전멸기법

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수학에서 전멸기법은 특정 유형의 비균형 보통 미분방정식(OSE)에 대한 특정 해결책을 찾기 위해 사용되는 절차다.미결정 계수의 방법과 유사하지만, 미결정 계수의 방법으로 특정 용액을 추측하는 대신, 이 기법에서는 특정 용액을 체계적으로 결정한다.결정되지 않은 계수 문구는 계수를 계산하는 전멸기법의 단계를 가리키는 데에도 사용될 수 있다.

전멸기법은 다음과 같이 사용된다.Given the ODE ${\displaystyle P(D)y=f(x)}$, find another differential operator ${\displaystyle A(D)}$ such that ${\displaystyle A(D)f(x)=0}$. This operator is called the annihilator, hence the name of the method.Applying ${\displaystyle A(D)}$ to both sides of the ODE gives a homogeneous ODE ${\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0}$ for which we find a solution basis ${\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ as before.그런 다음 원래 비균형 ODE를 사용하여 ODE를 만족시키기 위해 선형 조합의 계수를 제한하는 방정식의 시스템을 구축한다.

이 방법은 전멸자가 항상 존재하는 것은 아니라는 점에서 매개변수의 변화만큼 일반적이지 않다.

전멸기 테이블

f(x)	전멸기 테이블
${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\!}$	${\displaystyle D^{n+1}\!}$
${\displaystyle e^{kx}\!}$	$D-k\!}$
${\displaystyle x^{n.e^{kx}\!}$	${\displaystyle (D-k)^{n+1}\!}$
${\displaystyle \cos(bx)\;\\mathrm {or} \;\\\sin(bx)\!}$	${\displaystyle D^{2}+b^{2}}\!}$
${\displaystyle x^{n}\cos(bx)\;\mathrm {or} \;\;x^{n}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle(D^{2}+b^{2})^{n+1}\!}$
${\displaystyle e^{ax}\cos(bx)\;\\mathrm {or} \;\;e^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle (D-a)^{2}+b^{2}=D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2}}\!}$
${\displaystyle x^{n}e^{x}\cos(bx)\;\\mathrm {or}\;\;x^{n}e^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle \left[(D-a)^{2}+b^{2}\오른쪽]^{n+1}=\왼쪽[D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2]}\오른쪽]^{n+1}\!}$
${\displaystyle a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}+{0}+{1}e^{\pm c_{1}x}+\cdots +b_{k}e^{k}e^{\mp c_{k}x}x}\!}$	${\displaystyle D^{n+1}(D\mp c_{1}).\cdots .(D\pm c_{k}\!}$

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 표에 제시된 표현들의 합으로 구성되어$$ 있다면, 전멸자는 해당 전멸자의 산물이다.

예

$y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (k}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ y$'-4y'+5y=\sin(kx$ $P{\displaystyle (D)}$= ${\displaystyle {D\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \mathrm{D}}$+ 5 ${\displaystyle P(D)=D^{2}-4D+5$${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$ $){\displaystyle \sin(kx)}$의 가장 간단한 전멸기는 $A$(D) = D ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$The zeros of ${\displaystyle A(z)P(z)}$ are ${\displaystyle \{2+i,2-i,ik,-ik\}}$, so the solution basis of ${\displaystyle A(D)P(D)}$ is ${\disp$$레이스타일 \{y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\}\}=\{e^{(2+i)x},e^{ikx},e^{ikx},e^{-ikx}\}.$$}$

설정 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 3 y ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$+ c ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}y_{$1}+c_{2}+c_{3}y_{3$}y_{3$}+c_{4$}$}}y_{4}}}$ 찾음$$

${\displaystyle {\begin}\sin(kx)&=P(D)y\\[8pt]&=P(D)(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}}y_{4})\\[8pt]&=c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}+c_{3}P(D)y_{3}+c_{4}P(D)y_{4}\\[8pt]&=0+0+c_{3}(-k^{2}-4ik+5)y_{3}+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)y_{4}\\[8pt]&=c_{3}(-k^{2}-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))\end{aligned}}}$

시스템 부여

${\displaystyle i=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(-k^{2}+4ik+5)c_{4}}c_{4}}$

${\displaystyle 0=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(k^{2}-4ik-5)c_{4}}}}{4}}}$

해결책이 있는

${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle i\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}({}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$+ 4 ${\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}}$- ${\displaystyle \frac{5}{}}$) ${\$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$4 = ${\displaystyle i\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}(}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}{k\mathrm{}}^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle \frac{i}{}}$+ ${\displaystyle \frac{5}{}}$) ${\$ c_{$4}={2{k^{2}+4ik+5}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

솔루션 세트 제공

${\displaystyle {\fraged}y&=c_{1}y_{1}+c_{2}+{2}+{2}+{2(k^{2}+4ik-5)}{2(k^{2}+4ik-5)}Y_{3}+{2(-k^{22k^{2}+4ik+5))}}y_{4}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)-(k^{2}-5)\sin(kx)}{(k^{2}+4ik-5)(k^{2}-4ik-5)}}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}.\end{정렬}}}$

이 용액은 균질하고 비균질적인 부분으로 나눌 수 있다.In particular, ${\displaystyle y_{p}={\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}}$ is a particular integral for the nonhomogeneous differential equation, and ${\displaystyle y_{c}=c_{1}y_{$$1}+c_{2}y_{2}}:$ 해당 동종 방정식에 대한 보완용액이다$$.$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}의 값은 대개 초기 조건 집합을 통해 결정된다$$.이것은 2차 방정식이기 때문에 이러한 값을 결정하기 위해서는 두 가지 조건이 필요하다.

기본 솔루션 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle i^{}}$) ${\displaystyle x^{}}$ ${\$${\displaystyle i^{}}$$)x}$ 및 ${\displaystyle y_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= e${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 2^{}}$- i${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$는 오일러의 공식으로 추가로 다시 작성할 수 있다$$.

${\displaystyle e^{(2+i)x}=e^{2x}e^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)}$

${\displaystyle e^{(2-i)x}=e^{2x}e^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)}$

Then ${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_{2}e^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_{1}+c_{2})e^{2x}\cos x+i(c_{1}-c_{2$$}}e^{2x}\sin x}$및 상수의 적절한 재할당은 보완적 해결책의 보다 간단하고 이해하기 쉬운 형태를 제시하며, $y{\displaystyle {}_{}}$= e ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \sin }$ x${\displaystyle }$) ${\displaysty y_{c}=e^{2x}(c_{1}\cos x+c_{$2}){$2$}{2}$}}\sin$ x$)\}.$