자동형인자

수학에서, 자동형 인자는 모듈형 형태 이론에 나타나는 SL(2,R)의 하위그룹에 정의되는 특정한 유형의 분석함수다.일반 집단에 대해서는 '자동포피의 요인'이라는 글에서 일반적인 사례를 검토한다.

정의

중량 k의 자동형 인자는 함수다.

아래 주어진 4가지 특성을 만족한다.여기서 $표기법{\displaystyle \mathbb{}}$ H ${\$ $}$과($)$ C {\$displaystyle$ \mathb ${C}은($는) 각각 상부 하프 평면과 복합 평면을 가리킨다$$.$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$라는 표기법은 예를 들어 후치안 그룹과 같은 SL(2,R)의 하위 그룹이다.요소$$ ${\displaystyle \mathrm{element}}$ ${\displaystyle \in }$ { { ${\displaystyle \gamma \in \Gamma}$는 2×2 행렬이다.a, b, c, d 실수로 ad-bc=1을 만족한다.

자동형 인자는 다음을 충족해야 한다.

1. 고정 ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \in }$ { ${\displaystyle \gamma \in \Gamma$ \in $\$${\displaystyle \mathrm{Gamma}}$ $\backslash \},$ 함수 ${\displaystyle \nu }$(ν ,${\displaystyle }$z${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $\$$nu$ $(\gamma ,z)$는 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$ {$H}의$홀모형 함수다$.$
2. 모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$과(${\displaystyle \mathrm{와}}$)${\displaystyle }${ { ${ display$ {\displaystyle \$gamma \in$ \Gamma$$$}$에 대해, 는 다음과 같다.
   $${\displaystyle \vert \nu(\ret;z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$$

   
   고정된 실제 번호 k에 대해.
3. 모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$및$$ } ,${\displaystyle \Delta }$ δ ${\displaystyle \mathrm{\delta }}$ δ$$δ ${\displaystyle \backslash }$ \ \ \ $\ del$ \delta $\in \Gamma }$에 대해$$hasa \$delta$ \delta \}는 다음과 같다.
   $$\displaystyle \nu(\displaystyle \nu,z)=\nu(\displaystyle \nu,\nu(\displaysty,z)}$$

   
   여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta z}$은 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$을(를) $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$만큼의 부분 선형 변환이다$.$
4. 만약${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{I}}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ \ ${\displaystyle -I\in \Gamma }$, 모든$$ ${\displaystyle z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ H ${\$ 및 ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \backslash }$ \ \ $\displaysty \gamma \},$\Displaystytime has has has \gamma \$in$ \gamma \in $\backslash$gamma.
   $$\displaystyle \nu(-\displaystyle \nu,z)=\nu(\deplaysty$$

   
   여기, 나는 정체성 매트릭스를 나타낸다.

특성.

모든 자동형 인자는 다음과 같이 기록될 수 있다.

$\displaystyle \nu(\displaystyle,z)=\upsilon(\disc)(cz+d)^{k}}}$

와 함께

$\displaystyle \vert \upsilon(\property )\vert =1}$

$\upsilon {\displaystyle }$ :${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{$1} $기능을$승수계라고 한다.분명히.

${\displaystyle \upsilon }$( ${\displaystyle I}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \upsilon (I)=1$

${\displaystyle \mathrm{반면}}$ - ${\displaystyle I}$ $-{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ { ${\displaystyle -I\in \Gamma$ $\},$

${\displaystyle \upsilon(-I)=e^{-i\pi k}}$

k가 정수일 때$$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$와 같다.

참조

• 로버트 랭킨, 모듈식 형식 및 기능, (1977) 케임브리지 대학교 출판부 ISBN0-521-212-X. (3장은 모듈 그룹의 자동형 인자에 전적으로 전념한다.)