알렉산드로프 플랭크

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수학의 한 영역인 위상에서의 알렉산드로프 플랭크는 교훈적인 예로서 기능하는 위상학적 공간이다.

정의

The construction of the Alexandroff plank starts by defining the topological space ${\displaystyle (X,\tau )}$ to be the Cartesian product of ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ and ${\displaystyle [-1,1]}$, where ${\displaystyle \omega _{1}}$ is the first uncountable ordinal, and 둘 다 구간 위상이다. $토폴로지{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \tau }$은(는) $토폴로지{\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle \sigma$}(으)로 확장됨$$

${\displaystyle U(\alpha ,n)=\{p\}\cup (\alpha ,\omega _{1}]\time (0,1/n)}$

여기서 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle ({\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}0}$ )${\displaystyle }$X ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=(\omega _{1},0)\in$ X$\}.$

알렉산드로프 판자는 위상학적 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle$ ($X,\sigma )}$이다$.$

그것은 두 공간의 생산물의 하위공간에서 만들어졌기 때문에 플랭크라고 불린다.

특성.

공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle (X,\sigma )}$은(는) 다음을 만족한다$$.

1. Uryson이다, 왜냐하면${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) 정규이기 때문이다. 이후 C){(α, 0)∣ α<>ω 1}{\displaystyle C=\{(\alpha ,0)\mid \alpha<>\omega_{1}\}}은 닫힌 집합(ω 1,0){\displaystyle(\omega_{1},0)}을 포함하지 않는 동안 C의 모든 이웃{C\displaystyle}을 모든 neighb 우주(X, σ){\displaystyle(X,\sigma)}, 일정치 않다.ourho$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}0}$) ${\displaystyle(\omega _{1},0)$의$$od.
2. 위상 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$의 각 기본 사각형은 정기적인 개방형$$ 집합이므로 위상이 확장된 위에 정의된$$ $U{\displaystyle (\alpha }$, n$){\displaystyle U(\alpha ,n)}$ 세트도 동일하므로 반정형이다.
3. 집합${\displaystyle }${ (${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$1, -${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle \{{(\omega _{1},-1/n)\mid n=2,3,\ldots$\}}에는 상한점이 없으므로$$, 계산적으로 컴팩트하지 않다.
4. is not metacompact, since if ${\displaystyle \{V_{\alpha }\}}$ is a covering of the ordinal space ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ with not point-finite refinement, then the covering ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ of ${\displaystyle X}$ defined by ${\displaystyle U_1=\{(0,{\omega }_1)}$${\displaystyle U_{1}=\{(0,\omega _{1})\}\cup ([0,\omega _{1}]\times (0,1])}$, ${\displaystyle U_{2}=[0,\omega _{1}]\times [-1,0)}$, and ${\displaystyle U_{\alpha }=V_{\alpha }\times [-1,1]}$ has not point-finite refinement.

참조

• Lynn Arthur Steen과 J. Arthur Seebach Jr. Counterrexamps in Topology. 1978년 뉴욕 스프링거-베를라크. 1995년 뉴욕 도버 출판사에서 재인쇄. ISBN0-486-68735-X(Dover Edition).
• S. 왓슨, 위상학적 공간의 건설. Escvier, 1992년 일반 위상에서의 최근 진전.