동종 다항식

수학에서, 오래된 텍스트에서 퀀텀이라고 불리기도 하는 동종 다항식은 0이 아닌 항이 모두 같은 학위를 갖는 다항식이다.^[1] 예를 들어 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ 3 ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ 9 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 4 ${\$ x$^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$는 두 변수에서 도 5의 동종 다항식이다$$. 각 항의 지수 합계는 항상 5이다. 다항 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$+ z ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$는 지수 합계가 항마다 일치하지 않기 때문에 동질적이지 않다$$. 다항식은 동종 함수를 정의하는 경우에만 동종이다.

대수적 형태 또는 단순 형태는 동종 다항식으로 정의되는 함수다.^[2] 이항 형태는 두 변수에 있는 형태다. 형태는 벡터 공간에 정의된 함수로서, 어떤 기준으로든 좌표의 균일한 함수로 표현될 수 있다.

도 0의 다항식은 항상 동질적이다. 단순히 계수의 필드나 링의 한 요소일 뿐이며, 보통 상수 또는 스칼라라고 부른다. 학위 1의 형태는 선형 형태다.^[3] 학위 2의 형태는 2차 형태다. 기하학에서 유클리드 거리는 2차 형태의 제곱근이다.

동종 다항식들은 수학이나 물리학에서 어디서나 볼 수 있다.^[4] 이들은 투영 대수 다양성이 동종 다항식 집합의 공통 0 집합으로 정의되기 때문에 대수 기하학에서 근본적인 역할을 한다.

특성.

동종 다항식은 동종 함수를 정의한다. 즉, 다변량 다항식 P가 d의 동질인 경우,

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n}=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n}}\}).$

P의 계수를 포함하는 모든 필드의$$ 모든 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}에 대해. 반대로 위의 관계가 무한히 많은 λ ${\displaystyle \lambda }$에 대해 참이라면 다항식은 d의 동질이다.

특히 P가 균일하면 그 다음이 된다.

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n}=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n}=0,}$

모든 $\lambda {\displaystyle }$. ${\displaystyle \lambda .}$ 이$$ 속성은 투사적 다양성의 정의에 기초한다.

0이 아닌 어떤 다항식도 다항식의 동질 성분이라고 하는 서로 다른 정도의 동질 다항식의 합으로 분해될 수 있다.

Given a polynomial ring ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ over a field (or, more generally, a ring) K, the homogeneous polynomials of degree d form a vector space (or a module), commonly denoted ${\displaystyle R_{d}.}$ The above unique decomposition means that ${\displaystyle R}$$$ $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$의 직접 합이다($$모든 음수가 아닌 정수에 대한 합).

벡터 공간(또는 자유 모듈) $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$ 스타일 $R_{d}}$의 치수는 n 변수(n 변수에서 동일한 다항 d에서 0이 아닌 항의 최대 수)의 서로 다른 단수다. 이항계수와 같다.

${\dplaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

동질 다항식은 동질 함수에 대한 오일러의 정체성을 만족시킨다. 즉, P가 ${\displaystyle {미결정\mathrm{}}_{}}$ x $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}$ 중 하나가 있는 경우, 계수의 정류 링,

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

여기서 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ i ${\$은 ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{i}}$에 대한 P의 공식 부분파생물을 나타낸다$$.$}$

균질화

비균형 다항식 P(x₁,...,x_n)는 추가 변수 x를₀ 도입하고 때로는 P:^[5]로 표기되는 동종 다항식을 정의함으로써 균질화될 수 있다.

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({x_{1}:{x_{0}}}},\dots,{\frac {x_{n}}}{x_{0}}}\오른쪽),}$

여기서 d는 P의 수준이다. 예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

그때

$디스플레이 스타일 ^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

동질화된 다항식은 추가 변수 x₀ = 1을 설정하여 탈동질화할 수 있다. 그것은

${\displaystyle P(x_{1},\dots,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots,x_{n}).}$

참고 항목

• 다종 다항식
• 준동질 다항식
• 대각형
• 등급대수학
• 힐버트 시리즈와 힐버트 다항식
• 다선형
• 다중선 지도
• 대수형식의 양극화
• 슈르 다항식
• 차동 연산자 기호

참조

외부 링크

• Wikimedia Commons의 동종 다항식
• Weisstein, Eric W. "Homogeneous Polynomial". MathWorld.