바나흐 고정점 정리

수학에서 바나흐 고정점 정리(수축적 지도정리 또는 수축적 지도정리라고도 한다)는 미터법 공간 이론에서 중요한 도구로, 미터법 공간의 특정 자기맵의 고정점의 존재와 고유성을 보장하며, 그러한 고정점을 찾는 건설적인 방법을 제공한다.피카르의 연속 근사법을 추상적으로 정리한 것으로 이해할 수 있다.^[1]이 정리는 1922년 처음 명기한 스테판 바나흐(1892~1945)의 이름을 따서 지은 것이다.^[2][3]

성명서

정의.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle (X,d)}$을(를) 전체 메트릭 공간으로 설정하십시오$$.그런 다음 $지도{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:$${\displaystyle \mathrm{X}}$$\to X}$이(가) 다음과 같은$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle q\in [0,1)}$이(가) 있으면 X에 대한 수축 매핑이라고 한다.

${\displaystyle d(x),T(y)\leq qd(x,y)}$

모든${\displaystyle }x$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$, y ${\displaystyle \in }$ X$.${\$displaystyle x,y\in$ X$.}$

바나흐 고정점 정리.Let ${\displaystyle (X,d)}$ be a non-empty complete metric space with a contraction mapping ${\displaystyle T:X\to X.}$ Then T admits a unique fixed-point ${\displaystyle x^{*}}$ in X (i.e. ${\displaystyle T(x^{*})=x^{*})}$. Furthermore, ${\displaystyle x^$${*}}$ can be found as follows: start with an arbitrary element ${\displaystyle x_{0}\in X}$ and define a sequence ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ by ${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ for ${\displaystyle n\geq 1.}$ Then ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{}}$${\displaystyle n_{}}$= $∗{\$}=x$^\{*\}\}\}\}\}\}.$

비고 1.다음의 불평등은 등가하며 수렴 속도를 설명한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{정렬}}}$

q의 어떤 그러한 값도 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 대해 립스키츠 상수라고 불리며$,$ 가장 작은 값을 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 "최고의 립스키츠 상수"라고 부르기도 한다$.$

비고 2. (( ), T( ), ( x , ) , ${\displaystyle d(T(x), T(y)}$ ($d)(x,y)}$ 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle y}${\$displaystyle x\neq$ y$}$에 대해 일반적으로 고정된 지점이 존재하는지 확인하기에는 충분하지$$ 않다.

${\displaystyle T:[1,\inflt )\to [1,\inflt )]\,\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}\}$

고정된 포인트가 없는.However, if ${\displaystyle X}$ is compact, then this weaker assumption does imply the existence and uniqueness of a fixed point, that can be easily found as a minimizer of ${\displaystyle d(x,T(x))}$, indeed, a minimizer exists by compactness, and has to be a fixed point of ${\displaystyle T}$. It then easily는 고정 지점이 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 모든 반복 시퀀스의 한계라는 것을 따른다$.$

비고 3.실제로 정리를 사용할 때 가장 어려운 부분은 $일반적$으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 적절하게$$ 정의하여 T${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle T(X)\subseteq X.}$을(를) 만드는 것이다.

증명

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in$ X$}$을(를) 임의로 설정하고$$ x_n = T(x_n−1)를 설정하여$$ 시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ n )${\displaystyle {}_{}{}_{}{n}_{}}$ ${\displaystyle {\{}_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$을 정의하십시오.우리는 먼저 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$, ${\displaystyle n\in \mathb {N}$에 대해 불평등이 있음을 주목한다$.$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n}\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})).}$

이는 T가 수축 매핑이라는 사실을 이용하여 n에 대한 유도에 의해 뒤따른다.그러면 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$)${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$이(가) Cauchy 시퀀스임을 보여줄 수 있다.특히 $m{\displaystyle }$, ${\displaystyle n\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ N ${\$를) m > n:

${\displaystyle{\begin{정렬}(x_{m},x_{n})&,\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\&,\leq q^ᆳd(x_{1},x_{0})+q^ᆴd(x_{1},x_{0})+\cdots +q^ᆵd(x_{1},x_{0})\\&, =q^ᆶd(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\&, \leq q^ᆺd(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty}q^{k}\\&, =q^ᆾd(x_{1},x_{0})\left({\frac{1}{.1-q}}\right cm이다.\end{정렬}}}$

ε > 0을 임의로 하도록 한다.q ${\displaystyle \in }$ [0, 1) 이후, ${\displaystyle 우리}$는 큰 N $bb$ N {\$displaystyle N\in$\mathb ${N}$을(를) 찾을 수 있다$$.

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}}{d(x_{1},x_{0}}}}.}$

따라서 N보다 큰 m과 n을 선택하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

이것은 순서$({\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$N ${\${N$}}}}}}}$이(가) Cauchy임을 증명한다$$.(X,d)의 완전성에 의해, 시퀀스는 ${\displaystyle \mathrm{한계}}$ x${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$^{*}\in X.}$ 게다가$$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$은(는) T:의 고정점이어야 한다$$.

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infit }x_{n}=\lim _{n\to \infit }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \puty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

수축 매핑으로서 T는 연속적이므로 T 내부에 한계를 가져오는 것이 정당화되었다.마지막으로, 구별되는 고정점 p와₁ p의₂ 쌍은 T의 수축과 모순되기 때문에 (X,d)에 고정점을 둘 이상 가질 수 없다.

${\displaystyle d(p_{1}), T(p_{2})=d(p_{1},p_{2})=d(p_{1},p_{2})=qd(p_{1},p_{2}).}$

적용들

• 표준 적용은 특정 일반적인 미분 방정식에 대한 해결책의 존재와 고유성에 대한 피카르-린델뢰프 정리의 증명이다.미분방정식의 추구하는 솔루션은 연속함수를 연속함수로 변환하는 적절한 적분 연산자의 고정점으로서 표현된다.바나흐 고정점 정리는 이 적분 연산자가 고유한 고정점을 가지고 있다는 것을 보여주기 위해 사용된다.
• 바나흐 고정점 정리의 한 가지 결과는 그 정체성의 작은 립스치츠 동요가 바이립스치츠 동형상이라는 것이다.Ω은 바나흐 공간의 오픈 세트 E이며, let I : Ω → E는 ID(내부) 맵을 나타내며, g : Ω → E는 상수 k < 1의 립스키츠 맵이다.그러면

1. Ω′ := (I+g)(Ω)는 E: 정밀하게 Ω의 어떤 x에 대해서도 B(x, r) Ω 1이 B(I+g)(x), r(1-k) Ω⊂;
2. I+g : Ω → Ω′은 바이립시츠 동형상이다.

정밀하게 (I+g)⁻¹는 상수 k/(1-k)의 Lipschitz 지도가 h인 I + h : Ω → Ω′ 형식이다.이 결과의 직접적인 결과는 역함수 정리의 증거를 산출한다.

• 그것은 뉴턴의 연속적인 근사 방법이 효과가 있다고 보장되는 충분한 조건을 제공하는 데 사용될 수 있으며, 체비셰프의 세 번째 주문 방식도 이와 유사하게 사용할 수 있다.
• 적분 방정식에 대한 해법의 존재와 고유성을 입증하는 데 사용할 수 있다.
• 내시 임베딩 정리에 증거를 주는 데 사용할 수 있다.^[4]
• 반복성을 중시하기 위한 해법의 존재와 고유성, 정책 반복성, 강화학습의 정책평가 등에 활용할 수 있다.^[5]
• 그것은 쿠르노 경쟁과 ^[6]다른 역동적인 경제 모델에서 평형의 존재와 독특함을 증명하는데 사용될 수 있다.^[7]

대화

바나흐 수축 원리에 대한 여러 대화가 존재한다.다음은 1959년부터 체스와프 베사가 때문이다.

f : X → X는 각각의 반복 f가ⁿ 고유한 고정점을 갖는 추상적인 집합의 지도가 되게 한다.$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle q\in (0,1)$그러면$$ X에 f가 수축성이고, q가 수축 상수인 완전한 메트릭이 존재하게 된다.

실제로 매우 약한 가정은 그러한 종류의 대화를 얻기에 충분하다.예는 독특한 고정 소수 점 a와 T1위상 공간, 만약 f:X→ X{\displaystyle f:X\to X}는 지도 들어 그러한 그들이 각 x∈ X{\displaystyle Xx\in}우리가 가지fn())→ 다음 이미 존재하는에서 성취도가 X로 존중하기 위해서는 f을 충족하는 조건의 바나흐 수축 원리를 수축 상수 1/.2.^[8] 이 경우 측정 기준은 사실상 초경량이다.

일반화

여러 가지 일반화가 있다(그 중 일부는 즉각적인 골관이다).^[9]

T : X → X를 완전한 비메트릭스 공간에 대한 지도가 되게 한다.그 다음, 예를 들어 바나흐 고정점 정리의 일부 일반화는 다음과 같다.

• T의 일부 반복 T가ⁿ 수축이라고 가정해 보자.그러면 T는 독특한 고정점을 가지고 있다.
• 각 n에 대해 모든 x와 y에 대해 d(Tⁿ(x), Tⁿ(y) y cd_n(x, y)와 같은 c가_n 존재한다고 가정하고,

${\displaystyle \sum \sum \sumimits _{n}<\nfty .}$

그러면 T는 독특한 고정점을 가지고 있다.

어플리케이션에서 고정점의 존재와 고유성은 흔히 표준 Banach 고정점 정리를 통해 지도 T를 수축으로 만드는 적절한 측정지표를 선택하여 직접 보여줄 수 있다.실제로 베사가의 위의 결과는 그러한 지표를 찾아보라는 것을 강력히 시사하고 있다.일반화를 위한 무한 차원 공간의 고정 점 이론에 대한 기사도 참조하십시오.

다른 종류의 일반화는 예를 들어, 측정지표 개념에 대한 정의 공리를 약화시킴으로써 측정지표 공간 개념의 적절한 일반화로부터 발생한다.^[10]이들 중 일부는 이론 컴퓨터 과학의 프로그래밍 의미론에서와 같은 응용 프로그램을 가지고 있다.^[11]

참고 항목

메모들

참조

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Banach Contraction Principle and Applications". Fixed Point Theory in Metric Spaces. Singapore: Springer. pp. 1–23. doi:10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
• Chicone, Carmen (2006). "Contraction". Ordinary Differential Equations with Applications (2nd ed.). New York: Springer. pp. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory: An Introduction. The Netherlands: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7. 7장을 참조하십시오.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. New York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 바나흐 고정 포인트 정리 자료가 통합되어 있다.