분석조합학

분석 조합론은 복잡한 분석의 기법을 사용하여 함수를 생성하는 계수에 대한 점근적 추정치를 찾습니다.^[1][2][3]

역사

열거 문제에 대한 최초의 분석 기법의 사용은 1918년부터 시작된 정수 파티션에 대한 스리니바사 라마누잔과 G. H. 하디의 연구에서 비롯되었으며,^[4][5] 처음에는 타우베리안 정리를 사용하고 나중에는 원 방법을 사용했습니다.^[6]

월터 헤이먼(Walter Hayman)의 1956년 논문 스털링 공식의 일반화(Generalization of Stirling's Formula)는 안장점법의 초기 예 중 하나로 여겨집니다.^[7][8][9]

1990년 Philippe Flajolet와 Andrew Odlyzko는 특이점 분석 이론을 개발했습니다.^[10]

2009년에 Philippe Flajolet와 Robert Sedgewick은 Analytic Combinatorics라는 책을 썼습니다.

다변량 생성 함수에 대한 초기 연구 중 일부는 확률론적 방법을 사용하여 1970년대에 시작되었습니다.^[11][12]

추가적인 다변량 기법의 개발은 2000년대 초반에 시작되었습니다.^[13]

기술

형함수

$h{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z)}$ = ${\displaystyle f\frac{(}{}}$z) g( z) $displaystyle$ h(z)={\frac {f(z)}{g(z)}}}가 메로형 함수이고 {\displaystyle a}가 m차로 원점에 가장 가까운 극일 경우,

${\displaystyle [z^{n}]h(z)\sim {\frac {(-1)^{m}mf(a)}{a^{m}g^{(m)}(a)}}\left({\frac {1}{a}}\right)^{n}n^{m-1}\quad }$ as ${\displaystyle n\to \infty }$

타우베리안 정리

한다면

${\displaystyle f}$ (${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle 1\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}z}$ )$σ$ L ( 11$$ z ) ${\displaystyle f($z)\$sim {\frac$ {1$}{(1-z$gma$}}$L({\frac {1$}{$1-z${\displaystyle \mathrm{\}\})\backslash q}}$uad }를 z → 1 {\displaystyle z\to 1}로 함

여기서σ > 0 ${\displaystyle \sigma$>$}$이고 L ${\displaystyle$ L}은(는) 천천히 변하는 함수입니다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$] ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle z}$)${\displaystyle ~}$ ${\displaystyle n\frac{}{}\sigma }$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 1}$γ$$igma )$L$( $n ) {\displaystyle [z^{$n}]f (z)\$sim${\$frac {$igma $-1$}}{\$Gamm$${\displaystyle a}$ (\∞ $)}}$L(n)\quad }을$n →$ {\displaystyle n\to \infty }

하디-리틀우드 타우베리안 정리도 참조.

원법

분기 특이점이 있는 로그 또는 근으로 함수를 생성하기 위한 것입니다.^[16]

다르부의 방법

함수${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ - ${\displaystyle z){}^{}}$${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle (1-z)^{\beta }f(z)}$가 있고$$, 여기서${\displaystyle }\beta$는${\displaystyle }${${\displaystyle 0,}$1${\displaystyle ,}$ 2$,$ $…}{\displaystyle \beta \notin$\{0, 1, 2, 2,$\ldots \}}$ and ${\displaystyle f(z)}$ has a radius of convergence greater than ${\displaystyle 1}$ and a Taylor expansion near 1 of ${\displaystyle \sum _{j\geq 0}f_{j}(1-z)^{j}}$, then^[17]

${\displaystyle [z^{n}](1-z)^{\beta }f(z)=\sum _{j=0}^{m}f_{j}{\frac {n^{-\beta -j-1}}{\Gamma (-\beta -j)}}+O(n^{-m-\beta -2})}$

다중 특이점을 다루는 유사한 정리는 Szeg ő(1975)을 참조하십시오.

특이점 분석

$f$ (${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle$$$$f(z)}$에$$ζ {\displaystyle \zeta}의 특이점이 있는 경우

${\displaystyle f(z)\sim \left(1-{\frac {z}{\zeta }}\right)^{\alpha }\left({\frac {1}{\frac {z}{\zeta }}}\log {\frac {1}{1-{\frac {z}{\zeta }}}}\right)^{\gamma }\left({\frac$${1}{\frac {z}{\zeta}}}\log \left ({\frac$ {$1}{\frac {z}{\zeta}}}\log {\frac {1}{\frac {z}}}\right)^{\delta$}\$quad$}를 $z로$$→$ ${\displaystyle$ z\to \zeta}}

여기서 $\alpha$는 {0${\displaystyle \mathrm{,}}$ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2,}$ ⋯ },${\displaystyle }$γ, δ ∉ {1, 2, ⋯ } {\displaystyle \alpha \notin \{0, 1, 2, \cdots \},\cdots \},\gamma,\delta \notin \{1, 2,\cdots \}를 ∉하면

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$] ${\displaystyle f}$( z${\displaystyle )}$ ~${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\zeta }$ - ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$α ${\displaystyle -\frac{1}{}\gamma }$ (${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$) (${\displaystyle \mathrm{로그}}$$⁡$ ${\displaystyle n}$ ) γ ($로그 ⁡$로그$$$⁡$ ${\displaystyle n}$ ) δ ${\displaystyle$ [z$^{$n}]f(z$)\$sim \$zeta^{-n$}{\frac ${n^{-\alpha -1$}}{\$Gamma (-\$$alpha$ )}}(\$log$\log$n$${\displaystyle )^\{\backslash de}$lt${\displaystyle a\; \}\backslash q}$uad }를 n → {\displaystyle n\to \infty }로 합니다.

안장점법

특이점이 없는 전체 함수를 포함한 함수를 생성하기 위한 것입니다.^[19][20]

직관적으로, 등고선 적분에 가장 큰 기여를 하는 것은 안장점 주변이며 안장점 근처에서 추정하는 것은 전체 등고선에 대한 추정치를 제공합니다.

$F{\displaystyle (z)}$ ${\displaystyle F(z)}$이(가) 허용 함수이면^[21][22][23]

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$] ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\zeta }$ )$ζ$ n ${\displaystyle \frac{\sqrt{+}}{}}$12${\displaystyle \pi }$ f$$ ( ζ ) ${\displaystyle$[$z^{n}]F(z$)\$sim${\$frac$ {F$(\zeta )}{\$zeta ^{$n+$1}{\$sqrt$ {2\pi f$^{"}(\zeta$ )}}\${\displaystyle n}$으로${\displaystyle }$∞} → {\displaystyle n\to \infty}}

여기서 $F{\displaystyle {{}^{}}^{}}$ (${\displaystyle }$ζ ) = 0 $displaystyle F$^{'}(\zeta ) = 0}.

가장 가파른 하강 방법도 참조하십시오.

메모들

참고문헌

• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytic Combinatorics (PDF). Cambridge University Press.
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series (1st ed.). Oxford University Press.
• Melczer, Stephen (2021). An Invitation to Analytic Combinatorics: From One to Several Variables (PDF). Springer Texts & Monographs in Symbolic Computation.
• Pemantle, Robin; Wilson, Mark C. (2013). Analytic Combinatorics in Several Variables (PDF). Cambridge University Press.
• Sedgewick, Robert. "4. Complex Analysis, Rational and Meromorphic Asymptotics" (PDF). Retrieved 4 November 2023.
• Sedgewick, Robert. "8. Saddle-Point Asymptotics" (PDF). Retrieved 4 November 2023.
• Szegő, Gabor (1975). Orthogonal Polynomials (4th ed.). American Mathematical Society.
• Wilf, Herbert S. (2006). Generatingfunctionology (PDF) (3rd ed.). A K Peters, Ltd.

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추가열람

• De Bruijn, N.G. (1981). Asymptotic Methods in Analysis. Dover Publications.
• Flajolet, Philippe; Odlyzko, Andrew (1990). "Singularity analysis of generating functions" (PDF). SIAM Journal on Discrete Mathematics. 1990 (3).
• Mishna, Marni (2020). Analytic Combinatorics: A Multidimensional Approach. Taylor & Francis Group, LLC.
• Sedgewick, Robert. "6. Singularity Analysis" (PDF).

외부 링크

• 분석 콤비나토릭스
• 온라인 강좌의 알고리즘 분석에 관한 소개
• 여러 변수 프로젝트의 분석 조합론
• 분석 조합학으로의 초대

참고 항목

• 기호법(콤비네이터식)
• 분석 조합학 (책)