집합 대수

수학에서 집합의 대수학 구조와 혼동하지 않기 위해 집합의 대수학에서는 집합의 특성과 법칙, 조합, 교차로, 보약의 집합-이론 연산 및 집합 평등과 집합 포용의 관계를 규정한다.또한 이러한 연산 및 관계를 포함하는 표현을 평가하고 계산을 수행하기 위한 체계적인 절차를 제공한다.null

설정-이론 연산 하에서 닫힌 집합은 결합 연산자, 만남 연산자는 교차로, 보완 연산자는 교차로, 하단은 $\varnothing {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varnothing},$ 상단은$$ 고려 중인 우주로 부울 대수를 형성한다.null

기초

집합 대수학은 숫자 대수학의 설정-이론적 아날로그다.산술적 덧셈과 곱셈이 연상적이고 교호작용인 것처럼, 조합과 교차로도 설정되고, 산술적 관계인 "미만 또는 같음"이 반사적이고, 대칭성이 없고, 전이성이 있는 것처럼, "subset"의 설정 관계도 설정된다.null

조합, 교차로 및 보속의 설정이론적 운영과 평등과 포용의 관계에 대한 대수다.세트에 대한 기본적인 소개를 위해서는 세트에 관한 기사를 보고, 더 완전한 설명을 위해서는 순진한 세트 이론을 보고, 완전히 엄격한 자명적인 처리를 위해서는 자명 세트 이론을 보라.null

집합대수의 기초적 특성

세트 유니언${\displaystyle }$set$$union, \$displaystyle$$cup }$ )과 교차점$({\displaystyle \cap$ $\})$의 이진 연산은 많은 정체성을 만족시킨다.이러한 신분이나 "법령"들 중 몇몇은 잘 확립된 이름을 가지고 있다.null

상호 교환 특성:

• $B=B=B\컵 A}$
• $B=B=B\cap A}$

연관 속성:

• $[\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• $[\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

분배 속성:

• $[\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• $[\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

집합의 조합과 교차점은 숫자의 덧셈과 곱셈과 유사하다고 볼 수 있다.덧셈과 곱셈처럼, 조합과 교차로 운영은 조합과 연관성이 있으며, 교차로도 조합에 의해 분배된다.그러나, 덧셈과 곱셈과는 달리, 조합은 또한 교차로에 분포한다.null

두 쌍의 추가 속성 쌍은 빈 세트 ø와 우주 세트 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$라고 불리는 특수 세트를 포함하며$,$ 보완 연산자(${\displaystyle A^{}}$ ${\$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 보완을 의미한다$.$ 이것은 $A{\displaystyle {}^{}}$′ ${\$, A prime 라고도 쓸 수 있다.빈 집합은 멤버가 없고, 우주 집합은 (특정 맥락에서) 가능한 모든 멤버를 가지고 있다.null

ID:

• $\displaystyle A\cup \varnothy =A}$
• $A\cap U=A}$

보완:

• $(\displaystyle A\컵 A^{C}=U}$
• ${\displaystyle A\cap A^{C}=\varnothing }$

식별표현(교감표현과 함께)은 덧셈과 곱셈의 경우 0과 1과 마찬가지로 ø와 U가 각각 결합과 교차점의 식별 요소라고 한다.null

덧셈과 곱셈과 달리 결합과 교차점은 역원소가 없다.그러나 보완법칙은 세트보완의 다소 반비례적인 단항연산의 근본적 특성을 부여한다.null

앞의 5쌍의 공식은 집합의 대수학에서 모든 유효한 명제를 도출할 수 있다는 점에서 집합 대수학 전체를 포괄한다.null

보충 공식이 규칙$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}{}^{}}$) ${\displaystyle C^{}}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A^{C}}^{C}=A$으로 약해진 경우, 이것이 정확히 명제 선형 논리의^{[clarification needed]} 대수라는 점에 유의한다.null

이중성의 원리

위에 언급된 각각의 정체성은 ∪과 ∩을 서로 바꾸어 각각 다른 한 쌍의 정체성 중 하나이며, 또한 transformed과 u을 서로 바꾸어 놓을 수 있다.

이것들은 집합 대수학의 극히 중요하고 강력한 속성, 즉 집합에 대한 이중성의 원리의 예로서 집합에 대한 모든 참된 진술에 대해 조합과 교차점, U와 ø의 교대 및 역포함수를 통해 얻은 이중 진술도 사실이라고 주장한다.성명서는 자신의 이중과 같다면 자기 이중이라고 한다.null

노조 및 교차로에 대한 일부 추가 법률

다음의 명제는 조합과 교차점을 포함하는 정해진 대수학의 6가지 더 중요한 법칙을 명시한다.null

발의안 제3호: 우주 집합 U의 하위 집합 A와 B에 대해 다음과 같은 정체성은 다음을 지탱한다.

전자적 증거 법률:

• $A=A}$
• $A=A}$

지배법칙:

• $A컵 U=U}$
• $\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$

흡수 법칙:

• $A\cap(A\cap B)=A}$
• $(A\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$

위에서 언급한 바와 같이, 발의안 제3호에 명시된 각 법률은 위에 언급된 5가지 기본 쌍의 법률에서 도출될 수 있다.예를 들면, 노동조합에 관한 특례법에 대한 증거가 아래에 제시되어 있다.null

증명:

$A컵 A}$	$[\displaystyle = (A\컵 A)\cap U}$	교차로 식별법에 의해.
	${\displaystyle = (A\컵 A)\cap (A\컵 A^{C})}$	조합보완법에 의하여.
	${\displaystyle =A\cup(A\cap A^{C})}$	교차로에 걸친 조합의 분배법에 의해.
	$\displaystyle =A\cup \varnothing }$	교차로보완법에 의하여.
	$(\displaystyle =A}$	노동조합의 신분법에 의하여.

다음의 증거는 위의 증거의 이중성이 결합을 위한 idempotent 법, 즉 교차로에 대한 idempotent 법이라는 이중의 증거임을 보여준다.null

증명:

$A\cap A}$	$\displaystyle = (A\cap A)\컵 \varnothing }$	노동조합의 신분법에 의하여.
	${\displaystyle = (A\cap A)\cup (A\cap A^{C})}$	교차로보완법에 의하여.
	${\displaystyle =A\cap(A\cup A^{C})}$	조합에 대한 교차점의 분배 법칙에 의해.
	$A\cap U}$	조합보완법에 의하여.
	$(\displaystyle =A}$	교차로 식별법에 의해.

교차는 설정 차이 단위로 표시할 수 있다.

$(A\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$

보완을 위한 일부 추가 법률

다음의 명제는 보완을 포함하는 5가지 더 중요한 집합 대수 법칙을 명시한다.null

발의안 제4호: A와 B를 우주 U의 하위 집합으로 하고, 그 다음:

드 모건의 법칙:

• $(A\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}}$
• $(A\cap B)^{C}=A^{C}\컵 B^{C}}}$

이중보완법 또는 비자발법:

• ${\displaystyle {(A^{C})}^{C}=A}$

우주 집합과 빈 집합의 법칙을 보완한다.

• ${\displaystyle \varnothing ^{C}=U}$
• ${\displaystyle U^{C}=\varnothing }$

이중보완법은 자기이중이라는 점에 주목하라.null

다음 명제 역시 자기이중적인 것으로서, 집합의 보완이 보완법을 만족시키는 유일한 집합이라고 한다.즉, 보완법은 보완법으로 특징지어진다.null

발의안 제5호: A와 B를 우주 U의 하위 집합으로 하고, 그 다음:

보완물의 고유성:

• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ B${\displaystyle }$= U ${\displaystyle$ A$\컵 B=U$ A${\displaystyle }$∩ ${\displaystyle B}$= ∅${\displaystyle A\cap B=\varnothy},$B${\displaystyle }$= ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$

포함 대수

다음 명제는 한 집합이 다른 집합의 하위 집합인 이항 관계인 포함은 부분적인 순서라고 말한다.null

발의안 제6: A, B 및 C가 설정된 경우, 다음을 보류한다.

반사율:

• $A\subseteq A}$

대칭:

• ${\displaystyle A}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\subseteq$ A$}($$A$ = ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B}$일 경우에만 해당됨

Transitivity:

• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{B<img\; alt="A\backslash subseteq\; B"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:6.606ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="165">}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\displaystyle B\subseteq C$인 경우 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\displaystyle A\subseteq C}$

다음 명제는 어떤 집합 S에 대해서도 포함에 의해 명령된 S의 동력 집합은 경계 격자이며, 따라서 위의 분배 및 보완 법칙과 함께 부울 대수라는 것을 보여준다.null

발의안 제7호: A, B 및 C가 집합 S의 부분 집합인 경우, 다음을 보류한다.

최소 요소와 최대 요소의 존재:

• $\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$

조인 존재:

• $A\subseteq A\컵 B}$
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{B<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; A\backslash subseteq\; C\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c52a0a9fb646e916904c85763d980be597191ad2"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:6.608ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="173">}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\displaystyle B\subseteq C$인 경우 ${\displaystyle A}$ ∪${\displaystyle }$B {${\displaystyle }$C ${\displaystyle A\cup$ B$\subseteq C}$

만남의 존재:

• $A\cap B\subseteq A}$
• $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C\subseteq A}$ 및$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \subseteq }$ B ${\displaystyle$ C$\subseteq B}$인 경우$,$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

$다음$의 명제는 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ B ${\displaystyle A\subseteq B}$이(가) 조합, 교차점 및 보완점을 포함하는 다양한 다른 진술과 동일하다고 말한다.null

발의안 제8호: A와 B 두 세트에 대해 다음 사항은 동일하다.

• $A\subseteq B}$
• $B=A}$
• $B=B}$
• $B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B^{C}\subseteq A^{C}}$

위의 명제는 세트포함 관계가 세트유니온 또는 세트교차로 운영으로 특징지어질 수 있다는 것을 보여주는데, 세트포함이라는 개념은 자명하게 과잉이라는 것을 의미한다.null

상대적 보완의 대수

다음 명제는 상대적 보완성과 이론적 차이점에 관한 몇 가지 정체성을 나열한다.null

발의안 제9호: 모든 우주 U와 U의 A, B, C 하위 집합에 대해 다음과 같은 정체성은 다음을 지탱한다.

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\컵(C\setminus B)}$
• $[\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$
• $C\setminus(B\setminus A)=(A\cap C)\컵(C\setminus B)}$
• $[\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap(C\setminus A)}$
• $[\displaystyle (B\setminus A)\컵 C=(B\컵 C)\setminus (A\setminus C)}$
• $[\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\컵 C)}$
• $A=\varnothy }$
• ${\displaystyle \varnoth \setminus A=\varnothy}$
• $\displaystyle A\setminus \varnoth =A}$
• $A=A^{C}\cap B}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)^{C}=A\컵 B^{C}}$
• $[\displaystyle U\setminus A=A^{C}}}$
• $(\displaystyle A\setminus U=\varnothing }$

참고 항목

• σ-algebra는 집합의 대수로서, 셀 수 없이 무한 연산을 포함하도록 완성된다.
• 자명 집합론
• 이미지(수학)#속성
• 세트 필드
• 설정된 ID 및 관계 목록
• 순진한 집합론
• 설정(수학)
• 위상학적 공간 - 임의의 조합, 유한 교차점 $및{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{}}$closed ${\displaystyle$ X$}$을(를) $포함$하는 X ${\displaystyle X$의 전원 집합인$$$\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (X}$)$${\$displaystyle$$\wp$$$($X$$)}$의 부분 집합$.$

참조

• Stoll, Robert R.;뉴욕 마이놀라, 마이놀라, 세트의 이론과 논리:도버 출판물(1979) ISBN0-486-63829-4."세트 대수", 페이지 16-23.
• 커런트, 리처드, 허버트 로빈스, 이안 스튜어트, 수학이 뭐지? 아이디어와 방법에 대한 기초적 접근, 옥스포드 대학 출판부 US, 1996.ISBN 978-0-19-510519-3."제2장 세트의 대수"에 대한 보충판.

외부 링크

• ProvenMath에서 세트 작업