미결정계수법

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
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분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
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v t

수학에서 미결정 계수의 방법은 특정 비균질 일반 미분방정식과 재발 관계에 대한 특정 해결책을 찾는 접근법이다. 전멸기법과 밀접한 관계가 있지만, 특정 용액의 가능한 최선의 형태를 찾기 위해 특정한 종류의 미분 연산자(전멸기)를 사용하는 대신, 적절한 형태에 대해 "가제"를 하고, 그 다음 결과 방정식을 구별하여 시험한다. 복잡한 방정식의 경우, 전멸기 방법이나 파라미터의 변동은 수행하는 데 시간이 덜 걸린다.

결정되지 않은 계수는 특정 형태를 따르는 미분방정식에만 적용되므로 모수의 변동만큼 일반적인 방법이 아니다.^[1]

방법 설명

폼의 선형 비균형 일반 미분 방정식 고려

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)=g(x)}$

$여기$서 $y{\displaystyle {}^{}}$($){\$ y$^{(i)}}}$는 y {\$displaystyle$ y$\},$ c i {\$displaystyle c_{i}$는 x {\$displaystyle$ x$}$의 $함수$를 의미한다$.$

결정되지 않은 계수의 방법은 다음의 두 가지 기준을 충족했을 때 이 ODE에 대한 해결책을 얻을 수 있는 간단한 방법을 제공한다.^[2]

1. ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 상수다.
2. g(x)는 상수, 다항함수 eα $x{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ e$^\{\backslash$$displaystyle$ x}, $사인$ 또는 코사인 함수 ${\displaystyle \sin \beta }$ x ${\$$\cos$} 또는$$ ${\displaystyle \cos }$ β${\displaystyle \beta }$x {\$displaysty$ \$cos$$},$ 또는 이러한 함수의 유한합산($\$,$${\colums, {\$cape$, {\$capeproduct$)이다$.$$tyle{\message }}$ 상수$$).

이 방법은 보완 선형 동질 미분 방정식에 대한 일반$$ 동질 솔루션 ${\displaystyle y_{}}$ ${\$를 찾는 것으로 구성된다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{n+1)=0,}$

$그리고{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g(x)}$에 기초한 선형 비균형 일반 미분 방정식의 특정$$ 적분 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$$\}.$ 그러면 선형 비균형 일반 미분식에 대한$$ 일반 $용액{\displaystyle }$ y ${\displaystyle$ y$}$은 다음과 같을 것이다.

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$^[3]

If ${\displaystyle g(x)}$ consists of the sum of two functions ${\displaystyle h(x)+w(x)}$ and we say that ${\displaystyle y_{p_{1}}}$ is the solution based on ${\displaystyle h(x)}$ and ${\displaystyle y_{p_{2}}}$ the solution based on ${\displ$$aystyle w(x$ 그렇다면 중첩 원리를 이용하여 특정 적분 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$라고^[3] 말할 수 있다.

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}+y_{p_{2}}.}$

특정 적분의 일반적인 형태

특정 적분을 찾으려면 일부 계수를 해결해야 할 변수로 남겨둔 채 그 형태를 '가성'해야 한다. 이것은 보완함수의 첫 번째 파생상품의 형태를 취한다. 아래는 몇 가지 전형적인 기능과 그것들을 추측할 수 있는 해결책의 표 입니다.

x의 함수	y 형식
$ke^{ax}\!}$	$Ce^{ax}\!}$
${\displaystyle kx^{n},\n=0,1,2,\ldots \!}$	${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}K_{i}x^{i}\!}$
${\displaystyle k\cos(ax){\text{ 또는 }k\sin(ax)\!}$	$K\cos(ax)+M\sin(ax)\!}$
${\displaystyle ke^{ax}\cos(bx){\text{ 또는 }ke^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx)\!}$
${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n_{i^}x^{i}\right)\cos(bx){\x{\text{ 또는 }}\\좌(\sum _{i=0}^{n_{n}k_{x^{i}\ri)\!}$	${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}Q_{n}x^{i}\right)\cos(bx)+\cos(bx)+\reft(\sum _{i=0}^{n}R_{n}x^{i}\ri)\sin(bx)}$
${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}k_{n}x^{i}\right)e^{ax}\cos(bx){\cos(bx){\comput(\sum_{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\!}$	${\displaystyle e^{ax}\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{n}x^{i}\right)\cos(bx)+\cos(bx)+\reft(\sum _{n}R_{i}x^{i}\rig)\sin(b)\rig)}$

위의 y에 대한 특정 적분된 용어가 동질적 용액에 나타나는 경우, 솔루션을 독립적으로 만들기 위해 x의 충분한 큰 힘으로 곱할 필요가 있다. x의 함수가 위 표의 항의 합인 경우, y에 대한 해당 항의 합을 사용하여 특정 적분을 추정할 수 있다.^[1]

예

예 1

방정식의 특정 적분 찾기

$y'+y=t=cos t.}$

오른쪽 t cos t는 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle P_{n}e^{\alpha t}\cos{\beta t}}$

n = 2, α = 0 및 β = 1인 경우.

α + β = i는 특성 방정식의 단순한 뿌리이기 때문이다.

${\displaystyle \lambda ^{2}+1=0}$

우리는 그 양식의 특정한 일체형을 시도해야 한다.

${\displaystyle {\displaysty}y_{p}&=t\left[왼쪽]F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}\\cos {\\\beta t}\cos\\\\\cos\\\\\\\\\beta t}\\\\\\\&=t\왼쪽[왼쪽]F_{1}(t)\cos t+G_{1}(t)\sin t\right]\\&=t\왼쪽[\왼쪽(A_{0}t+)A_{1}\오른쪽)\cos t+\왼쪽(B_{0}t+B_{1}\오른쪽)\sin t\right]\\&=\왼쪽(A_{0}t^{2}+)A_{1}t\오른쪽)\cos t+\왼쪽(B_{0}t^{2}+B_{1}t\오른쪽)\sin t.\end{정렬}}}$

y를_p 미분방정식으로 대체하면, 우리는 정체성을 가지게 된다.

${\displaystyle {\begin}t\cos t&=y_{p}"+y_\p}\&=\왼쪽[A_{0}t^{2}+A_{1}t\오른쪽)\cos t+\좌측(B_{0}t^{2}+B_{1}t\우측)\sin t\우측]+\좌측[A_{0}t^{2}+A_{1}t\오른쪽)\cos t+\왼쪽(B_{0}t^{2}+B_{1}t\오른쪽)\sin t\right]\\&=\왼쪽[2]A_{0}\cos t+2\왼쪽(2A_{0}t+)A_{1}\오른쪽)(-\sin t)+\왼쪽(A_{0}t^{2}+A_{1}t\오른쪽)(-\cos t)+2B_{0}\sin t+2\좌측(2B_{0}t+B_{1}\우측)\cos t+\좌측(B_{0}t^{2}+B_{1}t\우측)\cos t+\좌측(-\sin t)\우측]\&\qquad +\왼쪽[\왼쪽(A_{0}t^{2}+)A_{1}t\오른쪽)\cos t+\왼쪽(B_{0}t^{2}+B_{1}t\오른쪽)\sin t\right]\\&=[4B_{0}t+(2A_{0}+2B_{1})]\cos t+[-4A_{0}t+(-2A_{1}+2B_{0}})\sin t.\end{정렬}}}$

양쪽을 비교해 보면,

${\displaystyle {\display}1=4B_{0}\\0=2A_{0}+2B_{1}\\0=-4A_{0}\\0=-2A_{1}+2B_{0}\case}}}}$

해답이 있는

${\displaystyle A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={\frac {1}{1}}}{4}},\quad B_{1}=0.}$

그리고 나서 우리는 특별한 통합물을 가지고 있다.

${\displaystyle y_{p}={\frac {1}{4}}{4}t\cos t+{\frac {1}{4}t^{2}\sin t.}$

예 2

다음과 같은 선형 비균형 미분 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=y+e^{x}.}$

이는 위의 첫 번째 예와 같다. 단, 비균질 부분(${\displaystyle e^{}}$ x ${\$ e$^{x$이 동질 부분의 일반적인 해법(${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\displaystyle e^{}}$ x ${\$에 선형적으로 독립적이 되도록 충분히 큰 x의 힘을 곱해야 한다.$$…을 수반하다

여기서 우리의 추측은 다음과 같다.

${\displaystyle y_{p}=액스^{x}.}$

이 함수와 그 파생상품을 미분방정식으로 대체함으로써 A:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\왼쪽(Axe^{x}\오른쪽)=액스^{x}+e^{x}}}}$

${\displaystyle Ax^{x}+Ae^{x}=액스^{x}+e^{x}}}}$

$(\displaystyle A=1)}$

따라서 이 미분 방정식의 일반적인 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.}$

예 3

방정식의 일반적인 해답을 찾으십시오.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}=t^{2}-y}$

${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$도는$$ 도 2의 다항식이기 때문에 동일한 형태를 사용하여 솔루션을 찾는다.

${\displaystyle y_{p}=At^{2}+Bt+C,}$

이 특정 함수를 원래 방정식에 연결하면

${\displaystyle 2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),}$

${\displaystyle 2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,}$

${\displaystyle (A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.}$

다음과 같은 이점을 제공한다.

${\displaystyle A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.}$

얻은 상수에 대한 해결 방법:

${\displaystyle y_{p}=t^{2}-2t+2}$

일반적인 해결책을 찾기 위해,

${\displaystyle y=y_{p}+y_{c}}$

여기서 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$는 동질적 $솔루션{\displaystyle {}_{}}$y = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}^{}{}_{}{}^{}}$ - ${\displaystyle t^{}}${\$displaystyle y_{c}=c_{1$}e$^{-t$ 따라서 일반적인 솔루션은 다음과 같다.

${\displaystyle y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}}}$

참조

• Boyce, W. E.; DiPrima, R. C. (1986). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.
• Riley, K. F.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Ordinary Differential Equations. Dover. ISBN 978-0-486-64940-5.
• de Oliveira, O. R. B. (2013). "A formula substituting the undetermined coefficients and the annihilator methods". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 44 (3): 462–468. Bibcode:2013IJMES..44..462R. doi:10.1080/0020739X.2012.714496. S2CID 55834468.