각운동량 커플링

양자역학에서, 분리된 각 모멘타의 고유 상태로부터 총 각운동량의 고유 상태를 구성하는 과정을 각운동량 결합이라고 한다.예를 들어, 단일 입자의 궤도와 스핀은 스핀-오빗 상호작용을 통해 상호작용할 수 있으며, 이 경우 완전한 물리적 그림은 스핀-오빗 결합을 포함해야 한다.또는 각각이 잘 정의된 각운동량을 가진 두 하전입자는 쿨롱력에 의해 상호작용할 수 있으며, 이 경우 두 개의 1입자 각운동량을 총각운동량으로 결합하는 것은 두 입자 슈뢰딩거 방정식의 해법에 유용한 단계이다.두 경우 모두 분리된 각 모멘타는 더 이상 운동 상수가 아니지만, 두 각 모멘타의 합은 일반적으로 여전히 그러하다.원자 내의 각운동량 결합은 원자 분광학에서 중요하다.전자 스핀의 각운동량 결합은 양자 화학에서 중요하다.또한 핵 쉘 모델에서는 각운동량 결합이 ^[1]^[2]어디에나 존재한다.

천문학에서 스핀-오빗 결합은 각운동량 보존의 일반적인 법칙을 반영하며, 이는 천체 시스템에도 적용된다.단순한 경우에서, 각운동량 벡터의 방향은 무시되고, 스핀-오빗 결합은 행성이나 다른 천체가 자신의 축을 중심으로 회전하는 주파수와 다른 천체를 공전하는 빈도 사이의 비율이다.이것은 일반적으로 궤도 공명이라고 알려져 있다.종종 근본적인 물리적 영향은 조력이다.

일반 이론과 상세한 기원

궤도 각운동량(L 또는 L로 표시됨)

각운동량 보존

각운동량 보존은 시스템에 외부토크가 가해지지 않을 경우 시스템의 총각운동량은 일정한 크기와 방향을 갖는 원리입니다.각운동량은 다음 두 가지 상황에서 운동 상수(시간 독립적이고 잘 정의된 특성이라고도 함)인 물리적 시스템의 특성입니다.

시스템에서 구대칭 전위장이 발생합니다.
시스템은 (양자 기계적 의미에서) 등방성 공간에서 이동합니다.

두 경우 모두 각운동량 연산자는 시스템의 해밀턴과 통신합니다.하이젠베르크의 불확도 관계에 의해 이것은 각 운동량과 에너지(해밀턴의 특성값)를 동시에 측정할 수 있다는 것을 의미한다.

첫 번째 상황의 예는 전자가 원자핵의 쿨롱 힘만을 경험하는 원자이다.전자-전자 상호작용(및 스핀-오빗 결합과 같은 다른 작은 상호작용)을 무시하면 각 전자의 궤도 $각운동량$ l은 전체 해밀턴과 일치한다.이 모델에서 원자 해밀턴은 전자의 운동 에너지와 구형 대칭 전자-핵 상호작용의 합이다.개별 전자각 $모멘트$ 는_i 이 해밀턴과 함께 통근한다.즉, 그것들은 원자의 대략적인 모형의 보존된 특성입니다.

두 번째 상황의 예는 필드 프리 공간에서 이동하는 강체 로터입니다.리지드 로터는 명확하게 정의된 시간에 의존하지 않는 각운동량을 가지고 있습니다.

이 두 상황은 고전 역학에서 비롯되었다.스핀과 관련된 세 번째 종류의 보존된 각운동량은 고전적인 각운동량이 없다.그러나 각운동량 커플링의 모든 규칙은 스핀에도 적용됩니다.

일반적으로 각운동량 보존은 완전한 회전 대칭(SO(3)와 SU(2) 그룹으로 설명됨)을 의미하며, 반대로 구면 대칭은 각운동량 보존을 의미한다.두 개 이상의 물리적 시스템이 각도 모멘타를 보존한 경우, 이러한 모멘타를 결합된 시스템의 총 각도 모멘텀(전체 시스템의 보존 특성)에 결합하는 것이 유용할 수 있다.개별 서브시스템의 각운동량 고유상태에서 보존된 총 각운동량의 고유상태 구축을 각운동량 커플링이라고 한다.

각운동량 결합의 적용은 상호작용이 없었다면 각운동량을 보존했을 서브시스템 간에 상호작용이 있을 때 유용하다.바로 그 상호작용에 의해 서브시스템의 구면대칭은 깨지지만 전체 시스템의 각운동량은 일정한 운동량으로 유지됩니다.후자의 사실은 슈뢰딩거 방정식의 해법에 도움이 된다.

예

예를 들어 i = 1 및 2로 $표시$ 된 원자(헬륨 원자 등)에 있는 두 개의 전자를 고려합니다.만약 전자-전자 상호작용이 없고 전자-핵 상호작용만 있다면, 두 전자는 서로 독립적으로 핵 주위를 회전할 수 있고, 그들의 에너지에는 아무 일도 일어나지 않는다.두 $연산자$ ₁ $l$ 과₂ l은 모두 보존됩니다.그러나 전자간 $거리$ d(1,2)에 따라 달라지는 전자-전자 상호작용을 켜면 두 전자의 동시 등회전만 d(1,2) 불변으로 $남는다$ .이러한 경우, 일반적으로 $l$ 과₂ l 모두 $운동$ ₁ 상수는 아니지만, 총 궤도 $각운동량$ L = $l$ ₁ + $l$ 은₂ 같다. $l$ 과₂ l의 $고유$ ₁ 상태가 주어졌을 때, L의 $고유$ 상태의 구성은 전자 1과 2의 각 모멘타의 결합이다.

총 궤도 각운동량 $양자수$ L은 정수값으로 제한되며, 3개의 음이 아닌 정수값이 ^[3]삼각형의 세 변에 대응하도록 $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$ - $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$ 2 $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$ $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$ 1 + $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$ 2 \ $displaystyle l_{1}$ - $l_{2} \leq$ L $\leq l_{1$ } + $l_{2$ }을 만족해야 한다 $|l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}$

양자역학에서 결합은 단일 물체의 서로 다른 힐버트 공간에 속하는 각 모멘타, 예를 들어 스핀과 궤도 각 운동량 사이에 존재한다.스핀에 다음과 같은 반정수 값이 있는 경우전자의 경우 1/2의 총 각운동량(반각 + 스핀)도 반각운동량 값으로 제한됩니다.

위에서 약간 다르게 반복한다. 즉, 하위 시스템을 개별적으로 설명하는 양자 상태의 텐서 곱으로 만들어진 기본 집합에서 구성된 시스템의 양자 상태(즉, 2개의 수소 원자 또는 2개의 전자와 같은 하위 단위로 구성됨)를 확장한다.서브시스템의 상태는 각운동량 연산자( $및$ 임의의 z축을 따라 구성 요소)의 고유 상태로 선택될 수 있다고 가정합니다.

따라서 서브시스템은 $θ$ , m 양자 번호 쌍으로 올바르게 기술된다(자세한 내용은 각운동량 참조).하위 시스템 간에 상호 작용이 있는 경우 전체 해밀턴에는 하위 시스템에만 작용하는 각도 연산자와 이동하지 않는 항이 포함됩니다.그러나 이러한 항은 총 각운동량 연산자와 함께 이동합니다.때로는 각운동량 결합이 필요하기 때문에 해밀턴의 비정류 상호작용 항을 각운동량 결합 항이라고 부르기도 한다.

스핀-오빗 커플링

원자와 더 작은 입자의 행동은 각 입자가 스핀이라고 불리는 고유의 각운동량을 가지고 있고 특정한 구성(예를 들어 원자 내 전자)은 양자수 세트로 설명되는 양자역학 이론에 의해 잘 묘사된다.입자 집합은 또한 각모멘타와 대응하는 양자수를 가지며, 다른 상황에서 부품의 각모멘타는 전체의 각모멘타를 형성하기 위해 서로 다른 방식으로 결합한다.각운동량 결합은 아원자 입자들이 서로 상호작용할 수 있는 몇 가지 방법을 포함하는 범주이다.

원자물리학에서 스핀쌍으로도 알려진 스핀-오빗 결합은 입자 스핀과 이 입자의 궤도 운동, 예를 들어 전자 스핀과 원자핵 주위의 움직임의 약한 자기 상호작용 또는 결합을 설명한다.그 효과 중 하나는 원자의 내부 상태의 에너지를 분리하는 것이다. 예를 들어, 에너지가 동일하지 않으면 스핀 정렬 및 스핀 안티애니셜링이다.이 상호작용은 원자 구조의 많은 세부 사항들에 책임이 있다.

고체 물리학에서, 궤도 운동과의 스핀 결합은 Dresselhouse 또는 Rashba 효과로 인해 에너지 띠의 분열을 초래할 수 있습니다.

궤도 역학의 거시적 세계에서는 스핀-오빗 결합이라는 용어가 스핀-오빗 공명과 같은 의미로 사용되기도 한다.

LS 커플링

L-S 커플링 그림.총 각운동량 J는 보라색, 궤도 L은 파란색, 스핀 S는 녹색입니다.

가벼운 원자(일반적으로 Z 30^[4] 30)에서는 전자 스핀_i s가 서로 상호작용하여 합체하여 총 스핀각 운동량 S를 형성한다.궤도각 모멘타 θ에서도_i 같은 현상이 일어나 총 궤도각 운동량 L을 형성한다.양자수 L과 S 사이의 상호작용을 러셀-손더스 커플링(헨리 노리스 러셀과 프레드릭 손더스 이후) 또는 LS 커플링이라고 한다.그런 다음 S와 L이 결합되어 총 각운동량 J:^[5]^[6]

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} ,,

여기서 L과 S는 합계입니다.

{\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {ell}}_{i},\mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i},},

이것은 어떤 외부 자기장이 약하다면 좋은 근사치입니다.큰 자기장에서는 이 두 모멘타가 분리되어 에너지 레벨에서 다른 분할 패턴(파셴-백 효과)을 발생시키고 LS 결합 항의 크기가 ^[7]작아집니다.

LS 커플링이 실제로 적용되는 방법에 대한 자세한 예는 용어 기호 관련 문서를 참조하십시오.

JJ 커플링

무거운 원자에서는 상황이 다르다.더 큰 핵 전하를 가진 원자에서 스핀-오빗 상호작용은 스핀-스핀 상호작용 또는 궤도-오빗 상호작용만큼 크거나 더 크다.이러한 상황에서 각 궤도 각운동량 θ는_i 대응하는 개별 스핀 각운동량_i s와 결합하는 경향이 있으며, 개별 총 각운동량_i j를 발생시킨다.그런 다음 이것들이 결합되어 총 각운동량 J를 형성한다.

\displaystyle \mathbf {J} = \sum _{i} = \sum _{i} ({\boldsymbol {ell }}_{i}+\mathbf {s} _{i})}

이런 종류의 상호작용을 쉽게 계산할 수 있는 이 기술을 jj 커플링이라고 합니다.

스핀-스핀 커플링

스핀-스핀 커플링은 서로 다른 입자의 고유 각운동량(스핀)의 커플링이다.핵 스핀 쌍 간의 J 결합은 분자의 구조와 구조에 대한 자세한 정보를 제공할 수 있기 때문에 핵자기공명(NMR) 분광학의 중요한 특징이다.핵 스핀과 전자 스핀 사이의 스핀-스핀 결합은 원자 ^[8]스펙트럼에서 초미세 구조의 원인이 된다.

용어 기호

용어 기호는 원자의 상태와 스펙트럼 전이를 나타내기 위해 사용되며, 위에서 언급한 각 모멘타의 결합에서 찾을 수 있다.원자의 상태를 용어 기호로 지정했을 경우, 어떤 전이가 각운동량을 보존할 수 있는지를 고려하여 선택 규칙을 통해 허용되는 전이를 찾을 수 있다.광자는 스핀 1을 가지며, 광자의 방출 또는 흡수와 함께 전환이 있을 때 원자는 각운동량을 보존하기 위해 상태를 변경해야 한다.용어 기호 선택 규칙은 $δS$ = 0, $δL$ = 0, ±1, $δl$ = ±1, $δJ$ = 0, ±1입니다.

"항 기호"라는 표현은 원자의 Rydberg 상태와 그 에너지 수준과 관련된 "항 계열"에서 파생되었습니다.Rydberg 공식 중 수소상 원자가 방출하는 빛의 주파수 또는 파수는 전이 두 항의 차이에 비례한다.초기 분광학에서 알려진 계열은 샤프, 주, 확산 및 기본으로 지정되었고,^[9] 그 결과 원자의 궤도 각운동량 상태를 나타내기 위해 $문자 S, P,$ D, $F$ 가 사용되었다.

상대론적 효과

매우 무거운 원자에서는 전자 에너지 수준의 에너지의 상대론적 이동이 스핀-오빗 결합 효과를 강조한다.따라서, 예를 들어, 우라늄 분자 궤도도는 다른 ^{[citation needed]}원자와의 상호작용을 고려할 때 상대론적 기호를 직접 포함해야 한다.

핵결합

원자핵에서 스핀-오빗 상호작용은 원자 전자보다 훨씬 강하며, 핵 껍질 모델에 직접 통합된다.또한 원자-전자 용어 기호와 달리 가장 낮은 에너지 상태는 $L$ - S가 $아니라$ $δ$ + s이다.따라서 $θ$ 값(궤도 각운동량)이 0보다 큰 모든 핵 수준은 셸 모델에서 분할되어 $θ$ + $s$ 와 $θ$ - $s$ 로 지정된 상태를 생성한다.중심 쿨롬 전위가 아닌 평균 전위를 가정하는 셸 모델의 특성으로 인해, $δ$ + s 및 $δ$ - s 핵 상태에 들어가는 핵자는 각 궤도 내에서 축퇴된 것으로 간주된다(예:2p3/2는 모두 같은 에너지인 4개의 핵자를 포함하고 있다.에너지가 더 높은 것은 2p1/2로, 2개의 등 에너지 핵자를 포함한다).

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
^ P.W. Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
^ Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics (3rd ed.). John Wiley. pp. 428–429. ISBN 0-471-88702-1.
^ Russell Saunders 커플링 스킴 R. J. Lancashire, UCDavis ChemWiki(2015년 12월 26일 액세스)
^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. p. 281. ISBN 978-0-471-87373-0.
^ B.H. Bransden, C.J.Joachain (1983). Physics of Atoms and Molecules. Longman. pp. 339–341. ISBN 0-582-44401-2.
^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
^ P.W. Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. p. 226. ISBN 0-19-855493-1.
^ Herzberg, Gerhard (1945). Atomic Spectra and Atomic Structure. New York: Dover. pp. 54–55. ISBN 0-486-60115-3.

외부 링크

[1] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.

[2] P.W. Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.

[3] Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics (3rd ed.). John Wiley. pp. 428–429. ISBN 0-471-88702-1.

[4] Russell Saunders 커플링 스킴 R. J. Lancashire, UCDavis ChemWiki(2015년 12월 26일 액세스)

[5] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. p. 281. ISBN 978-0-471-87373-0.

[6] B.H. Bransden, C.J.Joachain (1983). Physics of Atoms and Molecules. Longman. pp. 339–341. ISBN 0-582-44401-2.

[7] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.

[8] P.W. Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. p. 226. ISBN 0-19-855493-1.

[9] Herzberg, Gerhard (1945). Atomic Spectra and Atomic Structure. New York: Dover. pp. 54–55. ISBN 0-486-60115-3.

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