거의 모든 곳에서

간단한 측정은 직사각형의 하위 영역에 그것이 차지하는 기하학적 영역의 부분을 할당한다. 그러면 사각형의 경계는 0으로, 내부는 1로 측정된다. 직사각형의 거의 모든 점이 내부 지점이지만, 내부에는 비어 있지 않은 보완점이 있다.

측도 이론(수학적 분석의 한 분야)에서, 기술적 의미에서는, 그 속성이 보유하는 집합이 거의 모든 가능성을 차지한다면, 속성은 거의 모든 곳에서 보유한다. "거의 거의 모든 곳"이라는 개념은 측정 제로 개념의 동반 개념이며, 확률론에서 거의 확실히라는 개념과 유사하다.

보다 구체적으로, 측정값 0의 부분 집합을 제외한 집합의 모든 요소를 보유하는 경우,^[1]^[2]^[3] 또는 해당 속성이 보유하는 요소 집합이 conull인 경우 동등하게 부동산은 거의 모든 곳에서 보유한다. 측정이 완료되지 않은 경우, 세트가 측정값 0의 집합 내에 포함되어야 한다. 실수의 집합에 대해 논의할 때, 르베그 측도는 달리 명시되지 않는 한 대개 가정된다.

이 용어는 거의 모든 곳에서 약칭으로 쓰인다.^[4] 즉, 오래된 문헌에서 p.p.는 프랑스어 구절과 동등한 part-out을 나타내기 위해 사용된다.^[5]

전체 치수를 가진 집합은 0 치수를 가진 집합이다. 확률론에서 용어들은 거의 확실하고 거의 확실하며 거의 항상 모든 결과를 포함하지 않는 확률 1을 가진 사건들을 가리킨다.^[1] 이것들은 정확히 확률공간의 완전한 측정들의 집합이다.

때때로, 부동산은 거의 모든 곳에서 보유한다고 말하는 대신, 거의 모든 요소를 보유한다고 한다(거의 모든 용어는 또한 다른 의미를 가질 수 있다).

정의

If $(X,\Sigma ,\mu )$ is a measure space, a property $P$ is said to hold almost everywhere in $X$ if there exists a set $N\in \Sigma$ with $\mu (N)=0$ , and all ${\displaystyle x\in X\setmi$ $nus N}$ 에는 $P$ $P$ 속성이 있다 $x\in X\setminus N$ $P$ ^[6] 같은 것을 표현하는 또 다른 일반적인 방법은 "거의 $P\,$ 점이 P ${\$ $displaystyle$ P $\,}"$ $P\,$ 또는 "거의 $모든$ $P(x)$ x {\ $displaystyle x$ $x)"$ 라고 말하는 것이다.

It is not required that the set $\{x\in X:\neg P(x)\}$ has measure 0; it may not belong to $\Sigma$ . By the above definition, it is sufficient that $\{x\in X:\neg P(x)\}$ be contained in some set $N$ that is meas소변을 볼 수 있고 측정값은 0이다.

특성.

속성 $P$ $P$ 이(가) 거의 모든 곳에서 유지되고 $P$ $속성$ Q{\ $displaystyle Q$ 을(를) 암시하는 경우 $속성$ Q{\ $displaystyle Q}$ 은(는) 거의 모든 곳에서 유지된다 $Q$ . 이것은 조치의 단조로움에서 비롯된다.
만일 $(P_{n})$ ( $(P_{n})$ ) $(P_{n})$ {\ $displaystyle (P_{n}})$ 이 $(P_{n})$ 유한하거나 계수 가능한 속성 시퀀스라면, 각각은 거의 모든 곳에 걸쳐 있으며, 이들의 접속사 $\forall nP_{n}$ $\forall nP_{n}$ {\ $displaystyle \forall nP_{n}}$ 는 거의 모든 곳에 걸쳐 $\forall nP_{n}$ 있다. 이것은 셀 수 있는 조치의 하위 추가성에서 비롯된다.
반대로 $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$ ( $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$ x ) $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$ $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$ ${\$ _{x} $_{x\in \mathbf{R}}}}}}}}}}}}}$ 이 $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$ (가) 거의 모든 곳에 있는 헤아릴 수 없는 속성 계열이라면, $\forall xP_{x}$ 의 접속사 $\forall xP_{x}$ $\forall xP_{x}$ ${\$ \ for $\x}$ 은 거의 모든 곳에 있는 것이 아니다 $\forall xP_{x}$ . For example, if $\mu$ is Lebesgue measure on $X=\mathbf {R}$ and $P_{x}$ is the property of not being equal to $x$ (i.e. $P_{x}(y)$ is true if and only if $y\neq x$ ), then each $P_{x}$ $P_{x}$ ${\$ 은(는) 거의 모든 곳을 지탱하지만 $P_{x}$ , $\forall xP_{x}$ $\forall xP_{x}$ $\forall xP_{x}$ ${\$ 은(는) 어느 곳에서도 지탱하지 $\forall xP_{x}$ 않는다.

처음 두 특성의 결과로서, 측정 공간의 「거의 거의 모든 점」을 추상화라기보다는 통상적인 점이었던 것처럼 추론하는 것이 가능한 경우가 많다.^{[citation needed]} 이것은 종종 비공식적인 수학 논쟁에서 암묵적으로 행해진다. 그러나 위의 세 번째 탄환 때문에 이러한 추론 방식에 주의해야 한다: 셀 수 없는 진술 가족에 대한 보편적 계량화는 보통 포인트에는 유효하지만 "거의 모든 포인트"에는 유효하지 않다.

예

f : R → R이 Lebesgue 통합기능이고 $f(x)\geq 0$ ( $f(x)\geq 0$ ) $f(x)\geq 0$ $f(x)\geq 0$ $f(x)\geq 0$ 이(가) 거의 $f(x)\geq 0$ 모든 곳에 있다면, 그러면
$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$
$a<b$ 실제 숫자에 $a<b$ $f(x)=0$ x $f(x)=0$ ) $f(x)=0$ = $f(x)=0$ $f(x)=0$ 인 $f(x)=0$ 경우에만 동일한 값이 있는 $a<b$ < b ${\displaystyle a<b>.$
f : [a, b] → R이 단조함수라면 f는 거의 모든 곳에서 차별화된다.
만약 f : R → R이 Lebesgue 측정가능하다면
$\int _{a}^{b}f(x) \,dx<\infully$

모든 실제 $a<b$ 에 $대해$ (f에 따라 $)$ 설정된 E가 존재하며, 만약 x가 E에 있다면, Lebesgue 평균이다.

${\frac {1}{2\epsilon }}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }f(t)\,dt$
$\epsilon$ $\epsilon$ 이 $\epsilon$ (가) 0으로 감소함에 따라 f(x)로 수렴된다. E 세트는 F의 Lebesgue 세트라고 불린다. 그것의 보완물은 측정치가 0이라는 것을 증명할 수 있다. 즉, f의 르베그(Lebesgue)의 의미는 거의 모든 곳에서 f로 수렴된다.
경계함수 f : [a, b] → R은 거의 모든 곳에서 지속되는 경우에만 Riemann 통합이 가능하다.
호기심으로 [0, 1] 구간의 거의 모든 실수의 십진 확장에는 셰익스피어 희곡의 전체 텍스트가 들어 있으며, ASCII로 부호화된다. 다른 모든 유한한 숫자 순서에 대해서도 마찬가지로 정상 수를 참조한다.