영의 수녀회화 불평등

수학에서 영의 콘볼루션 불평등은 윌리엄 헨리 영의 이름을 딴 ^[1]두 가지 기능의 콘볼루션에 관한 수학적인 불평등이다.

성명서

유클리드 공간

실제 분석에서는 다음과 같은 결과를 영의 경련 불평등이라고 한다.^[2]

f가 L^p(R^d)에 있고 g가 L^q(R^d)에 있고

${\displaystyle {\frac {1}{p1}+{\frac {1}{q}={\frac {1}{r}+1}$

1 ≤ p, q ≤ r ≤ ∞ .

${\displaystyle \ f*g\ _{r}\leq \ f\ _{p}\g\ _{q}.}$

여기서 그 별은 콘볼루션을 나타내고, L은^p 르베그 공간이며,

${\displaystyle \ \f\{p}={\Bigl (}\int _{\mathbf {R}^{d}}f(x) ^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}}}$

일반적인^p L 규범을 나타낸다.

동등하게 $p{\displaystyle }$,${\displaystyle q}$ , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle p,q,r\geq$ 1$}$ 및 1$$ $\frac{p}{}$+ 1 $\frac{q}{}$+ $\frac{1}{}$ $\mathrm{r}$= 2 ${\textstyle {\frac${1$}{p}}+{\frac${1$}{q}}+{\frac{1$}{r$}}}}}}}=2}}$인 경우

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\leq \left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$

일반화

Young's convolution inequality has a natural generalization in which we replace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ by a unimodular group ${\displaystyle G}$. If we let ${\displaystyle \mu }$ be a bi-invariant Haar measure on ${\displaystyle G}$ and we let ${\displaystyle f,g:$$G\to \mathb {R}$ $또는$ C ${\$는) 통합 가능한 함수가 되어야$$ 하며, 그런 다음 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ast }$ g ${\displaystyle f*g}$을(를) 기준으로$$ 정의한다.

${\dapplaystyle f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d}\mu(y).}$

Then in this case, Young's inequality states that for ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ and ${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$ and ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ such that

${\displaystyle {\frac {1}{p1}+{\frac {1}{q}={\frac {1}{r}+1}$

우리는 할 일이 있다.

${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.}$

동등하게 $p{\displaystyle }$,${\displaystyle q}$ , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle p,q,r\geq$ 1$}$ 및 1$$ $\frac{p}{}$+ 1 $\frac{q}{}$+ $\frac{1}{}$ $\mathrm{r}$= 2 ${\textstyle {\frac${1$}{p}}+{\frac${1$}{q}}+{\frac{1$}{r$}}}}}}}=2}}$인 경우

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) 사실 르베그(Lebesg)가 원하는 하아르(Haar) 측정을 하는 국소 소형 아벨(따라서 단형) 그룹이기$$ 때문에, 이는 사실상 일반화다.

적용들

예를 들어, 영의 불평등은 열 세미그룹이 L 규범을² 사용하는 계약 세미그룹이라는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다(즉, Weierstrass 변환은² L 규범을 확대하지 않는다).

증명

홀더 부등식에 의한 증거

영의 불평등은 비최적 상수 1을 가진 기본적인 증거를 가지고 있다.^[3]

We assume that the functions ${\displaystyle f,g,h:G\to \mathbb {R} }$ are nonnegative and integrable, where ${\displaystyle G}$ is a unimodular group endowed with a bi-invariant Haar measure ${\displaystyle \mu }$. We use the fact that ${\displaystyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$ for any measurable ${\displaystyle S\subset G}$. Since ${\textstyle p(2-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}})=q(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}})=r(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}})=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}}$

핼더 부등식에 의해 우리는 세 가지 기능을 추론한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int_{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu(x)\,\mathrm {d} \matmatrix \mu(y)\right)^{1-{\frac{1}{p}}}}.\end{정렬}}}$

그 결론은 하아르 조치의 좌상생성, 도메인의 반전, 그리고 푸비니의 정리 등에 의해 통합이 보존된다는 사실에 의해 그 뒤에 나타난다.

보간증거

영의 불평등도 보간으로 증명할 수 있다; 리즈-에 관한 기사를 보라.증거를 찾기 위한 토린 보간술.

샤프 상수

사례 p, q > 1 Young의 불평등은 다음과 같은 방법으로 날카로운 형태로 강화될 수 있다.

${\displaystyle \ f*g\ _{r}\leq c_{p,q}\ f\ _{p}\g\ _{q}.}$

상수_p,q c < 1.^[4][5][6] 이 최적의 상수에 도달하면 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은 다차원 가우스 함수다.

메모들

외부 링크

• ProofWiki에서의 젊은이의 난관에 대한 불평등