울프 이중성

수학적 최적화에서, 필립 울프의 이름을 딴 Wolfe 이중성은 객관적 기능과 제약조건이 모두 다른 기능인 이중 문제의 일종이다.이 개념을 사용하면 취약한 이중성 원리로 인해 최소화 문제에 대한 하한을 찾을 수 있다.^[1]

수학적 공식화

불평등 제약조건의 최소화 문제를 위해,

{\property}&gt;{\propertyname {x}}}}}}}}}{propertyname {nf(x)\\&gt;to} &&g}\leq 0,\put i=1,\m\end}정렬}}

라그랑의 이중 문제는

{\displaystyle{j}&{\putet {u}{\inf _{x}\{x(x)+\inf _{x}\ft(f(x)+\nf _{j=1}^{j}g_{j}(x)\rig)\rig)\rig)\\&\datablename {bask\;to} &&u_{i}\geq 0,\bask i=1,\bases,m\end{aigned}}}

여기서 목표 기능은 Lagrange 이중 기능이다. $함수$ f $f$ $g_{1},\ldots ,g_{m}$ g $f$ $g_{1},\ldots ,g_{m}$ … $g_{1},\ldots ,g_{m}$ , $g_{1},\ldots ,g_{m}$ m $g_{1},\ldots ,g_{m}$ {\ $displaystyle g_{1},\ldots, g_{m}$ 이 $g_{1},\ldots ,g_{m}$ 볼록하고 연속적으로 다를 수 있다면, 그라데이션이 0일 때 최소값이 발생한다.문제

{\begin{aligned}&{\underset {x,u}{\operatorname {maximize} }}&&f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)=0\\&&&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}

'^[2]울프 이중 문제'라고 불린다.이 문제는 KKT 조건을 제약조건으로 채택한다.또한 평등 제약 조건 $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ f ( $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ x $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ ) $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ + $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ = 1 $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ ( $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ ) ${\displaystyle \nabla f(x)+\sum$ \ $j=1^{j=$ 1} $u_{j$ }\ $nabla$ g_{ $j}(x)$ 는 일반적으로 비선형적이므로 $\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_{j}(x)$ Wolfe 이중 문제는 비콘벡스 최적화 문제일 수 있다.어쨌든 약한 이중성이 버티고 있다.^[3]

참고 항목

참조

^ Philip Wolfe (1961). "A duality theorem for non-linear programming". Quarterly of Applied Mathematics. 19: 239–244.
^ "Chapter 3. Duality in convex optimization" (pdf). October 30, 2011. Retrieved May 20, 2012.
^ Geoffrion, Arthur M. (1971). "Duality in Nonlinear Programming: A Simplified Applications-Oriented Development". SIAM Review. 13 (1): 1–37. doi:10.1137/1013001. JSTOR 2028848.

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[Wolfe-1] Philip Wolfe (1961). "A duality theorem for non-linear programming". Quarterly of Applied Mathematics. 19: 239–244.

[2] "Chapter 3. Duality in convex optimization" (pdf). October 30, 2011. Retrieved May 20, 2012.

[3] Geoffrion, Arthur M. (1971). "Duality in Nonlinear Programming: A Simplified Applications-Oriented Development". SIAM Review. 13 (1): 1–37. doi:10.1137/1013001. JSTOR 2028848.

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