제크의 로그

zech 로그는 원소가 발전기 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 힘으로 표현될 때 유한한 필드에 덧셈을 구현하는 데 사용된다$.$

제크 로그는 줄리어스 제크의 이름을 따서 명명되었으며,^{[1][2][3][4][5]} 숫자 이론 조사에 사용한 칼 G. J. 자코비의 이름을 따서 자코비 로그라고도 불린다.^[6]

정의

유한 필드의 원시 요소$$ $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha }$을(를) 제공하면, 베이스 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 상대적인 Zech 로그는 방정식으로 정의된다$$.

${\displaystyle \alpha ^{Z_{\alpha }(n)=1+\alpha ^{n}}}$

로서 자주 고쳐 쓰는 것.

${\displaystyle Z_{\alpha }(n)=\log _{\alpha }(1+\alpha ^{n}).}$

base $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 선택은 대개 맥락에서 명확할 때 표기법에서 삭제된다$$.

좀 더 정확히 말하면 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$}}}은$($는) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}의$$승수 순서에 대한 함수로서$$ 같은 집합의 값을 취한다.모든 요소를 설명하기 위해서는 symbol $displaystyle$ -$\infully$ }라는 새로운$$기호를 정의와 함께 공식적으로 추가하는 것이 편리하다.

${\displaystyle \cHB ^{-\infit }=0}$

$####################################$

${\displaystyle Z_{\alpha }(-\fty )=0}$

${\displaystyle Z_{\alpha }(e)=-\fty }$

여기서 $e{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle e$$}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ ${\displaystyle e^{}}$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \cHB$^{$e}=-$$1$$\}$을$($를) 만족하는 정수로서, ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2 필드의$$ ${\displaystyle 경우\frac{}{}}$ e${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$${\$$}{$2}}:$$$q$$.$

Zech 로그를 사용하여 유한 필드 산술은 지수 표현으로 수행할 수 있다.

${\displaystyle \alpha ^{m}+\alpha ^{n}=\alpha ^{n-m}\cdot (1+\alpha ^{m}=\alpha ^{Z(n-m)}=\m+Z(n-m)}}$

${\displaystyle -\cdot \{n}=(-1)\cdot \cdot \cdot \cdot \{n}=\e+n}}$

${\displaystyle \alpha ^{m}-\alpha ^{n}=\alpha ^{n}+(-\alpha ^{n})=\alpha ^{m+Z(e+n-m)}}$

${\displaystyle \cdot \cdot \cdot ^{n}=\cdm+n}$

${\displaystyle \left(\displaystyle \ft)(\put ^{m}\right)^{-1}=\m}$

${\displaystyle \property \m}/\put ^{n}=\put \cdot \left(\put ^{n}\오른쪽)^{-1}=\put ^{m-n}}$

이러한 공식은${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\infit$ $\}$이라는 기호를 가진 우리의 관습과 함께 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\infit }$의 뺄셈이 정의되지$$ 않은 것에 대한 경고와 함께 그대로 유지된다.특히 덧셈과 뺄셈 공식은 $m{\displaystyle }$= -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ m$=--\fit }$을(를) 특수한 경우로 취급할$$ 필요가 있다.

이는 $또{\displaystyle {}^{}}$ 다른 기호 +$$α +${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$α = α = α =$\$ {\$displaystyle$ $+\$$infit }$과(와) 기타 규칙을 적절히 도입하여 투영 선의 산술로 확장할 수 있다.

특성2의 필드는

${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}n}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle m\alpha {}_{}m}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z_{\\alpha }(n)=m\iff Z_{\alpha }}(m)=n$

사용하다

충분히 작은 유한 장의 경우, Zech 로그 표는 소수의 정수 추가/수축 및 테이블 룩업 측면에서 모든 유한 필드 산술의 특히 효율적인 구현을 가능하게 한다.

이 방법의 효용은 테이블을 효율적으로 저장할 수 없는 큰 필드에 대해 감소한다.이 방법은 한정된 분야에서 거의 작업을 하지 않을 때도 비효율적이다. 왜냐하면 실제 계산에서보다 표를 계산하는 데 더 많은 시간을 소비하기 때문이다.

예

α α GF(2³)를 원시 다항식³ x + x + 1의² 루트가 되게 한다.이 분야의 원소들의 전통적인 표현은 α 도 이하의 다항식이다.

이 필드의 Zech 로그 표는 Z(-ii) = 0, Z(0) = -ii, Z(1) = 5, Z(2) = 3, Z(3) = 2, Z(4) = 6, Z(5) = 1, Z(6) = 4이다.α의 승수 순서는 7이므로 지수 표현은 정수 modulo 7과 함께 작용한다.

α는 x³ + x + 1의² 근원이기 때문에 α³ + α² + 1 = 0을 의미하거나, 모든 계수가 GF(2)에 있으므로 뺄셈은 덧셈과 동일하다는 것을 상기하면 α³ = α² + 1을 얻는다.

지수적 표현에서 다항식 표현으로의 변환은 다음을 통해 제공된다.

${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle \cHB$^{3$}=\cHB ^{2}+1}($위 그림 참조)

${\displaystyle \cHB \cHB ^4}=\cHB = (\cHB ^{2}+1)\cHB =\cHB ^{3}+\cHB =\i1}$

${\displaystyle \cHB \cHB ^5}=\cHB = (\cHB ^{2}+\cHB +1)\cHB =\i1\cHB ^{2}+1+\i1\i1}$

${\displaystyle \cHB ^{6}=\cHB ^{5}\cHB = (\cHB +1)\cHB =\cHB ^{2}+\cHB }$

Zech 로그를 사용하여 α⁶ + α³ 계산:

${\displaystyle \alpha ^{6}+\alpha ^{3}=\alpha ^{6+Z(-3)}=\alpha ^{6+Z(4)}=\alpha ^{6+6}=\alpha ^{12}=\alpha ^{5}}$,

아니면, 더 효율적으로

${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{Z}}^{}{}^{}}$( ${\displaystyle 3^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 2^{}{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$

다항식 표현으로 검증:

${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle \alpha }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle ({\alpha \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$+ ${\displaystyle 1}$ =${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$i1$}=\i1}=\i1$

참고 항목

• 가우스 로그
• Percy Ludgate가 경험적으로 도출한 유사한 기술인 Irish logarithm
• 유한장산술
• 로그 테이블

참조

추가 읽기

• Fletcher, Alan; Miller, Jeffrey Charles Percy; Rosenhead, Louis (1946) [1943]. An Index of Mathematical Tables (1 ed.). Blackwell Scientific Publications Ltd., Oxford / McGraw-Hill, New York.
• Conway, John Horton (1968). Churchhouse, Robert F.; Herz, J.-C. (eds.). "A tabulation of some information concerning finite fields". Computers in Mathematical Research. Amsterdam: North-Holland Publishing Company: 37–50. MR 0237467.
• Lam, Clement Wing Hong; McKay, John K. S. (1973-11-01). "Algorithm 469: Arithmetic over a finite field [A1]". Communications of the ACM. Collected Algorithms of the ACM (CALGO). Association for Computing Machinery (ACM). 16 (11): 699. doi:10.1145/355611.362544. ISSN 0001-0782. S2CID 62794130. toms/469. [1] [2] [3]
• Kühn, Klaus (2008). "C. F. Gauß und die Logarithmen" (PDF) (in German). Alling-Biburg, Germany. Archived (PDF) from the original on 2018-07-14. Retrieved 2018-07-14.