대수원소

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수학에서 L이 K의 자기장 확장인 경우, L의 원소 a는 K보다 대수적 원소 또는 단지 K보다 대수적 원소라고 하며, g(a) = 0처럼 K에 계수가 있는 일부 비 영의 다항식 g(x)가 존재한다면 K보다 대수적 원소가 아닌 L의 원소는 K보다 초월적이라고 한다.

이러한 개념은 대수적 숫자와 초월적 숫자(장 확장이 C/Q인 경우, C는 복잡한 숫자의 필드, Q는 합리적인 숫자의 필드)를 일반화한다.null

예

• 2의 제곱근은 다항식 g(x) = x² - 2의 루트로서 계수가 합리적이기 때문에 Q보다 대수적이다.
• Pi는 Q보다 초월적이지만 실수 R의 분야에서는 대수학: g(x) = x - π의 뿌리로서 계수(1과 -ii)는 둘 다 실재하지만 합리적 계수만을 가진 어떤 다항식의 뿌리도 아니다.(초월수라는 용어의 정의는 C/R이 아닌 C/Q를 사용한다.)

특성.

$다음{\displaystyle }$ 조건은 L ${\displaystyle L}$의 a ${\displaystyle a}$ 요소에 대해 동일하다$.$

• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$은(는) $K{\displaystyle }${\$displaystyle K}$에 대해 대수학이다$.$
• the field extension ${\displaystyle K(a)/K}$ is algebraic, i.e. every element of ${\displaystyle K(a)}$ is algebraic over ${\displaystyle K}$ (here ${\displaystyle K(a)}$ denotes the smallest subfield of ${\displaystyle L}$ containing ${\displaystyle K}$ and ${\displayst$$yle a}$ $$),
• 필드 확장자 ${\displaystyle K}$(${\displaystyle }$a${\displaystyle }$) / K$${\$displaystyle K(a)/K}$은${\displaystyle (}$는$)$ 유한한 정도를 가지고$$ 있다. 즉$,$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -벡터$$ 공간은 $유한$하다.
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$, where ${\displaystyle K[a]}$ is the set of all elements of ${\displaystyle L}$ that can be written in the form ${\displaystyle g(a)}$ with a polynomial ${\displaystyle g}$ whose coefficients lie in ${\displaystyle K}$.

이를 보다 명확히 하기 위해 다항식 평가 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a{}_{}}$: K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle K}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varipsilon _{a:$$K[X]\오른쪽$ 화살표 $K(a),\,P\mapsto P(a$This is a homomorphism and its kernel is ${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$. If ${\displaystyle a}$ is algebraic, this ideal contains non-zero polynomials, but as ${\displaystyle K[X]}$ is a euclidean domain, it contains a unique polynomial ${\displaystyle p}$ with minimal de그리스 및 선행 계수 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1$ 그러면 이상도 생성되므로 수정할 수 없는 것이어야 한다.The polynomial ${\displaystyle p}$ is called the minimal polynomial of ${\displaystyle a}$ and it encodes many important properties of ${\displaystyle a}$. Hence the ring isomorphism ${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$ obtained by the homomorphism theorem is an isomorphism of fields, where we can then observe that ${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$. Otherwise, ${\displaystyle \varepsilon _{a}}$ is injective and hence we obtain a field isomorphism ${\displaystyle K(X)\rightarrow K(a)}$, where ${\displaystyle K(}$${\displaystyle X}$) ${\displaystyle K(X)}$은(는) $K{\displaystyle }$ [${\displaystyle X}$ $]$ {\$displaystyle$ K$[X$]}의 분수 분야$,$ 즉 분수 분야의 보편적 속성에 의한 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$의 합리적 함수 분야다.We can conclude that in any case, we find an isomorphism ${\displaystyle K(A)\cong K[X]/(p)}$ or ${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$. Investigating this construction yields the desired results.null

$이{\displaystyle }$ 특성화는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 대수 원소의 합계, 차이, 제품 및 지수를 $다시{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle K$}에 대해 대수라는$$ 것을 보여주는 데 사용할 수 있다$.$$${\$displaystyle$a}과 b$${\$displaysty b}$이(b$$$)$ 모두 대수적이라면${\displaystyle }$(${\displaystyle K}$ )${\displaysty)$는 핀이다$$.e. 앞에서 설명한 ${\displaystyle a}$과 b ${\displaystyle b}$의 조합을 포함하고 있으므로$,$ 그 중 하나를 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 연결하는 것도$$ 유한한 확장을 산출하며, 따라서 이러한 요소들도 대수학이다.따라서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대해 $대수학$인 $L${\$displaystyle$ L$}$의 모든 요소 $집합$은 L ${\displaystyle L}$과 $K{\displaystyle }${\$displaystyle K}$ 사이에 위치하는 필드다$.$

그 위에 어떤 대수적 요소도 허용하지 않는 분야(자체적 요소 제외)를 대수적으로 폐쇄된 분야라고 한다.복잡한 숫자의 분야가 그 예다.$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을(를) 대수적으로 닫으면 K ${\displaystyle K}$ 위에$$ 있는 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 대수적 요소 필드가 대수적으로 닫히고$$, 이는 위의 간단한 대수적 확장의 특성화를 사용하여 다시 직접 표시할 수 있다.이것에 대한 예는 대수적 숫자의 분야다.null

참고 항목

• 대수적 독립성

참조

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001