자기공명성

확률 이론과 통계학에서 확률적 공정이 주어진 경우, 자기자신을 시점 쌍으로 하는 공정의 공분산을 주는 함수다. 자기 분산은 해당 프로세스의 자기 상관과 밀접하게 관련되어 있다.

확률적 공정의 자동 공분산

정의

With the usual notation $\operatorname {E}$ for the expectation operator, if the stochastic process $\left\{X_{t}\right\}$ has the mean function $\mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]$ , then the autocovariance is given by^[1]^{: p. 162}

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}

(Eq.1)

여기서 $t_{1}$ $t_{1}$ ${\$ 및 $t_{1}$ $t_{2}$ $t_{2}$ ${\$ }}분은 시간의 두 순간이다 $t_{2}$ .

약하게 정지된 공정에 대한 정의

$\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ ${\$ 이(가) 약하게 정지된(WSS) 프로세스라면 $\left\{X_{t}\right\}$ 다음이 참이다.^[1]^{: p. 163}

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

=

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

t

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

t

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

μs {\

displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_2}}\mu \mu

t_{1},t_{2}

t_{1},t_{2}

2 {\

displaystyty

t_{1

},t_{2}}:

모든

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

t_{1},t_{2}

, t.

그리고

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

E

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

[

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

<

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

\operatorname {E

[

X_{t} ^{2}]<\inflt }

모든 t

{\displaystyty t}

에

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

대한 }

그리고

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),

여기서 $\tau =t_{2}-t_{1}$ = $\tau =t_{2}-t_{1}$ $\tau =t_{2}-t_{1}$ - $\tau =t_{2}-t_{1}$ $\tau =t_{2}-t_{1}$ ${\$ 는 신호가 이동된 시간 또는 지연 시간이다 $\tau =t_{2}-t_{1}$ .

따라서 WSS 프로세스의 자기 분산 함수는 다음을 통해 제공된다.^[2]^{: p. 517}

\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }

(Eq.2)

에 해당하는

\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}

.

정규화

시간 의존적인 Pearson 상관 계수를 얻기 위해 자기 분산 함수를 정규화하는 것은 일부 분야(예: 통계 및 시계열 분석)에서 일반적인 관행이다. 그러나 다른 분야(예: 엔지니어링)에서는 보통 정규화가 삭제되고 "자동 상관"과 "자동 분산"이라는 용어가 상호 교환적으로 사용된다.

확률적 공정의 표준화된 자동 상관성의 정의는 다음과 같다.

{\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {

\operatorname {E}[(X_{t_{1}-\mu_{2}}-{t_{

2}}-\

mu_{t_{2}})]{\sigma _{t_{1}}{{t_

}}}}}{{

t_

함수 $\rho _{XX}$ $\rho _{XX}$ ${\$ 가 잘 정의되어 있으면 $\rho _{XX}$ 그 값은 $[-1,1]$ [ $[-1,1]$ - $[-1,1]$ , $[-1,1]$ $[-1,1]$ ${\displaystyle [-1,1]$ 의 범위에 있어야 하며, 1은 완벽한 상관 관계를 나타내고 -1은 완벽한 반 상관 관계를 나타낸다.

WSS 프로세스의 경우 정의는

\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}

.

어디에

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

(

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

)

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

=

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

{\

}}.

특성.

대칭 특성

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1}}}}}}}}}}}}

^[3]^{: p.c.}

WSS 프로세스의 경우 각각:

\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}

^[3]^{: p.c.}

선형 필터링

선형 필터링된 프로세스 $\left\{Y_{t}\right\}$ { $\left\{Y_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ ${\$ 의 자기 분산 $Y_{t}\오른쪽\}}$

Y_{t}=\sum _{k=-\ft }^{\nothy }a_{k}X_{t+k}\,

이다

K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\ft }^{\infit }a_{l}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l)\,

난류 확산도 계산

자기 분산은 난류 확산도를 계산하는 데 사용될 수 있다.^[4] 흐름의 난류는 공간과 시간의 속도 변동을 일으킬 수 있다. 따라서, 우리는 그러한 변동의^{[citation needed]} 통계를 통해 난기류를 확인할 수 있다.

레이놀즈 분해는 속도변동 $u'(x,t)$ $u'(x,t)$ ( $u'(x,t)$ , $u'(x,t)$ ) $u'(x,t)$ 을(를) 정의하는 데 사용된다( $u'(x,t)$ 현재 1D 문제로 작업 중이며 U $U(x,t)$ ( $U(x,t)$ , $U(x,t)$ ) $U(x,t)$ 는 $x$ ${\displaystyty x}$ 방향을 $x$ 따르는 속도라고 $U(x,t)$ 가정한다).

U(x,t)=\langle U(x,t)\랑글 +u'(x,t),

$\langle U(x,t)\rangle$ 서 $U(x,t)$ $U(x,t)$ , t $U(x,t)$ ) $U(x,t)$ 은(는) 실제 속도이고 $U(x,t)$ , $\langle U(x,t)\rangle$ U $\langle U(x,t)\rangle$ , $\langle U(x,t)\rangle$ ) $\langle U(x,t)\rangle$ $\langle U(x,t)\rangele$ 은 $\langle U(x,t)\rangle$ (는) 속도의 예상 값이다. If we choose a correct $\langle U(x,t)\rangle$ , all of the stochastic components of the turbulent velocity will be included in $u'(x,t)$ . To determine $\langle U(x,t)\rangle$ , a set of velocity measurements that are assembled from po우주 공간, 시간의 순간 또는 반복적인 실험이 필요하다.

난류유속 $\langle u'c'\rangle$ flux $\langle u'c'\rangle$ u $\langle u'c'\rangle$ { { $\langle u'c'\rangle$ \ \ $displaystyle \langle uc'\rangele }($ $c'=c-\langle c\rangle$ $c'=c-\langle c\rangle$ = $c'=c-\langle c\rangle$ - c - c - $c'=c-\langle c\rangle$ $c'=c-\langle c\rangle$ $c'=c-\langle c\rangle$ { { { { { $\langle c'=c-\rangele$ $c'=c-\langle c\rangle$ c는 농도 용어)가 난류라고 가정하면, 다음과 같은 난류유속도를 표현할 수 있다.

J_{\text{turbulence}_{x}}=\langle uc'\angle \langle \langle \c}{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}}}.

속도 자기 분산은 다음과 같이 정의된다.

K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle

or

K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,

$\tau$ 서 ▼ $\tau$ 은 $\tau$ (는) 지연 시간이고 $r$ $r$ 은 $r$ 지연 거리임.

난류 확산도 $D_{T_{x}}$ T $D_{T_{x}}$ ${\$ 은(는) 다음 3가지 방법을 사용하여 계산할 $D_{T_{x}}$ 수 있다.

라그랑가 궤적을 따라 속도 데이터가 있는 경우:
$D_{T_{x}}=\int_{\tau }^{\not_u'(t_{0})u'(t_{0}+\,d\tau .}$
하나의 고정(Eulerian) 위치에^{[citation needed]} 속도 데이터가 있는 경우:
$D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
두 개의 고정된 (Eulerian) 위치에^{[citation needed]} 속도 정보가 있는 경우:
$D_{T_{x}}\약 [0.4\pm 0.1]\왼쪽[{\frac {1}{{1}{\langle u'\langle }}}}\int_{r}^{}{r}{{0}}}u''(x_{0}+r)\,dr,dr,$
여기서 $r$ $r$ 은 $r$ (는) 이 두 고정된 위치에 의해 분리된 거리다.

랜덤 벡터의 자동 공분산

참고 항목

참조

^ ^a ^b Hsu, Hwei (1997). Probability, random variables, and random processes. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
^ Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5.
^ ^a ^b 박군일, 스프링거, 2018, 978-3-319-68074-3 통신에 응용한 확률과 확률 프로세스의 기초
^ Taylor, G. I. (1922-01-01). "Diffusion by Continuous Movements" (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. s2-20 (1): 196–212. doi:10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN 1460-244X.

추가 읽기

Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (Fifth ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
WHOI의 자기 분산에 대한 강의 노트

[HweiHsu-1] Hsu, Hwei (1997). Probability, random variables, and random processes. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.

[Lapidoth-2] Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5.

[KunIlPark-3] 박군일, 스프링거, 2018, 978-3-319-68074-3 통신에 응용한 확률과 확률 프로세스의 기초

[4] Taylor, G. I. (1922-01-01). "Diffusion by Continuous Movements" (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. s2-20 (1): 196–212. doi:10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN 1460-244X.

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