주요 이상에 대한 오름차순 체인 조건

추상대수학에서 오름차순 사슬 조건은 반지의 주좌우, 주우우우 또는 주양면 이상에 적용되며 부분적으로 포함에 의해 정렬된다.주된 이상(ACCP로 약칭)의 상승 체인 조건은 링에 주어진 유형(좌/우/양측)의 주 이상(주요 이상)의 무한 엄밀하게 상승 체인이 존재하지 않거나, 또 다른 방법으로 말하면, 모든 상승 체인은 결국 일정하게 된다.

상대적인 내림차인 조건은 이러한 포지션에도 적용될 수 있지만, 그러한 링은 이미 왼쪽 또는 오른쪽의 완벽한 링이라고 불리기 때문에 현재 "DCCP"라는 용어는 필요하지 않다.(아래 § 비커뮤테이션 링을 참조하십시오.)

노메테리아 링(예: 주요 이상 도메인)이 대표적인 예지만, 일부 중요한 노메테리아 링이 아닌 중요한 노메테리아 링도 ACP를 만족시키며, 특히 독특한 요인화 도메인과 왼쪽 또는 오른쪽의 완벽한 링을 만족시킨다.

정류 링

노메테리아 적분영역 인자의 0이 아닌 단위는 무적합성이라는 것은 잘 알려져 있다.이에 대한 증명은 (ACCP)에만 의존하며 (ACCP)는 그렇지 않다. 따라서 (ACCP)와 통합된 모든 영역에는 (ACCP)를 가진 불가해한 요소화가 존재한다.(즉, (ACCP)를 가진 모든 통합 도메인은 원자적이다.그러나 그 반대는 (1974년)에 나타난 바와 같이 거짓이다.그러한 요소화는 독특하지 않을 수 있다; 요소화의 고유성을 확립하는 일반적인 방법은 유클리드 보조기구를 사용하는데, 이는 요소들이 그저 돌이킬 수 없는 것이 아니라 가장 중요한 것이어야 하는 것이다.실제로 A를 필수 영역으로 삼으라는 특징이 있다.그렇다면 다음과 같다.

1. A는 UFD이다.
2. A은 만족(ACCP)하며, A의 모든 불가해한 것은 프라임이다.
3. A는 ACP(Accessful GCD domain)이다.

소위 나가타 기준은 ACP 만족(ACCP)을 위한 것이다: S는 원시 요소에서 생성되는 A의 곱절적으로 닫힌 부분집합이 되도록 한다.국산화 SA가⁻¹ UFD라면 A. (나가타 1975, Lemma 2.1) (이것의 역은 사소한 것이라는 점에 유의)

일체형 도메인 ACCP는 다항식 링 A[t]가 충족되는 경우에만 충족된다.^[1]A가 불가결한 도메인이 아니라면 유사한 사실은 거짓이다.(Heinzer & Lantz 1994)

모든 세부적으로 생성된 이상이 주체(즉, 베즈아웃 도메인)인 경우 ACP(주요 이상 도메인)를 충족하는 통합 도메인이다.^[2]

일체형 상수항을 갖는 모든 합리적 다항식의 링 Z+XQ[X]는 주요 이상 사슬에 대한 ACP(실제로는 GCD 도메인)를 충족하지 못하는 통합 도메인(ACCP)의 예다.

$[\displaystyle (X)\subset (X/2)\subset (X/4)\subset (X/8),...}$

비파괴적이다.

비커밋 링

비확정적인 경우, 오른쪽 ACP와 왼쪽 ACP를 구별할 필요가 있다.전자는 상승 체인 조건을 만족시키기 위해 xR 형식의 이상 포셋만 요구하고 후자는 Rx 형식의 이상 포셋만 검토한다.

현재 "Bass's Organization P"로 알려진 (Bass 1960년)의 하이만 바스의 정리는 반지 R의 주요 왼쪽 이상에 대한 하강 체인 조건이 R이 오른쪽 완벽한 반지라는 것을 보여주었다.D. 요나는 (조나 1970)에서 ACP와 완벽한 링 사이에 사이드스위치 연결이 있음을 보여주었다.R이 오른쪽 완벽(오른쪽 DCCP 만족)이면 R이 왼쪽 ACCP를 만족하고, 대칭적으로 R이 왼쪽 완벽(왼쪽 DCCP 만족)이면 오른쪽 ACCP를 만족하는 것으로 나타났다.대화 내용은 사실과 다르며, 위의 "좌"와 "우" 사이의 스위치는 오타가 아니다.

ACP가 R의 오른쪽 또는 왼쪽을 잡든, 그것은 R이 0이 아닌 직교 특이점 무한 세트를 가지고 있지 않으며, R이 데데킨드 유한 고리라는 것을 암시한다. (Lam 1999, 페이지 230–231)

참조

• Bass, Hyman (1960), "Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings", Trans. Amer. Math. Soc., 95: 466–488, doi:10.1090/s0002-9947-1960-0157984-8, ISSN 0002-9947, MR 0157984
• Grams, Anne (1974), "Atomic rings and the ascending chain condition for principal ideals", Proc. Cambridge Philos. Soc., 75: 321–329, doi:10.1017/s0305004100048532, MR 0340249
• Heinzer, William J.; Lantz, David C. (1994), "ACCP in polynomial rings: a counterexample", Proc. Amer. Math. Soc., 121 (3): 975–977, doi:10.2307/2160301, ISSN 0002-9939, JSTOR 2160301, MR 1232140
• Jonah, David (1970), "Rings with the minimum condition for principal right ideals have the maximum condition for principal left ideals", Math. Z., 113: 106–112, doi:10.1007/bf01141096, ISSN 0025-5874, MR 0260779
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Nagata, Masayoshi (1975), "Some types of simple ring extensions" (PDF), Houston J. Math., 1 (1): 131–136, ISSN 0362-1588, MR 0382248^{[영구적 데드링크]}