘이 존재합니다${\displaystyle .}x{\displaystyle }$ ~${\displaystyle }$y . $\$ $display style$x \ $sim$y . }

등가 관계를 군체의 특수한 경우로 간주하는 이점은 다음과 같다.

• "자유 등가 관계"라는 개념은 존재하지 않지만, 유향 그래프 상의 자유 군집합체의 개념은 존재한다.따라서 "등가관계의 제시", 즉 대응하는 그룹상의 제시를 말하는 것은 의미가 있다.
• 그룹, 그룹 작용, 집합 및 동등성 관계의 묶음은 다수의 유사성을 시사하는 관점인 groupoid 개념의 특별한 경우로 간주할 수 있다.
• 많은 맥락에서 "인수"와 그에 따라 종종 합치라고 불리는 적절한 동등성 관계가 중요하다.이것은 ^[17]카테고리의 내부 그룹로이드 개념으로 이어집니다.

격자

집합 X의 등가관계는 집합 포함에 의해 순서가 정해지면 관례상 Con X라고 불리는 완전한 격자를 형성합니다.표준 맵 ker: X^X → Con X는 X와 Con X에 있는 모든 함수의 모노이드 X^X와 관련된다. ker는 주관적이지만 주입적이지 않다.즉, X의 등가관계 ker는 각 함수 f:X→X를 커널 ker f로 가져옵니다.마찬가지로 ker(ker)는 X^X에서의 등가 관계입니다.

등가관계와 수리논리

등가관계는 예시 또는 반례의 준비된 원천이다.예를 들어, 정확히 두 개의 무한 등가 클래스와의 등가 관계는 이론의 쉬운 예로서, θ-범주적이지만 더 큰 기수에 대해서는 범주적이지 않다.

모델 이론의 의미는 관계를 정의하는 속성이 서로 독립적으로 증명될 수 있다는 것이다(따라서 정의의 필요한 부분). 각 속성에 대해 주어진 속성을 만족시키지 못하는 관계의 예를 다른 모든 속성을 만족시키는 경우에만 찾을 수 있다.따라서 동등성 관계의 세 가지 정의 특성은 다음 세 가지 예를 통해 상호 독립성을 입증할 수 있다.

• 재귀적 및 전이적:N. 또는 임의의 사전 주문에 대한 관계
• 대칭 및 전이:aRb ↔ ab 0 0으로 정의된 N 위의 관계 R. 또는 모든 부분 등가 관계
• 반사 및 대칭:aRb ↔ "a - b는 적어도 2 또는 3 중 하나로 나누어집니다." 또는 모든 종속성 관계.

등가 관계가 소유하거나 소유하지 않을 수 있는 1차 로직에서 정의할 수 있는 속성은 다음과 같습니다.

• 동등성 클래스의 수는 유한하거나 무한하다.
• 동등성 등급의 수는 (유한) 자연수 n과 같다.
• 모든 동등성 클래스는 무한 카디널리티를 가집니다.
• 각 동등성 클래스의 원소 수는 자연수 n입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 켤레 클래스
• 등가(기하학)
• 등가 관계에 의한 몫
• 위상 공역
• 까지

메모들

레퍼런스

• 브라운, 로널드, 2006년토폴로지 및 Groupoid.북서지 LLCISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, Bading, Katherine 및 E.의 "대칭성과 동등성"Castellani, ed., 물리학의 대칭: 철학적 성찰케임브리지 대학교422~433을 누릅니다.
• 1973년 로버트 딜워스와 크롤리, 피터격자 대수론프렌티스 홀.12장에서는 격자 이론에서 등가 관계가 어떻게 생기는지에 대해 논한다.
• 히긴스, PJ, 1971년카테고리 및 그룹로이드.반 노스트랜드.2005년 이후 TAC Reprint로 다운로드 가능.
• 존 랜돌프 루카스, 1973년시간과 공간에 관한 논문.런던:메튜엔.섹션 31.
• Rosen, Joseph(2008) 대칭 규칙: 과학과 자연이 어떻게 대칭에 기초하는지.스프링거-벨라그.대부분 챕터 9,10
• Raymond Wilder(1965) 수학 기초 소개 제2-8장: 동등성을 정의하는 악시움, 페이지 48-50, John Wiley & Sons.

외부 링크

• "Equivalence relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 보고몰리, A. "균등관계"는 간단히 설명하겠습니다.2009년 9월 1일 접속
• PlanetMath에서의 동등성 관계
• OEIS 시퀀스 A231428(등가 관계를 나타내는 이항 행렬)