칼만의 추측

Kalman의 추측 또는 Kalman 문제는 하나의 스칼라 비선형성을 갖는 비선형 제어 시스템의 절대 안정성에 대한 반증된 추측이며, 이는 선형 안정성 부문에 속한다.칼만의 추측은 아이저만의 추측을 강화한 것으로 마쿠스-야마베 추측의 특수한 경우다.이 추측은 거짓으로 증명되었지만 절대 안정성에 대한 충분한 (유효한) 기준을 이끌어냈다.

칼만의 추측에 대한 수학적 진술 (칼만 문제)

1957년 R. E. Kalman은 그의 논문에서 다음과 같이 말했다.

그림 1의 f(e)가 f'(e)의 모든 가능한 값에 해당하는 상수 K로 대체되고 그러한 모든 K에 대해 폐쇄 루프 시스템이 안정적이라는 것이 확인되면 시스템이 모노스트 가능해야 한다는 것을 직감적으로 명백하다. 즉, 모든 과도 용액은 고유하고 안정적인 임계점으로 수렴될 것이다.

칼만의 진술은 다음과 같은 추측으로 재구성할 수 있다.^[2]

하나의 스칼라 비선형성을 갖는 시스템 고려

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in R^{n}}}$

여기서 P는 상수 n×n 행렬, q, r은 상수 n차원 벡터, ∗은 전위 연산, f(e)는 스칼라 함수, f(0) = 0. f(e)는 상이한 함수로서 다음과 같은 조건이라고 가정한다.

${\displaystyle k_{1}<f'(e)<k_{2}.\,}$

유효하다.그렇다면 kalman의 추측으로는 f(e) = ke, k ((k₁, k₂)을 가진 모든 선형 시스템이 점증적으로 안정되어 있는 경우, 시스템이 대규모에서 안정되어 있다는 것이다(즉, 고유한 정지 지점은 글로벌 유치점이다).

비선형성 파생상품에 대한 조건 대신 아이저맨의 추측에서 비선형성 자체는 선형 섹터에 속해야 한다.

Kalman의 추측은 n for 3에 대해 사실이고, n > 3에 대해서는 counterrexample의 구축에 효과적인 방법이 있다:^[3][4] 비선형성 파생상품은 선형 안정성 부문에 속하며, 고유한 안정적 평형이 안정된 주기적 용액(숨은 진동)과 공존한다.

이산 시간에는 kalman 추측이 n=1, n 2 2에 대한 counterrexamp를 구성할 수 있다.^[5][6]

참조

추가 읽기

• Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. (2011). "Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems" (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 18 (1): 2494–2505. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315.

외부 링크

• Aizerman 및 Kalman의 추측에 대한 백배수 내 숨겨진 진동에 대한 해석적 수치적 국산화
• Maplecloud의 이산시간 counterexample