선형 분수 변환

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술적 세부사항을 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2019년 3월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

수학에서 선형 부분 변환은 대략적으로 형태 변환이다.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d},}$

반비례한 거야정확한 정의는 a, b, c, d, z의 성질에 따라 달라진다.즉, 선형 분수 변환은 분자와 분모가 선형인 분수로 표현되는 변환이다.

가장 기본적인 설정에서 a, b, c, d, z는 복잡한 숫자(이 경우 변환을 뫼비우스 변환이라고도 함)이거나 더 일반적으로 한 분야의 요소들이다.그 다음, 반전성 조건은 광고 – BC bc 0이다.필드 위에서 선형 부분 변환은 투영 선의 투영적 변환 또는 동음이의 영역에 대한 제한이다.

a, b, c, d가 정수일 때(또는 더 일반적으로는 적분영역에 속할 때), z는 합리적인 수(또는 적분영역의 분수영역에 속할 때)로 한다.이 경우, 반전성 조건은 ad-bc가 도메인의 단위(정수의 경우 1 또는 -1)여야 한다는 것이다.^[1]

가장 일반적인 설정에서 a, b, c, d, z는 사각 행렬 또는 더 일반적으로 링의 요소들이다.이러한 선형 부분 변환의 예는 원래 3 x 3 실제 매트릭스 링에서 정의되었던 Cayley 변환이다.

선형 분수 변환은 고전 기하학, 숫자 이론(예를 들어, 페르마의 마지막 정리를 증명하는 와일스의 증거), 집단 이론, 제어 이론과 같은 수학의 다양한 영역에서 널리 사용된다.

일반적 정의

일반적으로, 선형 분수 변환은 링 A 위에 투영된 선인 P(A)의 동음이의어다.A가 정류 링일 때, 선형 분절 변환은 친숙한 형태를 가진다.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d},}$

여기서 a, b, c, d는 광고 – bc는 A의 단위(즉, 광고 – bc는 A에 승수 역이 있음)와 같은 A의 요소다.

비확장 링 A에서 (z²,${\displaystyle t}$)가 A인 경우, 유닛 u는 동등성 관계$({\displaystyle z,}$t ) ~ ${\displaystyle (uz}$, ${\displaystyle u}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (z,t)\sim (uz,ut$)을 결정한다$.$$}$ A 이상의 투영 라인에 동등성 클래스가 U[z,t]로 기록되며, 여기서 대괄호는 투영 좌표를 나타낸다.그런 다음 P(A) 원소의 오른쪽에 선형 부분 변환이 작용한다.

${\displaystyle U[z,t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}=U[za+tb,\zc+td]\심 U[zc+td)^{-1}(za+tb),\1].}$

이 링은 z → U[z,1]에 의해 투사선에 삽입되므로 t = 1은 통상적인 표현을 회복한다.U[za + tb, zc + td]는 연산을 위한 동등성 등급에서 어떤 요소를 선택하느냐에 따라 달라지지 않기 때문에 이러한 선형 분수 변환은 잘 정의된다.

선형 분수 변환은 그룹을 형성하며, ${\displaystyle \mathrm{PGL}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{1}(A$)로 표시된다$.$$}$

선형 부분 변환의$$ ${\displaystyle {\mathrm{PGL}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{1}(\mathb {Z}$) 그룹을 모듈 그룹이라고 한다.그것은 숫자 이론에 대한 수많은 적용 때문에 널리 연구되어 왔는데, 특히 페르마의 마지막 정리를 증명하는 와일스의 증거를 포함하고 있다.

쌍곡 기하학에서 사용

복잡한 평면에서 일반화된 원은 선 또는 원이다.무한의 점으로 완성하면 평면의 일반화된 원은 복잡한 투영선의 표현인 리만 구 표면의 원에 대응한다.선형 분수 변환은 이러한 원을 구체에서 허용하며, 복잡한 평면에서 일반화된 원의 유한한 점에 대응한다.

쌍곡면 모델을 구성하기 위해 단위 디스크와 상단 하프 평면을 사용하여 점을 표시한다.복합 평면의 이러한 하위 집합은 Cayley-Klein 메트릭과 함께 메트릭스를 제공한다.그런 다음 두 점 사이의 거리는 점을 통과하는 일반화된 원을 사용하여 모델에 사용된 부분 집합의 경계와 수직으로 계산한다.이 일반화된 원은 다른 두 지점에서 경계를 교차한다.네 점 모두 Cayley-Klein 메트릭스를 정의하는 교차 비율에 사용된다.선형 부분 변환은 교차 비율을 불변하게 하므로 단위 디스크나 상단 하프플레인을 안정적으로 유지하는 선형 부분 변환은 쌍곡면 메트릭 공간의 등거리 측정이다.앙리 푸앵카레가 이 모델들을 소개한 이후 그들은 그의 이름을 따서 이름이 지어졌다: 푸앵카레 디스크 모델과 푸앵카레 하프 평면 모델.각 모델에는 Mobius 그룹의 부분군인 등분수 집단이 있다: 디스크 모델의 등분수 집단은 SU(1, 1)이며, 상단의 반면의 경우 등분수 집단은 PSL(2,R)이며, 실제 입력과 결정이 있는 선형분수 변환의 투영적 선형 집단은 PSL(2,R)이다.1과 ^[2]같은

고등수학에서 사용하다.

뫼비우스 변환은 모듈러 집단의 작용에 따른 상부 반평면의 자동화를 기술하는 것과 같이 일반적으로 계속되는 분율 이론과 타원곡선과 모듈형식의 분석수 이론에서 나타난다.또한 선형 분수 변환에 의해 유도된 지오데틱 흐름이 복잡한 투사 공간을 안정적이고 불안정한 다지관으로 분해하고, 호로시클이 지오데틱에 수직으로 나타나는 호프파이브의 정석적인 예도 제공한다.진동의 작업 예제는 Anosov 흐름을 참조하십시오. 이 예에서는 지오디컬이 부분 선형 변환에 의해 제공됨

${\displaystyle {\pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}}}}}}$

a, b, c, d real과 ${\displaystyle \mathrm{함께}}$d -${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ad-bc=1$ 대략적으로 중심 다지관은 포물선 변환, 쌍곡선 변환에 의한 불안정한 다지관, 그리고 타원형 변환에 의한 안정 다지관에 의해 생성된다.

제어 이론에서 사용

선형 분수 변환은 제어 이론에서 기계 및 전기 공학에서 발전소-제어기 관계 문제를 해결하기 위해 널리 사용된다.^[3][4]선형분수변환과 레더페어 항성생산을 결합하는 일반적인 절차는 양자역학과 양자장 이론의 S-매트릭스 접근법, 매체에서의 음파 산란법(예: 오셀의 열선 및 잠수함)을 포함한 일반 미분방정식의 산란 이론에 적용할 수 있도록 한다.ns 등) 및 미분방정식의 산란 및 결합 상태의 일반 분석.여기서 3x3 매트릭스 구성요소는 유입, 경계 및 송신 상태를 가리킨다.아마도 선형 부분 변환의 가장 간단한 적용 예는 감쇠된 고조파 오실레이터의 분석에서 발생할 수 있다.또 다른 기본 애플리케이션은 프로베니우스 정규 형태, 즉 다항식의 동반 행렬을 얻는 것이다.

등정 속성

분할복제 숫자와 이중 숫자의 조합형 링은 각도와 "회전"을 나타내는 링으로 일반 복합 번호와 결합한다.각각의 경우에 가상 축에 적용되는 지수 지도는 (A, + )의 1-모수 그룹과 (U, × )의 단위 그룹 사이에 이형성을 생성한다.^[5]

$\displaystyle \exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\cHB j^{2}=+1,}$

${\displaystyle \exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\cHB \epsilon ^{2}=0,}$

$[\displaystyle \exp(yi)]=\cos y+i\sin y,\csi i^{2}=-1.}$

"각도" y는 호스트 링에 따른 쌍곡각, 경사각 또는 원형각이다.

선형 분수 변환은 발생기를 고려하여 등정 지도로 나타난다. 승법 역전 z → 1/z 및 부착 변환 z → z + b. 발전기가 모두 등정임을 보여줌으로써 등정성을 확인할 수 있다.번역 z → z + b는 기원의 변화로 각도에 차이가 없다.z → az가 일치하는지 확인하려면 a와 z의 극성분해를 고려한다.각 경우에 a의 각도가 z의 각도에 추가되어 등호 지도가 생성된다.마지막으로 z → 1/z가 ${\displaystyle \exp }$exp (y ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- y ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle b{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$- 1${\displaystyle \exp(yb)\exp(-yb),\quad$ b$^{2}=1,0,-1.}$을(으)로 보내기 때문에 역전은 순응적이다.

참고 항목

• 라구에르 변환
• 선형-수축 프로그래밍
• 제어 이론의 H-infinity 방법

참조

• B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov (1984) Modern Geometry — Methods and Applications, volume 1, chapter 2, §15 Conformal transformations of Euclidean and Pseudo-Euclidean spaces of several dimensions, Springer-Verlag ISBN 0-387-90872-2.
• 제프리 폭스 (1949) 하이퍼 복합 변수에 대한 기초 이론과 쌍곡면에서의 일치 매핑 이론, 마스터즈 논문, 브리티시 컬럼비아 대학.
• P.G. Gormley(1947) "철학적 투영과 쿼터니온의 선형 부분 변환 그룹", Royal Ilish Academy, 섹션 A 51:67–85.
• A.E. 모터 & M.A.F.로사(1998) "하이퍼볼릭 미적분", 적용 클리포드 알헤브라스 8(1):109부터 28까지, §4 컨포멀 변환, 119페이지.
• 츠루사부로 다카스(1941) 제민사메 베안드룽스웨이스 데르 타원드룽스웨이스 데르 타원스콘포르멘, 하이퍼볼리스첸 콘포르멘과 파라볼리스첸 콘포르멘 차동게오메트리, 2, 제국아카데미 절차 17(8): 330–8, MR14282 프로젝트 유클리드로부터의 링크
• Isaak Yaglom (1968) 기하학의 복잡한 번호, 130 & 157페이지, 학술지