비대칭관계

타동사 이항 관계
대칭 비대칭 연결된 근거가 충분한 조인 있음 Has meets 반사적 불변성 비대칭 합계, 세미콘넥스 반(Anti-) 반사적인 등가관계 Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 프리오더(Qaasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 부분순서 ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 총예약자 ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 총순번 ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 프리웰오더링 ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 웰 준주문 ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 순서가 좋은 ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 격자 ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ 조인-세밀라티스 ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ 밋세밀라티스 ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ 엄격한 부분 순서 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 엄약질서 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 엄격한 총계순서 ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 대칭 비대칭 연결된 근거가 충분한 조인 있음 Has meets 반사적 불변성 비대칭 정의, ${\displaystyle \mathrm{모든}}a{\displaystyle }$ , b ${\displaystyle a,b}$ 및 $S$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \ne }$: ${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aigned}&aRb\\\오른쪽 화살표 {}&bRa\end{aigned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aigned}aRb{\text{} 및 }}&bRa\\\\Rightarrow a={}&b\end}}}}$ ${\displaystyle {\begin}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{} 또는 }&bRa\end{aigned}}}}$ ${\displaystyle {\begin}\min S\\{\textists}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\regated}a\vee b\\\{\text}}\end{regated}}}$ ${\displaystyle {\regated}a\b\\{\text}}\end{regated}}}$ $(\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aigned}aRb\Rightarrow \\{\text{not}bRa\end{aigned}}}$
Y는 행의 용어(맨 왼쪽)의 정의에 의해 열의 속성이 요구됨을 나타낸다.예를 들어, 동등성 관계의 정의는 대칭성을 요구한다.✗은 그 재산이 보유할 수도 있고 보유하지 않을 수도 있음을 나타낸다.${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 정의는 암묵적으로 동종 ${\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$을(를) 타전적으로 요구하며$$, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$$$ $a{\displaystyle }$, $b$,$c$, ${\$$displaystyle aRb}$ 및 b$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle bRc}$이(가)${\displaystyle }$R$$c , {\$displaystystystyle aRc}$에 해당될 수 있는 추가 속성이 있다.

수학에서 비대칭 관계는 $세트{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 $이진{\displaystyle }$ 관계 R${\$$displaystyle R$이며, 여기서$$ 모든 $a{\displaystyle ,}$ b$,b\in$ X$}$에 대해 ${\displaystyle$ $a}$이(가) $b{\displaystyle }$ ${\displaystysty b}$과(와) 관련이 $있으면$ b ${\displaystystysty.$

형식 정의

A binary relation on ${\displaystyle X}$ is any subset ${\displaystyle R}$ of ${\displaystyle X\times X.}$ Given ${\displaystyle a,b\in X,}$ write ${\displaystyle aRb}$ if and only if ${\displaystyle (a,b)\in R,}$ which means that ${\displaystyle aRb}$ isshorthand for ${\displaystyle (a,b)\in R.}$ The expression ${\displaystyle aRb}$ is read as "${\displaystyle a}$ is related to ${\displaystyle b}$ by ${\displaystyle R.}$" The binary relation ${\displaystyle R}$ is called asymmetric if for all ${\displaystyle a,b\$$in X,}$ if ${\displaystyle aRb}$ is true then ${\displaystyle bRa}$ is false; that is, if ${\displaystyle (a,b)\in R}$ then ${\displaystyle (b,a)\not \in R.}$ This can be written in the notation of first-order logic as

논리적으로 동등한 정의는 다음과 같다.

모든 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ a$,b\in$ X$,}$에 대해 적어도$$ ${\displaystyle \mathrm{하나}}$의 ${\displaystyle R}$b {\$displaystyle aRb}$ ${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle b}$ R$$a {\$displaystyle bRa}$은(는) 거짓이며,

1차 논리에서는 다음과 같이 쓸 수 있다.

비대칭 관계의 예로는 사이의 "미만" 관계< ${\$ x < ${\displaystyle x<y}$인 경우 반드시 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y}이$($$가{\displaystyle }$) x${\displaystyle }$. ${\displaystyty$ x$.}$보다 작지 않다$$.$$ 반면에$$ "보다 작거나 같은" 관계인${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle \,\leq ,}$은(는) 비대칭이 아니다. 예를 들어, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\$$displaystyle$ x$\leq$ x$}$을(를) 역전시키면 $display$ x {\$displaysty$ x$\leq x}$가 생성되고 둘 다 참이기 때문이다.비대칭은 "대칭이 아니다"와 같은 것이 아니다. 즉, 대칭도 비대칭도 아닌 관계가 대칭도 비대칭도 아닌 관계의 예다.빈 관계는 대칭과 비대칭 둘 다에 있는 유일한 관계다.

특성.

• 관계란 비대칭적이고 불변적인 경우에만 비대칭이다.^[2]
• 비대칭 관계의 제약과 대화도 비대칭이다.예를 들어 리얼에서 정수까지의 <{\$디스플레이$ 스타일 $\,<\}$의 제한은 여전히 비대칭이며 $<<\$ 스타일 $\,>$의 역> ${\$ 스타일 $\,\}$도 비대칭이다.
• Transitive 관계는 R ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle aRb}$ 및 $b$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle bRa}$이(가) ${\displaystyle R}$에${\displaystyle ,}$ {\displaystyle $aRa}$이(가) R에,^[3] ${\displaysty$ ARa}을(가)를$$ 나타내는 경우에만 비대칭이다.
• 결과적으로 관계는 엄격한 부분 순서인 경우에만 전이적이고 비대칭적이다.
• 모든 비대칭적 관계가 엄격한 부분적 명령은 아니다.비대칭 비변환성, 심지어 반대되는 관계의 예로는 가위바위보 관계를 들 수 있다: X ${\displaystyle$ $X$$}$이($가{\displaystyle }$) $Y{\displaystyle }$, ${\$$displaystyle$ $Y$$}$을(를) 이기면$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $X{\displaystyle ;}$ ${\$$displaystystyle$ $Y}$와 $Y$를 이긴다$$$.$$르$ $Y}$이${\displaystyle (}$가) $Z{\displaystyle }$ , ${\$$displaystyle Z$를 누르고$,$ 그러면$$$$ X {\displaystyle X$}$이$($$가$)${\displaystyle }Z{\displaystyle }$ . ${\$displaystyle $Z$를 이기지 $않는다$.$}$
• 비대칭 관계는 커넥넥스 속성을 가질 필요가 없다.예를 들어 엄격한 부분 집합 관계${\displaystyle }$⊊ ${\$은(는) 비대칭이며$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle 1,2\}}$ ${\displaystyle \{1$$,$$2\}$과$)$ {3,4$}{3}{\displaystystyle$\}은 다른 세트의 엄격한 부분 집합이다$$.관계는 그것의 보완이 비대칭인 경우에만 연결된다.

참고 항목

• Tarski의 리얼에 대한 공리화 - 이것의 일부는 실수에 대한< ${\$가 비대칭이어야 한다는 요건이다.

참조