어쿠스틱 스트리밍

음향 스트리밍은 고진폭 음향 진동의 흡수에 의해 구동되는 유체에서 일정한 흐름이다.이 현상은 소리 방출기 근처에서 또는 쿤트의 관 안에서 서 있는 파도에서 관찰할 수 있다.어쿠스틱 스트리밍은 1884년 레일리 경에 의해 처음 설명되었다.^[1]그것은 흐름에 의한 소리 발생의 반대편에 대해 덜 알려져 있다.

음이 그 전파 매체에 흡수되는 상황은 두 가지다.

• 대량 흐름으로 전파하는 동안('Eckart streaming')^[2]감쇠 계수는 스톡스의 법칙(음향 감쇠)에 이어$$$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle (3}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \alpha =2\eta \omega ^{2}/(3\rho$ c$^{3})}$이다.이 효과는 상승된 주파수에서 더 강렬하며 공기에서 ${\displaystyle {\mathrm{훨씬}}^{}}$ 더 크다(1MHz에서 특성 거리 $\alpha {\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$10 cm에서 감쇠가 발생하는 경우) 물에서(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$m)공중에서는 쿼츠 바람으로 알려져 있다.
• 경계 부근('Rayleigh streaming')소리가 경계에 도달했을 때 또는 경계가 정지 매체에서 진동하고 있을 때.^[3]자체와 평행하게 진동하는 벽은 스톡스 진동 경계층 내에서 감쇠된 진폭의 전단파를 생성한다.이 효과는 1 MHz에서 공기와 물 모두에서 크기가 몇 마이크로미터인 특성$$ 크기 $\Delta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \eta }$/${\displaystyle }$(${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 감쇠 길이에 국소화된다.음파와 마이크로 버블, 탄성 폴리머,^[4] 심지어 생물학적^[5] 세포의 상호작용에 의해 발생하는 스트리밍 흐름은 경계 중심의 음향 스트리밍의 예다.

레일리 스트리밍

Consider a plane standing sound wave that corresponds to the velocity field ${\displaystyle U(x,t)=v_{0}\cos kx\cos \omega t=\varepsilon \cos kx\Re (e^{-i\omega t})}$ where ${\displaystyle k=2\pi /\lambda =\omega /c}$. Let the characteris문제의 tic(치수) 치수는 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$이다$.$방금 설명한 흐름 필드는 비논리적인 흐름과 일치한다.However viscous effects will be important close to a solid wall; there then exists a boundary layer of thickness or, penetration depth ${\displaystyle \delta =(2\nu /\omega )^{1/2}}$. Rayleigh streaming is best visualized in the approximation ${\displaystyle \lambda \gg l\gg \delta .}$ As in $$${\displaystyle U}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle U(x,t$ 속도 성분$({\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$) ${\displaystyle(u,v)}$은 c ${\displaystyle c}$보다 훨씬 작다$.$ 게다가 경계층 내의 특성 시간 척도는 ($\Delta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \delta$와 비교하여 매우 크다.${\displaystyle /}$ c $[\displaystyle l/c$이러한 관측은 경계 층의 흐름이 압축할 수 없는 것으로 간주될 수 있음을 암시한다.

불안정하고 압축할 수 없는 경계층-층 방정식이다.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial t}}}$

여기서 오른쪽 측면 용어는 경계 층에 부과되는 압력 경사에 해당한다.The problem can be solved using the stream function ${\displaystyle \psi }$ that satisfies ${\displaystyle u=\partial \psi /\partial y}$ and ${\displaystyle v=-\partial \psi /\partial x.}$ Since by definition, velocity field ${\displaystyle U}$ in the sound wave is very small, we canformally obtain the solution for the boundary layer equation by introducing the asymptotic series for ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ as ${\displaystyle u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon ^{2}u_{2}+\cdots }$, ${\displaystyle \psi =\varepsilon \psi$$_{1}+\varepsilon ^{2}\reason _{2}\cdots$ } 등$$$.$

첫 번째 근사치에서, 사람은 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}:{\partial t}-\nu {\frac {{2}u_{1}{\partial y^{2}}=-\omega \cos kx\Re(i^{-i\omega t})}$

벽 $y{\displaystyle }$ /${\displaystyle \Delta }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y/\delta =0}$에서 미끄럼 방지 조건을 충족하고$$ $y{\displaystyle }$ /${\displaystyle \Delta }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty}$로 $U{\displaystyle }$ ${\displaystytime U}$에 접근하는 솔루션은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle u_{1}=\re \cos kx\,(1-e^{-\\appa y}),\e^{-i\i\omega t}\,\quad \psi_{1}=\re \left[\cos kx\,\zeta _{1(y)\,e^{-i\i\}\i\i\}\i\i\}\}$

여기서$$ ${\displaystyle \mathrm{\kappa }}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \kappa =(1-i)/\$${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}_{}}$\cappa $}$ 및 ) 1 = $y{\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ - e - e -${\displaystyle {-}^{}}$ y / ${\displaystyle \kappa .{}^{}}${\displaysty $\jeta _{1}=y+e^{-\cappa$ y$}/\$cappa y}/\$capa.}}}}$

다음 순서의 방정식은

${\displaystyle {\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}-u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-v_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}.}$

Since each term on the right-hand side is quadratic, it will result in terms with frequencies ${\displaystyle \omega +\omega =2\omega }$ and ${\displaystyle \omega -\omega =0.}$ The ${\displaystyle \omega =0}$ terms correspond to time independent forcing for ${\displaystyle u_{2}}$. Let us 이 시간 독립적인 부분에만 해당하는 솔루션을 찾는다.${\displaystyle {\psi \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \mathrm{2k}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \zeta {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$/ c ${\displaystyle \psi _{2}=\sin 2kx\,\zeta _{2}(y)/c}$로 이어지고$,$ 여기서$$ $\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 방정식을^[6] 만족한다$$.

${\displaystyle 2\delta \zeta _{2}'=1- \zeta _{1} ^{1}+\Re(\zeta _{1}\zeta _{1}")}$

여기서 prime은 $y{\displaystyle }$. ${\displaystyle y.}$에 대한 분화를 의미한다.$$ 벽의 경계조건은 $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}}$ ( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$$\zeta (0)=\zeta '(0)=0$.$}$ $y$ /${\displaystyle \Delta }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ y$/\delta \rightarrow \infit },$$\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 유한해야 한다$$.위의 방정식을 두 번 통합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle 8\zeta _{2}'=3-e^{-y/\cHB }[1-8\sin y/\csn -2\cos y/\cos y/\cos y/\cos y/\cos y/\csin y/\csnt;(\cos y/\cos)]).}$

As ${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty }$, ${\displaystyle \zeta '(\infty )=3/8}$ leading to the result that ${\displaystyle v_{2}(x,\infty ,t)=(3/8c)\sin 2kx.}$$$ 따라서 경계 가장자리에는 진동 운동 위에 일정한 유체 운동이 중첩되어 있다.이 속도 강제력은 경계층 바깥으로 꾸준한 스트리밍 운동을 몰고 갈 것이다.${\displaystyle {흥미}_{}}$로운 결과는 v $2{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle v_{2}(\fty )}$이(가) $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$과(와) 독립적이기$$ 때문에 경계층 밖에서 일어나는 꾸준한 스트리밍 동작도 점성과는 무관하다는 것이다$.$

외부 스테디 스트리밍 압축 불가 동작은 문제의 기하학적 구조에 따라 달라질 것이다.$y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y=0}$ 및$$ $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2시간}}$ ${\displaystyle$ y$=2h$에 두 개의 벽이 있는 경우 해결책은

${\displaystyle \ch^ \{2}={\frac {3}{16c}\sin 2kx\,[-(y-h)+(y-h)^{3}/h^{2}]}$

그림에서와 같이 주기적인 대향상 변수의 배열과 일치한다.

원점: 유체의 음향 흡수로 인한 신체 힘

음향 스트리밍은 비선형 효과다.^[7] 진동 부분과 일정한 부분 u${\displaystyle }$= ${\displaystyle v}$+ $```{\$로 속도장을 분해할 수 있다$.$진동 부분 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은 소리에 기인하는$$ 반면, 안정된 부분은 음향 스트리밍 속도(평균 속도)이다.더 나비에–스토크 방정식은 음향 스트리밍 속도를 의미한다.

${\displaystyle {\overline {\rho }}{\partial _{t}{\overline {u}}_{i}}+{\overline {\rho }}{\overline {u}}_{j}{\partial _{j}{\overline {u}}_{i}}=-{\partial {\overline {p}}_{i}}+\eta {\partial _{j}^{2}{\overline {u}}_{i}}-{\partial _{j}}({\overline {\rho v_{i}v_{j}}}/{\partial x_{j}}).}$

꾸준한 스트리밍은 오른손에 나타나는 일정한$$ 신체 힘 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= -${\displaystyle \partial \mathrm{}}$(${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ i ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{j_{}}\text{'}\text{'})}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서 비롯된다.이 힘은 레이놀즈가 난류에서 강조하는 것으로 알려진 것의 함수다 -${\displaystyle \rho \stackrel{}{}}$ v ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ $'{\$레이놀즈 스트레스는 소리 진동의 진폭에 따라 달라지며, 체력은 이 소리 진폭에서 감소되는 정도를 반영한다.

우리는 이 응력이 속도 진폭에서 비선형(이중치)임을 안다.속도 진폭이 다양한 경우에만 비반사적이다.If the velocity of the fluid oscillates because of sound as ${\displaystyle \epsilon \cos(\omega t)}$, the quadratic non-linearity generates a steady force proportional to ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {\epsilon ^{2}\cos ^{2}(\omega t)}}=\epsilon ^{2}/2$$}$.

음향 스트리밍 속도의 크기 순서

점성이 음향 스트리밍을 담당한다 하더라도 근경계 음향 스팀 발생 시 발생하는 스트리밍 속도에서 점도의 값이 사라진다.

스트리밍 속도의 크기는 다음과 같다.^[8]

• 경계 근처(경계층의 위치):

${\displaystyle U\sim -{3}/{(4\omega )}\time v_{0}dv_{0}/dx,}$

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 사용하여 벽 경계를 따라$$ 소음$$ 진동 속도 $및{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$을(를) 수행하십시오.이 흐름은 감소하는 소리 진동(진동 노드)을 지향한다.

• 남은 반지름면서, 떨리고 있는 bubble[9]근처의 반경 상대 진폭 ϵ와 같이 δ r/{\displaystyle \epsilon =\delta r/a}(,)는 속죄 ⁡(ω지 ϵ){\displaystyle r=\epsilon a\sin(\omega지)}), 대량의 중심은 또한 주기적으로 상대적 진폭 ϵ ′)δ과 x/{\displaystyle \eps으로 고동 치다.ilo$n{\displaystyle }$ $'=\displaystyle x/$$a{\displaystyle \}(}$또는 x = ${\displaystyle {}^{}\omega }$ ω)${\displaystyle }$죄${\displaystyle \omega }$ (Ω t${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle$ x$=\epsilon 'a\sin(\omega t/\phi )},$ 위상 편이 {\$displaysty \phi }).$

$\displaystyle \displaystyle U\sim \엡실론 \epsilon 'a\omega \sin \phi }$

• 벽^[10] $U{\displaystyle }$ ~${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P}$/ (${\displaystyle \mu }$ c${\displaystyle }$) ${\displaystyle U\sim \alpha$ P$/(\pi \mu c)}$ 흐름의 원점에서 멀리$$ 떨어져 있음$($ {\$displaystyle P}$의 음향$$ 출력, $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$의 동적$$ 점도 $및{\displaystyle }$ c ${\displaystystyte$ c$}).$흐름의 원점에서 더 가까워지면 속도는 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 뿌리로 척도가 조정된다$.$

• 생물종, 예를 들어, 들러붙는 세포도 음향파에 노출되었을 때 음향 스트리밍 흐름을 나타낼 수 있다는 것이 밝혀졌다.표면에 부착된 셀은 표면에서 분리되지 않고 mm/s의 순서로 음향 스트리밍 흐름을 생성할 수 있다.^[11]

참조