위트의 정리

'윗의 정리'나 '윗의 정리'도 부르바키-을 가리킬 수 있다.순서 이론의 Witt 고정점 정리.

수학에서 에른스트 비트(Ernst Witt)의 이름을 딴 위트의 정리는 2차적 형태의 대수학 이론의 기본적인 결과물이다: 필드 k 위에 있는 비정규적 2차적 공간의 두 하위 공간 사이의 모든 등위계는 전체 공간의 등위계로 확장될 수 있다.유사한 진술은 임의의 분야에 걸친 스큐 대칭, 에르미티아어 및 스큐-헤르미티아 이선형에도 적용된다.이 정리는 k에 대한 2차 형태의 분류에 적용되며, 특히 필드 k에 대한 2차 형태의 "안정적" 이론을 설명하는 Witt 그룹 W(k)를 정의할 수 있다.

성명서

렛(V, b)은 2와 다른 특성 k의 필드 위에 비분할 대칭 또는 스큐 대칭 이선형 형태와 함께 유한한 차원 벡터 공간이다.만약 f : U → U'가 V의 두 하위공간 사이의 등각계라면 f는 V의 등각계로 확장된다.

위트의 정리는 V의 최대 등방성 아공간(null space)의 치수가 b의 지수 또는 Witt index라 불리는 불변성이고,^[1] 더욱이 (V, b)의 등방성 아공간 집합에서 전이적으로 작용한다는 것을 암시한다.이 사실은 이등계 집단의 구조 이론과 표현 이론과 환원 이중 쌍의 이론에서 중요한 역할을 한다.

위트의 취소 정리

(V, q), (V₁, q₁), (V₂, q₂)는 필드 k 위에 있는 세 개의 이차 공간이다.라고 가정하다.

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q)}$

2차 공간(V₁, q₁) 및 (V₂, q₂)은 등축이다.

${\displaystyle(V_{1},q_{1})\simeq(V_{2},q_{2}).}$

즉, 2차 공간 사이의 이형성 양쪽에 나타나는 직접 합계(V, q)는 "취소"될 수 있다.

위트의 분해 정리

(V, q)를 필드 k 위에 있는 이차적 공간이 되도록 한다.그리고 위트 분해를 인정한다.

${\displaystyle (V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_{a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),}$

여기서 V₀ = ker q는 q의 래디컬이고, (V_a, q_a)는 비등방성 2차 공간이며, (V_h, q_h)는 분할 2차 공간이다.더욱이 (V, q)의 Witt 분해에서 핵심 형태라고 불리는 비등방성 합계 및 쌍곡성 합계(volly summand)는 이형성에 따라 고유하게 결정된다.^[2]

동일한 코어 형태를 가진 2차 형태는 유사하거나 Witt 등가라고 한다.

인용구

참조

• Emil Artin (1957) 기하 대수학, 인터넷 아카이브를 통해 121페이지
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929, Zbl 1068.11023
• Lorenz, Falko (2008), Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer-Verlag, pp. 15–27, ISBN 978-0-387-72487-4, Zbl 1130.12001
• O'Meara, O. Timothy (1973), Introduction to Quadratic Forms, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 117, Springer-Verlag, Zbl 0259.10018