율라-쿠세라 파라메트리제이션

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제어 이론에서 Yola-Kuchera 파라메트리제이션(Simplically parametrization이라고도 함)은 단일 파라미터 Q의 함수로서 주어진 발전소 P에 대해 가능한 모든 안정화 피드백 제어기를 설명하는 공식이다.

세부 사항

YK 파라메트리제이션은 일반적인 결과물이다. 그것은 통제 이론의 근본적인 결과로서 완전히 새로운 연구 영역을 출범시켰고, 그 중에서도 최적적이고 강력한 통제에서 응용을 발견했다.^[1] YK 공식의 공학적 의미는 일부 추가 기준을 충족하는 안정화 제어기를 찾고자 할 경우 원하는 기준을 만족하도록 파라미터 Q를 조정할 수 있다는 것이다.

이해의 용이성과 쿠체라가 제안한 것처럼, 그것은 점점 더 일반적인 세 종류의 식물에 대해 가장 잘 설명된다.

안정적 SISO 공장

$P{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle P}$을(를) 안정적인 단일 입력 단일 출력 시스템(SISO) 시스템의 전송 함수가 되도록$$ 한다. 또한 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) $s{\displaystyle }${\$displaystyle s}$의 안정적이고 적절한 기능의 집합이 되도록$$ 한다$.$ 그런 다음, $발전소{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\디스플레이$ 스타일 $P}$에 대한 모든 적절한 안정화 컨트롤러 세트를 다음과 같이 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle Q\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{s}{}}$) ${\displaystyle \frac{1}{}}$- P${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{s}{}}$) Q${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{s}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{Q}{}}$ , ${\displaystyle Q}$ ( s )${\displaystyle \frac{}{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ {$Q(s)}{1-P(s)Q}}{$1-P$(s$)Q$\in \Oomega \오른쪽$

여기서 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Q}$는 s의 임의의 적절하고 안정적인 기능이다$$. $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Q}$은$($는) 발전소 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle P}$에 대한 모든 안정화 컨트롤러를 파라메트리한다고$$ 말할 수 있다$.$

일반 SISO 공장

전달함수 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ ) ${\displaystyle P}$을(를) 가진 일반 발전소를 고려한다$.$ 또한, 전달함수는 다음과 같이 인수할 수 있다.

${\displaystyle P\frac{}{}}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$s ) M${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{s}{}}$) ${\$ P $(s)={\frac {N(s)}{M(s$ $여기$서 $M{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$s${\displaystyle }$) ${\displaystyle M(s$ N$s$ ${\displaysty N}$은 s의 안정적이고 적절한 기능이다$$.

자, 베즈아웃의 형태에 대한 정체성을 풀어보자.

${\displaystyle \mathbf{N}\mathbf{}}$( ${\displaystyle \mathbf{s}\mathbf{}}$) ${\displaystyle \mathbf{Y}\mathbf{}}$(${\displaystyle \mathbf{}}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle M\mathbf{}\mathbf{}}$( ${\displaystyle \mathbf{s}\mathbf{}}$) ${\displaystyle \mathbf{X}\mathbf{}}$(${\displaystyle \mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\mathbf{}}$ {\$displaystyle \mathbf$ {$N(s)Y} +\mathbf$ {$M(s)X}$ $=\backslash$$mathbf {1},$

여기서 찾을 변수$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle (X(s),$ Y$(s)})$도 적절하고 안정적이어야 한다$$.

After proper and stable ${\displaystyle X,Y}$ are found, we can define one stabilizing controller that is of the form ${\displaystyle C(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$. After we have one stabilizing controller at hand, we can define all stabilizing controllers using a parameter ${\displayst$적절하고$$ 안정적인 $Q(들$. 모든 안정화 컨트롤러의 세트는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \left\{{\frac {Y(s)+M(s)Q(s)}{X(s)-N(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}}$.

일반 MIMO 공장

In a multiple-input multiple-output (MIMO) system, consider a transfer matrix ${\displaystyle \mathbf {P(s)} }$. It can be factorized using right coprime factors ${\displaystyle \mathbf {P(s)=N(s)D^{-1}(s)} }$ or left factors ${\displ$$aystyle \mathbf{P(s)={\tilde{D}^{-1}{\tilde{N$ 인자는 적절하고 안정적이며 이중으로 복사되어야 하며, 따라서 $시스템{\displaystyle \mathbf{}}$ P$){\$는 관리 가능하고 관찰할 수 있어야 한다. 이것은 Bézout의 형식 정체성에 의해 쓰여질 수 있다.

[XY− N일 D~][D− Y사이 NX~])[001세]{\displaystyle \left[{\begin{매트릭스}\mathbf{X}&\mathbf{Y}\\-\mathbf{\tilde{N}}&,{\mathbf{\tilde{D}}}\\\end{매트릭스}}\right]\left는 경우에는{\begin{행렬}\mathbf{D}&-\mathbf{\tilde{Y}}\\\mat.hbf{N}$&{\mathbf {\X}\\end{matrix}\right]=\왼쪽[{\begin{matrix}\mathbf {I} &0\\0&\mathbf {I}\\end{matrix}\right$

After finding ${\displaystyle \mathbf {X,Y,{\tilde {X}},{\tilde {Y}}} }$ that are stable and proper, we can define the set of all stabilizing controllers ${\displaystyle \mathbf {K(s)} }$ using left or right factor, provided having negative feedback.

${\displaystyle {\begin{aigned}&\mathbf {K} ={\왼쪽(\mathbf {X} -\mathbf {\tilde{N} \오른쪽)^{-1}^{-1}\mathbf {Y} +\mathbf {Delde {D}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\data.\\&=\left(\mathbf {\tilde {Y} +\mathbf {D\Delta } \right){\\\mathbf {\tilde {X} -\mathbf {N\Delta }}^{-1}\ended}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 임의의 안정적이고 적절한 매개 변수다$$.

$P{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle P}$을(를) 발전소의 이송 함수로 하고$$ K ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle K_{0}$을(를$)$ 안정화 제어기로$$ 한다. 적절한 동시 시간 인자화를 다음과 같이 처리하십시오.

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}$

${\displaystyle \mathbf {K_{0}s} =\mathbf {U} \mathbf {V}^{-1}$

그러면 모든 안정화 컨트롤러는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {K} =(\mathbf {U} +\mathbf {Q} )(\mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q}^{-1})$

$여기$서 Q ${\displaystyle Q}$은(는) 안정적이고 적절하다.^[2]

참조

• D. C. 유라, H. A. 자브리, J. J. 봉고르노: 최적 컨트롤러의 현대적 Wiener-Hopf 설계: 파트 II, IEEE 트랜스. 오토마트. 콘트라스트, AC-21 (1976) pp319–338
• V. 쿠체라: 이산 선형 피드백 시스템의 안정성. In: 제6차 IFAC의 절차. 세계 회의, 보스턴, MA, 미국, (1975년)
• C. A. 데소어, R.W. 류, J. 머레이, R. 색스. 피드백 시스템 설계: 분석과 합성에 대한 부분 표현 접근법. IEEE 트랜스. 오토마트. 콘트라스트, AC-25(3), (1980) pp399–412
• 존 도일, 브루스 프랜시스, 앨런 탄넨바움. 피드백 제어 이론. (1990). [2]