실내(토폴로지)

수학에서, 특히 위상에서, 위상학적 공간 X의 부분 집합 S의 내부는 X에서 열린 모든 S 하위 집합의 결합이다. S의 내부에 있는 점은 S의 내부점이다.

S의 내부는 S의 보완재 폐쇄의 보완재다. 이런 의미에서 내부와 폐쇄는 이중 개념이다.

세트 S의 외관은 S의 폐쇄를 보완하는 것으로, 세트나 그 경계선 안에 있지 않은 점들로 구성된다. 부분 집합의 내부, 경계 및 외부는 전체 공간을 세 개의 블록(또는 이들 블록 중 하나 이상이 비어 있는 경우 그 이하)으로 분할한다. 내·외부는 항상 열려 있는 반면 경계는 항상 닫혀 있다. 내부가 비어 있는 집합을 경계 집합이라고 한다.^[1]

정의들

인테리어 포인트

S가 유클리드 공간의 부분 집합인 경우, X는 S에 완전히 포함된 x를 중심으로 한 오픈 볼이 존재한다면 S의 내부 지점이다(이것은 이 글의 소개 절에 설명되어 있다).

이 정의는 미터법 d: x가 있는 미터법 공간 X의 하위 집합 S에 일반화되며, 거리 d(x, y) < r이 있을 때마다 y가 S에 있는 경우 S의 내부 지점이다.

이 정의는 "오픈 볼"을 "오픈 세트"로 대체하여 위상학적 공간을 일반화한다. S를 위상학적 공간 X의 하위 집합으로 하자. X가 S에 완전히 포함된 X의 열린 부분 집합에 포함된 경우 x는 S의 내부 지점이다(동등하게 S가 x의 인접 지역인 경우 x는 S의 내부 지점이다).

세트 내부

위상학적 공간 X의 부분집합 S의 내부는 Int S 또는 S°로 표시되며, 다음과 같은 동등한 방법으로 정의할 수 있다.

1. Int S는 (subset으로서) S에 포함된 X의 가장 큰 오픈 서브셋이다.
2. Int S는 S에 포함된 모든 개방형 X 집합의 조합이다.
3. It S는 S의 모든 내부 지점의 집합이다.

예

• 어느 공간이든 빈 세트의 내부는 빈 세트다.
• 어떤 공간 X에서, 만약 S ⊆ X , 그리고 S int S.
• X가 실제 숫자의 유클리드 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$인 경우 int([0, 1]) = (0, 1)
• X가 유클리드 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$인 경우 합리적인 $숫자$의$$Q {\$displaystyle \mathb$ {Q$}}$ 집합의 내부는 비어 있다.
• If X is the complex plane ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}}$, then ${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} : z \leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} : z <1\}.$$}$
• 어떤 유클리드 공간에서든 유한 집합의 내부는 빈 집합이다.

실제 숫자에 표준 토폴로지가 아닌 다른 토폴로지를 넣을 수 있다.

• X = $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $여기$서 R ${\$에 하한 토폴로지가 있으면$$ int([0, 1]) = [0, 1)이다.
• $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ 세트가 열려 있는 토폴로지를$$R ${\$에 대해 고려할 경우 int([0, 1]) = [0, 1].
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 $열린{\displaystyle \mathbb{}}$ 집합만 빈 집합과 R ${\$ 그 자체인$$ 토폴로지를 고려한다면 int([0, 1)는 빈 집합이다.

이러한 예는 집합의 내부가 기반 공간의 위상에 따라 달라진다는 것을 보여준다. 마지막 두 가지 예는 다음과 같은 특수한 경우다.

• 어떤 이산 공간에서도, 모든 세트가 열려 있기 때문에, 모든 세트는 그 내부와 동일하다.
• 어떤 불분명한 공간 X에서, 유일한 오픈 세트는 빈 세트와 X 그 자체이기 때문에, 우리는 X = 인트 X를 가지고 있고, X의 모든 적절한 서브셋 S에 대해 인트 S는 빈 세트다.

특성.

X를 위상학적 공간으로 하고 S와 T를 X의 부분집합으로 한다.

• Int S는 X로 개방되어 있다.
• 만약 T가 X에 열려 있다면 T ⊆ S 만약 그리고 T int Int S에만 열려 있다.
• Int S는 S가 서브 스페이스 토폴로지를 부여 받았을 때 S의 개방된 부분집합이다.
• S는 만약 S = int S인 경우에만 X의 개방된 부분집합이다.
• 집약적: Int S ⊆ S.
• 특이점: Int(Int S) = Int S.
• 이진 교차로에 걸쳐 보존/분산: Int (S ∩ T) = (Int S) ∩ (Int T)
• ⊆에 대한 모노톤/비감소: 만일 S t T이면 It S int Int T.

위의 문장은 기호/단어의 모든 예제가 사실인 경우 그대로 유지된다.

"interior", "Int", "open", "subset" 및 "최대"

에 의해 각각 교체되다

"closure", "Closure", "closure", "superset" 및 "smost"

다음 기호가 바뀜:

1. "⊆"와 "⊇"가 "⊇"로 교환됨
2. "∪"와 "∩"가 "∩"로 교환됨

이 문제에 대한 자세한 내용은 아래의 내부 운영자 또는 Kuratowski 폐쇄 공리 조항을 참조하십시오.

기타 속성에는 다음이 포함된다.

• X에서 S가 닫히고 Int T = ∅이면 Int (S ∪ T) = Int S.^[2]

인테리어 오퍼레이터

내부 운영자 ${\displaystyle {\mathrm{into}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 닫힘 운영자에 이중으로 표시되며$,$ 이 ${\displaystyle {운영자}_{}}$는 cl$${\$displaysty \operatorname {cl} _{$X}로 표시되거나$$ 오버라인으로 표시된다.

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$

그리고 또한

${\displaystyle {\overline{S}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

여기서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은${\displaystyle (}$는) $S{\displaystyle }$, {\$displaystyle$ S$,}$을(를) 포함하는 위상학적 공간이며, 백슬래시 ${\displaystyle \setminus }$ ${\$은(는) 설정-이론적 차이를 의미한다$$. 따라서 폐업자의 추상적인 이론과 쿠라토프스키 폐업 공리는 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$의 보완물로 세트를 대체함으로써 내부 운영자의 언어로 쉽게 번역할 수 있다.

일반적으로 인테리어 사업자는 노조와 함께 출퇴근하지 않는다. 그러나 완전한 메트릭스 공간에서는 다음 결과가 유지된다.

위의 결과는 모든 전체 메트릭스 공간은 Baire 공간이라는 것을 암시한다.

세트 외부

The (topological) exterior of a subset ${\displaystyle S}$ of a topological space ${\displaystyle X,}$ denoted by ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$ or simply ${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$ is the complement of the closure of ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S:=X\setminus \operatorname {cl} _{X}S}$

다음과 같이 내부적인 측면에서 동등하게 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S=\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)}$

또는 내부 ${\displaystyle {int}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$을(를) 설정된 동등성을 사용하여 외부 측면에서 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=\operatorname {ext} _{X}(X\setminus S).}$

이러한 내부와 외부와의 관계에 따라 외부 ${\displaystyle {\mathrm{엑스트라}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}${ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$의 많은 속성은 ${\displaystyle {내부}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{int}}_{}S}$ ${\displaysty \operatorname {int} _{X}S}$ 및$$ 기본 설정 ID의 속성에서 쉽게 추론할$$ 수 있다. 이러한 속성은 다음을 포함한다.

• ${\displaystyle {Ext}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$은(는) S$$. {\$displaystyle$ $S$$.}$과(와) 분리된 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 열린 하위 집합이다$$.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S\subseteq T}$인 경우 ${\displaystyle {\mathrm{Extend}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$⁡${\displaystyle {}_{}S}$ . {\$displaystyle \operatorname {ext}$ $_{X}T\subseteq \operatorname {ext} _{X}S$.$}$
• ${\displaystyle {Ext}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname$ {$ext} _{X}S$}는 $S{\displaystyle }$ .${\displaystyle S.}$과(와) 분리된 X$$ ${\displaystyle X}$의 모든 열린 하위 집합의 조합과 동일함$$
• ${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {ext}_{}S}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$은(는) $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S}$과(와) 분리된 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 가장 큰 열린 하위 집합과 동일함$$

Unlike the interior operator, ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}}$ is not idempotent, although it does have the property that ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S\subseteq \operatorname {ext} _{X}\left(\operatorname {ext} _{X}S\right).$$}$

내부 분리형

a와 b의 두 형태는 내부 교차점이 비어 있으면 내부 분리라고 한다. 내부 분리 형상은 경계에서 교차하거나 교차하지 않을 수 있다.

참고 항목

• 대수적 실내 – 위상적 실내의 일반화
• 경계(토폴로지)
• 마감(토폴로지)
• 외부(토폴로지) – 주어진 하위 집합의 "외부"인 가장 큰 열린 하위 집합.
• 실내 대수
• 조던 곡선 정리 – 면의 닫힌 곡선에 의해 두 영역으로 분할
• 준상대적 실내 – 대수적 실내의 일반화
• 상대적 실내 – 위상적 실내의 일반화

참조

참고 문헌 목록

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
• Császár, Ákos (1978). General topology. Translated by Császár, Klára. Bristol England: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
• Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• Joshi, K. D. (1983). Introduction to General Topology. New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schubert, Horst (1968). Topology. London: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
• Wilansky, Albert (17 October 2008) [1970]. Topology for Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

외부 링크

• PlanetMath의 내부.