미분 가능 함수

미분 가능한 함수

수학에서, 하나의 실제 변수의 미분 가능한 함수는 그 영역의 각 점에 도함수가 존재하는 함수이다.즉, 미분 가능 함수의 그래프는 영역의 각 내부 점에 수직이 아닌 접선을 가집니다.미분 가능한 함수는 평활하며(함수는 각 내부 점에서 선형 함수로 국소적으로 잘 근사됨) 중단, 각도 또는 첨단을 포함하지 않습니다.

x가 $함수$ f의 영역 내 내부점일 $경우 0$ , f는 $f'(x_{0})$ fθ $f'(x_{0})$ 0 $)\displaystyle$ f $'(x_{0})$ 가 $f'(x_0)$ 존재하면 x에서 미분 $가능$ 하다고₀ 한다.즉, f의 그래프는 지점(x0, f(x0)에서)non-vertical 접선하고 있다.F이 미국의 모든 위치에서 미분 가능은 U에 구별할 수 있는 될 수 있는 도메인을 넘어서면 그 파생물 또한 연속 함수는 함수 f{\displaystyle f}연속 미분 가능할 것으로 알려졌다. 일반적으로 말하자면 결론은, f톤이라고 한다o $C^{k}$ C $k$ 의 첫 번째 $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ 의 $k$ $displaystyle$ f $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ), $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ) ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ $){$ $displaystyle f^$ { \ prime } ( $x), f^{$ \ prime } ( $x),$ f^{ \ $ldots }$ ( $x)$ (x )도메인, f^{ $k$ $}$ (x $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ )도메인 class class c)이 $C^{k}$ 존재합니다.

한 변수의 실제 함수의 미분 가능성

A $f:U\to \mathbb {R}$ f : U $f:U\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ f $:$ $열린$ $U\subset \mathbb {R}$ U $U\subset \mathbb {R}$ R {\ $displaystyle U\subset$ \mathbb { $R$ 에 정의된 U $\to$ \ $mathbb {R$ 는 도함수가 다음과 같으면 $a\in U$ U {\ $displaystyle$ a $\in$ U $}$ 에서 $a\in U$ 미분 가능하다고 한다.

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}

존재합니다. 이는 함수가 $a$ 에서 연속적이라는 것을 의미합니다.

이 $함수$ f는 U의 $모든$ 점에서 미분 가능한 경우 $U$ 에서 미분할 수 있다고 합니다. 이 경우 $f$ 의 도함수는 $U$ 에서 $\mathbb {R} .$ 로 변환되는 함수입니다 $.\\displaystyle \mathbb {R}$

연속 함수는 반드시 미분 가능한 것은 아니지만, 미분 가능한 함수는 아래(미분 가능성과 연속성 섹션)와 같이 반드시 연속적인(미분 가능한 모든 지점) 것입니다.함수는 그 도함수도 연속함수인 경우 연속미분가능하다고 한다.미분가능하지만 연속미분가능하지 않은 함수는 아래와 같이 존재한다(미분가능성 분류 섹션).

차별화 및 연속성

절대값 함수는 연속적입니다(즉, 간격이 없습니다).이 값은 x =

0인

점을 제외하고 어디에서나 미분할 수 있으며, 여기서 y축과

교차할 때 급격히 회전합니다.

연속 함수의 그래프에 있는 첨자.0에서 함수는 연속적이지만 미분할 수 없습니다.

$f$ 가₀ 점 x에서 미분 가능한 $경우$ $f$ 도 점 x에서 $연속형$ 이어야₀ 합니다.특히, 미분 가능한 함수는 해당 영역의 모든 점에서 연속적이어야 합니다.그 반대는 유지되지 않습니다. 연속 함수는 차별화될 필요가 없습니다.예를 들어 벤드, 커프 또는 수직 접선이 있는 함수는 연속적일 수 있지만 이상 징후 위치에서는 구별할 수 없습니다.

실제로 발생하는 대부분의 함수는 모든 지점 또는 거의 모든 지점에 파생 함수를 가집니다.그러나 Stefan Banach의 결과에 따르면, 어떤 점에서 도함수를 갖는 함수 집합은 모든 연속 ^[1]함수의 공간에서 미미한 집합이다.비공식적으로, 이것은 구별 가능한 함수가 연속 함수들 사이에서 매우 비정형적이라는 것을 의미한다.어디에서나 연속적이지만 어디에서나 미분 가능한 함수의 첫 번째 알려진 예는 Weierstrass 함수입니다.

차별화 클래스

미분 가능한 함수는 선형 함수에 의해 국소적으로 근사될 수 있습니다.

f

(

x\neq 0

)

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

sin

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

δ (

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

x

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

) { displaystyle f ( x

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

)

=

right ( 1 x ) \

displaystyle

f

(

f(0)=0

)=

x^{2

}

\ sin

\ sin \ left

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

\

tfrac {

1

}

{

f(0)=0

}

\

right

f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)

}

f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

x\neq 0

x ≠ ≠ ≠ ≠

x\neq 0

≠ ≠ 0

x\neq 0

≠

f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

→ R ≠ 0 ≠ the

x\neq 0

f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

\

displaystyleft

\ tflashstyleft\ tfrack

style

f

f(0)=0

R: R: R:

f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

:\

myleft

그러나 이 함수는 연속적으로 미분할 수 없습니다.

$함수 f$ 는 $f$ $f^{\prime }(x)$ f $f^{\prime }(x)$ δ( $)$ { $style$ f $^{\prime$ }( $x)}$ 가 $f^{\prime}(x)$ 존재하며, 그 자체가 연속 함수일 경우 연속 미분 가능하다고 한다.미분 가능 함수의 도함수는 점프 불연속성을 가지지 않지만, 도함수는 본질 불연속성을 가질 수 있다.예를 들어 함수는

f(x)\;=\;{\case}x{2}\sin(1/x)&{\text{if}x\neq 0\0&{\text{if}x=0\end{case}}}

0에서 미분할 수 있습니다.

f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\frac \varepsilon ^{2}\sin ( 1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}= 0,

존재한다.단, x

x\neq 0,

의

경우

{\

style x\neq

0

,}

의

x\neq 0,

차별화 규칙은

f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

즉,

이

x\to 0.

에서는 미분

가능

하지만 연속적으로 미분 가능하지는 않은 함수의 존재(

즉,

도함수가 연속 함수가 아님)를

x\to 0.

나타냅니다.그럼에도 불구하고, 다르부스의 정리는 함수의 도함수가 중간값 정리의 결론을 만족시킨다는 것을 암시한다.

연속함수를 $C^{0},$ 이라고 $C^{0},$ 하는 경우와 $마찬가지$ 로 연속미분함수는 $C^{1}.$ 이라고 하는 경우도 있습니다 $.\$ $displaystyle$ C $^{1$ $}}$ $C^{2}$ 는 $C^{1}.$ $C^{2}$ C2의 함수로 함수의 제1 및 제2의 도함수와 con의 도함수가 모두 존재하는 $경우$ 입니다.주름이 많은 $C^{k}$ 으로 첫 $번째$ k개의\ $displaystyle$ k $C^{k}$ $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ f $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ( ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ) , $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ) $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ , … $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ , $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ ) ( $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ x ) $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ \ $displaystyle$ f^ { \ $prime$ } ( $x$ ) , $f^$ { \ $prime }$ ( $x$ ) , f $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ 、 f $（$ x $C^{k}$ ) , f （ $k$ ）。 $f$ $f^{(n)}$ ( $f^{(n)}$ ) $f^{(n)}$ { $displaystyle$ f^ { ( $f^{(n)}$ n ) } exist $f^{(n)}$ 、 \ $displaystyle$ n $C^{\infty }.$ positive $n,$ $C^{\infty }.$ all $C^{\infty }.$ c c all c equival equival is is is is is is is is is is is is is is is ( ( ( equival is is is is is ( ( ( ( ( ( ( ( ( is ( ( ( ( ( ( ( ( f ( \ displaystyle f $^{$ $displayst$

고차원에서의 차별화

다음과 같이 선형 $지도$ J: $R m$ → $R$ 이ⁿⁿ 존재하는 경우, 몇 개의 $실변수$ f: $R m$ → R의 함수는 x $점$ 에서₀ 미분 가능하다고 한다.

\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} } {\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h}) - \mathbf {J} - \mathbf {h} \mathbf {h} \mathbf {f}}

함수가 x에서 미분 $가능$ 한₀ 경우, 모든 $편도함수$ 는 x에 $존재$ 하며₀ 선형 지도 J는 야코비 행렬에 의해 주어진다.단변수 미적분학에서 발견된 기본증가 보조항아리에 의해 고차원 도함수의 유사한 공식이 제공된다.

함수의 모든 편미분이 점 $x$ 의₀ 근방에 $존재$ 하며₀ 점 x에서 연속이라면 함수는 그 점 $x$ 에서₀ 미분할 수 있다.

그러나 부분파생상품(또는 모든 방향파생상품)이 존재한다고 해서 함수가 한 시점에서 미분될 수 있다는 보장은 없다. $예$ 를 들어, $함수 2$ f: $R$ → R은 다음과 같이 정의됩니다.

f(x,y)=syslog{case}x&{\text{if}}y\neq x^{2}\\text{case}}y=x^{2}\end{case}}}

는 ( $0, 0)$ 에서 미분할 수 없지만, 모든 편도함수와 방향도함수가 이 지점에 존재합니다.연속 예제의 경우 함수는

f(x,y)=sys}y{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if}(x,y)\neq(0,0)\text{if}=(0,0)\end{cases}}

는 ( $0, 0)$ 에서 미분할 수 없지만 모든 편도함수와 방향도함수가 존재합니다.

복잡한 분석의 차별화

복소해석에서는 복소 미분성은 단일 변수 실함수와 동일한 정의를 사용하여 정의된다.이는 복소수를 나눌 수 있는 가능성에 의해 허용된다. $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 함수 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ f : C $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ f $:\mathbb {C}$ \ $to \mathbb {C}}$ 는 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ x $x=a$ $x=a$ {\ $displaystyle$ x $=a}$ 에서 $x=a$ 미분 $x=a$ 하다고 합니다.

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}{h}}.

이 정의는 단일 변수 실제 함수의 차별화 가능성과 비슷해 보이지만 더 제한적인 조건입니다.x $= a$ {\ $displaystyle$ x→ $a}$ $x=a$ 에서 $x=a$ 복소 미분 가능한 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ f : $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ C \displaystyle f : \ $mathbb$ { $C} \to$ $\$ $mathbb$ {C $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 는 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ f : $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $2$ \ $style$ f : \ $mathbb {C}$ 로 볼 때 해당 점에서 자동으로 미분 가능합니다 $.$ 구별성은 을 의미한다

\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac { f(a+h)-f(a)-f'(a)h }}= 0.}

$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ , 함수 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ f : $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ f $:\mathbb {C}$ \ $to \mathbb {C}$ }는 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 복소 미분이 아니라 다항 함수로서 미분이 가능하다.예를 들어 $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ f ( $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ ) $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ + $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ 2 { { $displaystyle$ f $(z$ ) = $spec frac {z+{\overline {z}}{$ 2}}는 $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ 2차원 실수 $f(x,y)=x$ f $f(x,y)=x$ , $f(x,y)=x$ ) $=$ { \ $displaystyle$ f $(x,y$ )= $x$ 로 볼 때 모든 점에서 미분 가능하지만, 복잡하지는 않습니다.

점 근처에서 복소 미분 가능한 함수를 해당 점에서는 정형함수라고 합니다.이러한 함수는 필연적으로 무한히 미분 가능하며, 실제로 분석적입니다.

다지관상의 구별 가능한 기능

M이 미분 가능한 다양체일 경우, M 위의 실수 또는 복소수 함수 f는 p 주위에 정의된 일부(또는 임의의) 좌표도에 대해 미분 가능한 경우 p 점에서 미분 가능하다고 한다.M과 N이 미분 가능한 다양체일 경우 함수 f: M → N은 p와 f(p) 주위에 정의된 일부(또는 임의의) 좌표 차트에 대해 미분 가능한 경우 p 지점에서 미분 가능하다고 한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179.. 인용자

[1] Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179.. 인용자

[1]

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목차

한 변수의 실제 함수의 미분 가능성

차별화 및 연속성

차별화 클래스

고차원에서의 차별화

복잡한 분석의 차별화

다지관상의 구별 가능한 기능

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