아이저맨의 추측

비선형 제어에서 Aizerman의 추측 또는 Aizerman 문제는 선형 시스템이 섹터의 선형 이득에 대해 안정적이면 섹터 비선형성을 가진 피드백의 선형 시스템이 안정적일 것이라고 말한다.이 추측은 거짓으로 증명되었지만 절대 안정성에 대한 충분한 (유효한) 기준을 이끌어냈다.

아이저맨의 추측에 대한 수학적 진술 (아이저맨 문제)

하나의 스칼라 비선형성을 갖는 시스템 고려

${\dplaystyle {\frac {dx}{dt}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in \mathb {R}^{n}}}}$

여기서 P는 상수 n×n-매트릭스, q, r은 상수 n차원 벡터, ∗은 전이, f(e)는 스칼라 함수, f(0)=0이다. 비선형성 f가 섹터 경계로 되어 있다고 가정해 보자. , k 2{\$displaystyle k_{1}{$$1}{$2}}: 실제 ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle k_$${1$$}{1$}}에 대해$f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle f}$ 함수를 만족한다고 가정하자.

${\displaystyle k_{1}<{\frac {f(e)}{e}{e}}}<k_{2},\froll \e\neq 0.}$

그렇다면, f(e)=ke, k(k1,k2)를 가진 모든 선형 시스템이 점증적으로 안정되어 있다면, 시스템이 대규모로 안정되어 있다는 것이 아이저맨의 추측이다.

비선형성이 선형 안정성 부문에 속하고 안정적 주기적 솔루션인 숨겨진 진동과 독특한 안정적 평형이 공존한다는 아이저먼의 추측에는 여러 가지 예들이 있다.^[1][2][3][4]

아이저맨의 추측의 강화는 Kalman의 추측(또는 Kalman 문제)으로, 비선형성에 관한 조건 대신에 비선형성의 파생상품이 선형 안정성 섹터에 속해야 한다.

참조

추가 읽기

• Atherton, D.P.; Siouris, G.M. (1977). "Nonlinear Control Engineering". IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 7 (7): 567–568. doi:10.1109/TSMC.1977.4309773.

외부 링크

• "Counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures and describing function method" (PDF).