자율융합정리

수학에서 자율융합정리는 연속적인 자율동력계통의 전지구적 무증상 안정성을 보장하는 조건을 명시한 관련 이론의 계열 중 하나이다.

역사

마르쿠스-야마베 추측은 연속적인 동력학 시스템의 전지구적 안정성을 위한 조건을 2차원으로 제시하기 위한 시도로 공식화되었다.그러나 마쿠스-야마베 추측은 자율적 융합 이론이 다루려고 하는 문제인 2 이상의 치수를 가지고 있지 않다.최초의 자율적 융합정리는 러셀 스미스에 의해 구성되었다.^[1]이 정리는 후에 마이클 리와 제임스 멀다운에 의해 정제되었다.^[2]

자율 수렴 정리 예

비교적 간단한 자율융합정리는 다음과 같다.

Let ${\displaystyle x}$ be a vector in some space ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, evolving according to an autonomous differential equation ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$. Suppose that ${\displaystyle X}$ is convex and forward invariant under ${\displaystyle$$f}$, and that there exists a fixed point ${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$ such that ${\displaystyle f({\hat {x}})=0}$. If there exists a logarithmic norm ${\displaystyle \mu }$ such that the Jacobian ${\displaystyle J(x)=$$D_{x}f}$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 값에 대해(x )< ${\displaystyle \mu(x)<0}}$을(를) 만족한$$ 다음$,$ $x{\displaystyle \hat{}}$ ${\$의 유일한 고정점이며$$, 세계적으로 증상이 안정적이다.^[3][4]

이 자율적인 융합 정리는 바나흐 고정점 정리와 매우 밀접하게 관련되어 있다.

자율 융합 작동 방식

참고: 이것은 어떻게 자율적인 융합 이론이 안정성을 보장하는지 직관적으로 설명하는 것이지, 엄밀하게 수학적으로 설명하는 것은 아니다.

위에서 제시한 예시 정리의 핵심은 벡터 규범에서 파생된 음의 로그 규범의 존재다.벡터 노먼은 미분 방정식이 정의된 벡터 공간의 점 사이의 거리를 효과적으로 측정하며, 음의 로그 노먼은 해당 벡터 노먼에 의해 측정된 점 사이의 거리가 f ${\displaystyle f}$의 작용에 따라 시간에 따라 감소하고 있음을 의미한다$.$es 위상 공간에 있는 모든 지점들 중에서 경계는 된다. 따라서 모든 궤도는 결국 같은 지점으로 수렴되어야 한다.

러셀 스미스, 마이클 리, 제임스 멀다니의 자율적인 융합 이론은 비슷한 방식으로 작용하지만, 그들은 위상 공간의 2차원 형상 영역이 시간이 지날수록 감소한다는 것을 보여주는 것에 의존한다.이것은 모든 닫힌 루프가 한 점까지 줄어들어야 하기 때문에 주기적인 궤도는 존재할 수 없다는 것을 의미한다.시스템이 경계로 되어 있다면 푸그의 폐쇄 보조정리법에 따르면 혼란스러운 행동도 있을 수 없기 때문에 모든 궤도는 결국 평형에 도달해야 한다.

마이클 리는 또한 불변 다지관을 포함하는 동적 시스템에 적용할 수 있는 확장된 자율 수렴 정리를 개발했다.^[5]

메모들