정수의 파티션 수
파티션 함수(1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 및 22)의 p( ), …, p ) displaystyle ),\dots,p(8)} 값 대해 Young 도표를 세는 것으로 확인할 수 있습니다. 수론 에서, 분할 (n ) 는 음이 아닌 정수 n의 가능 한 분할 수 를 나타낸다.예를 들어, 정수 4에 파티션 1 + 1 + 1 + 1 , 1 + 2 + 2 , 1 + 3 , 2 + 2 및 4가 5개 있기 때문에 p (4) = 5 입니다.
분할 함수에 대한 닫힌 형식 표현식은 알려져 있지 않지만, 정확하게 근사하는 점근 확장 과 정확하게 계산할 수 있는 반복 관계가 모두 있습니다. 그것은 그 주장 의 제곱근 의 지수함수로 성장한다. 그 생성 함수의 곱셈 역수는 오일러 함수이다; 오일러의 오각수 정리에 의해 이 함수는 그 인수의 오각수 거듭제곱의 교대합이다.
Srinivasa Ramanujan은 분할 함수가 모듈식 산술 에서 중요하지 않은 패턴을 가지고 있다는 것을 처음 발견했습니다. 지금은 라마누잔의 합동 으로 알려져 있습니다.예를 들어 n의 소수점 표현이 숫자 4 또는 9로 끝날 때마다 n의 파티션 수는 5로 나누어집니다.
정의와 예시 양의 정수 (n ) 는 n을 양의 정수 합으로 나타내는 고유 한 방법의 수입니다. 이 정의의 목적상, 합계의 용어의 순서는 무관하다. 즉, 같은 용어의 순서가 다른 두 합계는 구별되는 것으로 간주되지 않는다.
규칙 0) = 1 에 따르면, 0을 양의 정수의 합으로 표현하는 한 가지 방법(빈 합)이 있기 때문이다.또한 때 p(n ) = 0 이다.
p(0) = 1 로 시작
1, 2, 3, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ...(OEIS 의 시퀀스 A000041 n 값 이 클 경우 p(n ) 의 정확한 값은 다음과 같습니다.[1]
p ( 100 ) = 190 , 569 , 292 p ( 1000 ) = 24 , 061 , 467 , 864 , 032 , 622 , 473 , 692 , 149 , 727 , 991 ≈ 2.40615 × 10 31 p ( 10000 ) = 36 , 167 , 251 , 325 , … , 906 , 916 , 435 , 144 ≈ 3.61673 × 10 106 ({displaystyle {aligned}p(100)&=display,\!569,\!292\p(1000)&=24,\!061,\!467,\!864,\!032,\!622,\!473,\!692,\!727,\991,\!)를 약 240615 ^311번 누릅니다.
2022년 6월[update] (n ) 값 가장 큰 소수 는 p(1289844341) 이며, 소수 [2] [3] 또한 2022년 3월까지 타원곡선 원시성 증명 을 [4] 통해 증명된 가장 큰 소수였다.
생성함수 p(40) 를 찾기 부호의 위치는 자연수(파란색)와 홀수(주황색)를 번갈아 가며 나타내는 차이다. SVG 파일에서 이미지 위로 마우스를 가져가서 눈금자를 이동합니다.p(n )의 생성 함수는 다음과[5]
∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ ( 1 1 − x k ) = ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ⋯ ) ( 1 + x 3 + x 6 + x 9 + ⋯ ) ⋯ = 1 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯ = 1 / ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k x k ( 3 k − 1 ) / 2 . {{displaystyle {displaystyle}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}&=\display_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac {1}{1-x^{k}}\오른쪽) \\&=\left(1+x+x^{2}+\cdots\right)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+x^{9}+\cdots\right)\left(1+x^{}+cdots\cdots\cdots\fright)\left(1+x^{cdots\cdots\fright)\fright} \end { aligned}} 이 /(1 x k displaystyle /(1-x^{k} 기하급수 x k 2 k ) ) .{ displaystyle x ^ x k } cdots cdots } } 확대된분배법칙을 적용 한다. 이것에 의해, x a 1 x 2 a 2 3 3 {\ display a x^ 2a _ }} x^ 3a { 3} cdots 형식 모노미얼 의 합계가 됩니다 . 0 이 용어의 지수는 n = = i a textstyle sum {i} {\display } 번호 displaystyle i } 복사본 것 따라서 {displaystyle } 정확히 ( n ){displaystyle (n xn ({ displaystyle ^{n}) 따라서, 합계는 곱과 같다.
공식의 세 번째와 네 번째 줄의 분모에 나타나는 함수는 오일러 함수 입니다. 첫 번째 줄의 곱과 세 번째 줄과 네 번째 줄의 공식 사이의 등식은 오일러의 오각수 정리입니다. 이 행의 x({displaystyle 지수 k { 0 1 , 1 displaystyle k = k 3k-1 2 displaystyle P k k 3k-1) 2 displaystyle in in 2 。 k의 tive displaystyle ) 세 번째 줄의 플러스 기호와 마이너스 기호 패턴은 네 번째 줄의 (- 1 ) k 1)^{k (\displaystyle k )
보다 일반적으로, n 파티션 집합 (\ displaystyle ) display displaystyle \in ) Leonhard [6] 오일러 생성 함수의 공식은 q\displaystyle } Pochhammer 기호 모듈 형식 , 특히 데데킨드 에타 함수의 제품 공식과 유사하다.
반복 관계 파티션 [7] 반복 관계에는 동일한 오각형 숫자의 시퀀스가 표시됩니다.
p ( n ) = ∑ k ∈ Z ∖ { 0 } ( − 1 ) k + 1 p ( n − k ( 3 k − 1 ) / 2 ) = p ( n − 1 ) + p ( n − 2 ) − p ( n − 5 ) − p ( n − 7 ) + p ( n − 12 ) + p ( n − 15 ) − p ( n − 22 ) − ⋯ {\displaystyle {displaystyle}p(n)&=_{k\in \mathbb {Z}\setminus \{0\}(-1)^{k+1}p(n-k(3k-1)/2)\&=p(n-2)-p(n-5)-p+p12) 기본 케이스 0 displaystyle 0) 1 displaystyle }, k ) displaystyle (k)} 음 displaystyle } 아닌 displaystyle } 범위 yle } − 24 n + 1 − 1 6 ≤ k ≤ 24 n + 1 + 1 6 . {{displaystyle - {\frac {24n+1}} - {6}} \leq k\leq {{\fracrt {24n+1}} +1} {6}. }
p n displaystyle (n)} 대한 제수함수 의 합 [8]
p ( n ) = 1 n ∑ k = 0 n − 1 σ ( n − k ) p ( k ) . {\displaystyle p(n)=paramfrac {1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\param (n-k)p(k)입니다. } q( n ) displaystyle n)} {displaystyle } 경우 [9] p ( n ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ q ( n − 2 k ) p ( k ) . {\displaystyle p(n)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\loor }q(n-2k)p(k). }
일치 Srinivasa Ramanujan은 분할 함수가 모듈식 산술에서 중요 하지 않은 패턴을 가지고 있다는 것을 발견한 것으로 인정된다.예를 들어, 파티션의 수는 일치로[10] (\displaystyle ) 소수
p ( 5 k + 4 ) ≡ 0 ( 모드 5 ) {\displaystyle p(5k+4)\equiv 04cpmod {5}} 예를 들어 정수 4의 파티션 수는 5입니다. 정수 9의 경우 파티션 수는 30, 14의 경우 135개의 파티션이 있습니다. 이 일치성은 보다 일반적인 정체성에 의해 암시된다. ∑ k = 0 ∞ p ( 5 k + 4 ) x k = 5 ( x 5 ) ∞ 5 ( x ) ∞ 6 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}p(5k+4)x^{k}=5~{\frac {(x^{5})_{\infty }{6}}} 또한 Ramanujan에 [11] [12] x ) {\ displaystyle x)_{\infty ( x ) ∞ = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x m ) . {\displaystyle (x)_{\infty }=\display_{m=1}^{\infty}(1-x^{m}). } 이 결과의 간단한 증명 은 분할 함수 생성 함수에서 얻을 수 있다.
라마누잔은 또한 7번과 [10]
p ( 7 k + 5 ) ≡ 0 ( 모드 7 ) , p ( 11 k + 6 ) ≡ 0 ( 모드 11 ) . {\displaystyle {displaystyle}p(7k+5)&\equiv 0pmod {7},\p(11k+6)&\equiv 0pmod {11}. \end { aligned}} 첫 번째는 라마누잔의 정체성으로부터[12] ∑ k = 0 ∞ p ( 7 k + 5 ) x k = 7 ( x 7 ) ∞ 3 ( x ) ∞ 4 + 49 x ( x 7 ) ∞ 7 ( x ) ∞ 8 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}p(7k+5)x^{k}=7~{\frac {(x^{7)}_{\infty}{3}{{4}+49x~{\frac {x^{7}_{\infty}}^7}{x}}}{{\infty}}}}}}}}{7}}}}}}}{{{{\x}}}}}}}}}}}}}}{\frc}}}}}}}}} }
5, 7, 및 11은 연속 된 소수이므로 p ( 13 a ) 0 mod )({ displaystyle 13k a)\equiv {\pmod {13}) 유사 단, 5, 7, 또는 [13] 소수 b에 대해서는 p ( b k 0 mod ){ displaystyle bk + a equiv pmod {b}} 일치성을 얻으려면 p\displaystyle bk \displaystyle cbk a \ displaystyle >1 형식 시카고 대학 의 A. O . L. Atkin 은 소량 모듈리 형태의 추가 합성을 발견했습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.
p ( 11 3 ⋅ 13 ⋅ k + 237 ) ≡ 0 ( 모드 13 ) . {\displaystyle p(11^{3}\cdot 13\cdot k+237)\equiv 04pmod {13}. }
켄 오노(2000)는 3보다 큰 모든 소수에 대해 그러한 합치가 있다는 것을 증명했다.나중에 Ahlgren & Ono( 2001)는 [14] [15] 대한 모든 정수공영수에 파티션 일치모듈이 있음을 보여주었다.
근사 공식 위에 제시된 정확한 공식보다 더 빨리 계산하는 근사 공식들이 존재합니다.
p(n )에 대한 점근식 은 다음과 같이 주어진다.
p n 14 n 3 π 2 3 ){ display style n sim frac 1 4 n scrt exp left \ pi frac n } → n 이 점근 공식은 1918년 G. H . Hardy 와 Ramanujan 에 의해 처음 얻었고 1920년 J. V. Uspensky에 의해 독립적으로 얻어졌다. p( 1000 ) displaystyle 1000 고려 4402 × 1031 ({ displaystyle 4402\times ^{311
Hardy와 Ramanujan은 이 근사치를 첫 번째 [16] 점근 확장을 구했다.
p ( n ) ∼ 1 2 π 2 ∑ k = 1 v A k ( n ) k ⋅ d d n ( 1 n − 1 24 exp [ π k 2 3 ( n − 1 24 ) ] ) , {\displaystyle p(n)\sim {2\pi {2\pi}\sum _{k=1}^{v}A_{k}(n){\sqrt {dn}\cdot {\frac {1}{\frac {1}{xp}}\sum {xp} }}},\right]}\right},} 어디에 A k ( n ) = ∑ 0 ≤ m < > k , ( m , k ) = 1 e π i ( s ( m , k ) − 2 n m / k ) . ({displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m <k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}). } 여기서 표기법 k = 1 displaystyle (m,k 1} displaystyle } 상대적 으로 소수인 displaystyle } 값 함수 ( m k style (m, k)} Dedekind 의 합계입니다.
v displaystyle } 뒤 순서 , displaystyle } displaystyle {n 200 ) displaystyle 200) 번째 = 5 ystyle =5 } [16]
1937년 Hans Rademacher 는 p n display style n 수렴 급수식을 제공함으로써 Hardy 와 Ramanujan 의 결과를 개선할 수 있었습니다[17] [18]
p ( n ) = 1 π 2 ∑ k = 1 ∞ A k ( n ) k ⋅ d d n ( 1 n − 1 24 신 [ π k 2 3 ( n − 1 24 ) ] ) . {\displaystyle p(n)=flac {1}{\pi {\pi}{\infty}}A_{k}(n){\sqrt {k}{dn}\cdot {\flac {1}{\flac {1}{\h}}\sin}}}}\sum }},\right],\right)를 선택합니다. }
라데마허 공식의 증명은 포드 원, 파레이 수열 , 모듈러 대칭, 데데킨드 에타 함수를 포함 한다.
Rademacher 시리즈의 k번째 다음
exp ( π k 2 n 3 ) , (\displaystyle \exp \leftfac \pi } {k} {\frac {2n} {3}} \right ) } 따라서 첫 번째 항은 하디-라마누잔 점근 근사치를 제공한다. Paul Erd 's(1942 )는 p n ){displaystyle (n [19] [20]
컴퓨터에서 Hardy-Ramanujan-Rademacher 공식을 효율적으로 구현하기 위한 기법은 요한슨( 2012)에 의해 논의되었다. 요한슨(2012)은 n ) display p( } style 2 )) display (n^{1/2+\varepsilon}) styleps > 대해 계산 보여준다 이는 결과의 [21] 정확하게 계산된 파티션 함수의 최대값은 p 10 )\displaystyle 10^{20 [22]
엄격한 파티션 기능 정의 및 속성 영향을 받는 파티션의 합계에 반복적으로 합계가 발생하지[23] 함수 Q(n)는 주어진 합계 n에 대해 이러한 엄밀한 파티션의 수를 나타냅니다. 따라서 완전 파티션시퀀스 Q(n)는 모든 n n 0 displaystyle \in \mathbb {N}_{0 파티션 합계에 홀수[25] [24]
완전 파티션 번호의 예시 값 파티션 표현:
Q(n) 및 관련 번호 파티션의 예시 값 n 질문(n) 반복 추가 없이 파티션 수 홀수 추가만 있는 파티션 수 0 1 () 빈 파티션 () 빈 파티션 1 1 (1) (1) 2 1 (2) (1+1) 3 2 (1+2), (3) (1+1+1), (3) 4 2 (1+3), (4) (1+1+1+1), (1+3) 5 3 (2+3), (1+4), (5) (1+1+1+1+1), (1+1+3), (5) 6 4 (1+2+3), (2+4), (1+5), (6) (1+1+1+1+1+1), (1+1+1+3), (3+3), (1+5) 7 5 (1+2+4), (3+4), (2+5), (1+6), (7) (1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+3), (1+3+3), (1+1+5), (7) 8 6 (1+3+4), (1+2+5), (3+5), (2+6), (1+7), (8) (1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+3), (1+1+3+3), (1+1+1+5), (3+5), (1+7) 9 8 (2+3+4), (1+3+5), (4+5), (1+2+6), (3+6), (2+7), (1+8), (9) ...... 10 10 (1+2+3+4), (2+3+5), (1+4+5), (1+3+6), (4+6), (1+2+7), (3+7), (2+8), (1+9), (10) ......
맥로린 시리즈 숫자 Q(n)를 x 앞에n 계수로 하는 MacLaurin 계열에 기초한 해당 생성 함수는 다음과 같습니다.
∑ k = 0 ∞ Q ( k ) x k = ( x ; x 2 ) ∞ − 1 = ϑ 00 ( x ) 1 / 6 ϑ 01 ( x ) − 1 / 3 { 1 16 x [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 ] } 1 / 24 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}(x)\vartheta _{01}(x)^{gl/3}{gl}{16}, {frac} {{fr} 다음과 같은 첫 번째 추가 정보를 얻을 수 있습니다.
( x ; x 2 ) ∞ − 1 = 1 + 1 x + 1 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 x 6 + 5 x 7 + 6 x 8 + 8 x 9 + 10 x 10 . . . {\displaystyle (x;x^{2}_{\infty}^{-1}=1+1x+1x^{2}+2x^{4}+3x^{5}+4x^{6}+6x^{7}+6x^{8x^9}+10x^{10}... } 이에 비해 정규 파티션 번호 P(n)의 생성 함수는 Theta 함수에 대해 다음과 같은 동일성을 가진다.
∑ k = 0 ∞ P ( k ) x k = ( x ; x ) ∞ − 1 = ϑ 00 ( x ) − 1 / 6 ϑ 01 ( x ) − 2 / 3 { 1 16 x [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 ] } − 1 / 24 \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={00}(x)^{-1/6)\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{biggl \{{\16}{frac} {x} Theta 함수에 대한 중요한 계산 공식:
( x ; x ) ∞ ( x ; x 2 ) ∞ = ϑ 01 ( x ) {\displaystyle (x;x)_{\infty }(x;x^{2})_{\infty }=\vartheta _{01}(x)} 16 x ( x ; x ) ∞ 8 = ( x ; x 2 ) ∞ 16 ϑ 00 ( x ) 4 [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 ] {{displaystyle 16,x,(x;x)_{8}=(x;x^{2})_{\infty}^{16},\vartheta_{00}{{bigl[}(x)^{00}-\vartheta_011(x)^{r}}}{{00}}}}}{{{{\varthetheta}}}}}}}{{{{\}}}}}}}}}}{{{{\}}}}}}}}}}}}}}}} 다음은 언급된 두 가지 Theta 함수의 정의입니다.
ϑ 00 ( x ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ x n 2 {\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty}x^{n^{2}} ϑ 01 ( x ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n 2 {{displaystyle \vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}} 괄호 안의 제품은 이른바 Pochhammer 제품이며 다음과 같이 정의됩니다.
( a ; b ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a b k ) {\displaystyle (a;b)_{\infty }=\display_{k=0}^{\infty}(1-ab^{k})} 다음으로 두 가지 예를 제시하겠습니다.
( x ; x ) ∞ = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) {\displaystyle (x;x)_{\infty }=\display_{n=1}^{\infty}(1-x^{n})} ( x ; x 2 ) ∞ = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n − 1 ) {\displaystyle (x;x^{2})_{\infty }=\display_{n=1}^{\infty}(1-x^{2n-1}) 완전 파티션 번호에 대한 ID Pochhammer 제품에는 다음 ID가 유효합니다.
( x ; x ) ∞ − 1 = ( x 2 ; x 2 ) ∞ − 1 ( x ; x 2 ) ∞ − 1 {\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=(x^{2};x^{2}_{\infty }^{-1} 이 아이덴티티에서 다음 공식을 따릅니다.
[ ∑ n = 0 ∞ P ( n ) x n ] = [ ∑ n = 0 ∞ P ( n ) x 2 n ] [ ∑ n = 0 ∞ Q ( n ) x n ] {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}{\infty}P(n)x^{2n}{\biggr}{\biggl [\sum_{n=0}{\infty}}}{\biggl]{\biggl[\sum_n}{n}^{\ingthty}{\biggl}{\biggl } 따라서 이들 2개의 공식은 수열 P(n)의 합성에 유효하다.
P ( 2 n ) = ∑ k = 0 n P ( n − k ) Q ( 2 k ) {\displaystyle P(2n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(2k)} P ( 2 n + 1 ) = ∑ k = 0 n P ( n − k ) Q ( 2 k + 1 ) {{displaystyle P(2n+1)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(2k+1)} 다음 예제에서는 두 가지 예가 정확하게 실행됩니다.
P ( 8 ) = ∑ k = 0 4 P ( 4 − k ) Q ( 2 k ) = {\displaystyle P(8)=\sum _{k=0}^{4}P(4-k)Q(2k)=} = P ( 4 ) Q ( 0 ) + P ( 3 ) Q ( 2 ) + P ( 2 ) Q ( 4 ) + P ( 1 ) Q ( 6 ) + P ( 0 ) Q ( 8 ) = {\displaystyle =P(4)Q(0)+P(3)Q(2)+P(4)Q(6)+P(0)Q(8)=} = 5 × 1 + 3 × 1 + 2 × 2 + 1 × 4 + 1 × 6 = 22 {\displaystyle = 5\times 1+3\times 1+2\times 2+1\times 4+1\times 6=22} P ( 9 ) = ∑ k = 0 4 P ( 4 − k ) Q ( 2 k + 1 ) = {{displaystyle P(9)=\sum _{k=0}^{4}P(4-k)Q(2k+1)=} = P ( 4 ) Q ( 1 ) + P ( 3 ) Q ( 3 ) + P ( 2 ) Q ( 5 ) + P ( 1 ) Q ( 7 ) + P ( 0 ) Q ( 9 ) = {\displaystyle =P(4)Q(1)+P(3)Q(3)+P(2)Q(5)+P(1)Q(7)+P(0)Q(9)=} = 5 × 1 + 3 × 2 + 2 × 3 + 1 × 5 + 1 × 8 = 30 {\displaystyle = 5\times 1+3\times 2+2\times 3+1\times 5+1\times 8=30} 레퍼런스 ^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A070177" , The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , OEIS Foundation^ Caldwell, Chris K. (2017), The Top Twenty ^ "PrimePage Primes: p(1289844341)" , primes.utm.edu , retrieved 30 June 2022 ^ "The Top Twenty: Elliptic Curve Primality Proof" , primes.utm.edu , retrieved 30 June 2022 ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (1964), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 825 , ISBN 0-486-61272-4 ^ Euler, Leonhard (1753), "De partitione numerorum" , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in Latin), 3 : 125–169^ Ewell, John A. (2004), "Recurrences for the partition function and its relatives", The Rocky Mountain Journal of Mathematics , 34 (2): 619–627, doi :10.1216/rmjm/1181069871 JSTOR 44238988 , MR 2072798 ^ Wilf, Herbert S. (1982), "What is an answer?", American Mathematical Monthly 89 (5): 289–292, doi :10.2307/2321713 , JSTOR 2321713 , MR 0653502 ^ Al, Busra; Alkan, Mustafa (2018), "A note on relations among partitions", Proc. Mediterranean Int. Conf. Pure & Applied Math. and Related Areas (MICOPAM 2018) ^ a b Hardy, G. H. ; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.), Oxford University Press , p. 380, ISBN 978-0-19-921986-5 MR 2445243 , Zbl 1159.11001 ^ Berndt, Bruce C. ; Ono, Ken (1999), "Ramanujan's unpublished manuscript on the partition and tau functions with proofs and commentary" (PDF) , The Andrews Festschrift (Maratea, 1998) , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , vol. 42, Art. B42c, 63, MR 1701582 ^ a b Ono, Ken (2004), The web of modularity: arithmetic of the coefficients of modular forms and q {\displaystyle q} , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 102, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , p. 87, ISBN 0-8218-3368-5 Zbl 1119.11026 ^ Ahlgren, Scott; Boylan, Matthew (2003), "Arithmetic properties of the partition function" (PDF) , Inventiones Mathematicae 153 (3): 487–502, Bibcode :2003InMat.153..487A , doi :10.1007/s00222-003-0295-6 , MR 2000466 , S2CID 123104639 ^ Ono, Ken (2000), "Distribution of the partition function modulo m {\displaystyle m} Annals of Mathematics 151 (1): 293–307, arXiv :math/0008140 Bibcode :2000math......8140O , doi :10.2307/121118 , JSTOR 121118 , MR 1745012 , S2CID 119750203 , Zbl 0984.11050 ^ Ahlgren, Scott; Ono, Ken (2001), "Congruence properties for the partition function" (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences 98 (23): 12882–12884, Bibcode :2001PNAS...9812882A , doi :10.1073/pnas.191488598 MR 1862931 , PMC 60793 PMID 11606715 ^ a b 미국 스리니바사 라마누잔의 수집논문 에 전재되었습니다Hardy, G. H. ; Ramanujan, S. (1918), "Asymptotic formulae in combinatory analysis", Proceedings of the London Mathematical Society 17 (75–115) 수학. 사회(2000), 페이지 276-309. ^ Andrews, George E. (1976), The Theory of Partitions , Cambridge University Press, p. 69, ISBN 0-521-63766-X MR 0557013 ^ Rademacher, Hans (1937), "On the partition function p ( n ) {\displaystyle p(n)} Proceedings of the London Mathematical Society 43 (4): 241–254, doi :10.1112/plms/s2-43.4.241 , MR 1575213 ^ Erdős, P. (1942), "On an elementary proof of some asymptotic formulas in the theory of partitions" (PDF) , Annals of Mathematics 43 (3): 437–450, doi :10.2307/1968802 , JSTOR 1968802 , MR 0006749 , Zbl 0061.07905 ^ Nathanson, M. B. (2000), Elementary Methods in Number Theory , Graduate Texts in Mathematics , vol. 195, Springer-Verlag , p. 456, ISBN 0-387-98912-9 Zbl 0953.11002 ^ Johansson, Fredrik (2012), "Efficient implementation of the Hardy–Ramanujan–Rademacher formula", LMS Journal of Computation and Mathematics , 15 : 341–59, arXiv :1205.5991 doi :10.1112/S1461157012001088 , MR 2988821 , S2CID 16580723 ^ Johansson, Fredrik (March 2, 2014), New partition function record: p(1020 ) computed ^ "code golf - Strict partitions of a positive integer" . Retrieved 2022-03-09 .^ "A000009 - OEIS" . Retrieved 2022-03-09 .^ Eric W. Weisstein. "Partition Function Q" . Retrieved 2022-03-09 . 외부 링크 
1~8 의 번호의 파티션에 
각 
왼쪽 합계의 
선택한 숫자로는 k
반복되는 부분이 없는 n
다음 소수에도 
일치성이 없습니다.일치성을 얻으려면 p
인수가
![{\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{v}A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\exp \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ceae2693bf7f43119090335f73b00f55c9c3bf)
합계가 k
첫 
![{\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a531a51cf48ba80587a05f67f44d390aba14fc)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}=(x;x^{2})_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90f5693e5c160f27e00efd187e156ee3122122a)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}=(x;x)_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682165f3344170a40b54d81408b67a85b59895b0)
![{\displaystyle 16\,x\,(x;x)_{\infty }^{8}=(x;x^{2})_{\infty }^{16}\,\vartheta _{00}(x)^{4}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f02d701be3fdcf0cc89be687c8464704d5b6b1)
![{\displaystyle {\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}{\biggr ]}={\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{2n}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b65a7beb8a2cb56fe65c49fdf1a535fc5cd306)
