뒤바꾸기법

Back-and-forth method

수학 논리학, 특히 집합 이론과 모델 이론에서, 등·후방법은 특정 조건을 만족하는 헤아릴 수 없을 정도로 무한한 구조들 사이의 이형성을 보여주는 방법이다.특히 라는 것을 증명하는 데 이용될 수 있다.


조밀하게 정렬된 세트에 적용

일례로, 비록 이것이 게오르크 칸토르의 원래 증거는 아니었지만, 칸토르의 이형성 정리를 증명하는 데 이등변형 방법을 사용할 수 있다.이 정리는 두 개의 무한 카운트 가능 밀도 선형 순서가 이형성이라는 것을 명시하고 있다.[1]

라고 가정해 보자.

  • (A, ≤)A 및 (B, ≤)B는 선형적으로 배열된 집합이다.
  • A와 B는 모두 한이 없다. 즉, A와 B는 최대 또는 최소 중 어느 것도 가지고 있지 않다.
  • 두 멤버 사이에 다른 멤버가 있는 경우, 두 멤버의 순서가 밀접하다.
  • 그것들은 헤아릴 수 없이 무한하다.

기본 세트의 열거형(반복 없음) 수정:

A = { a1, a2, a3, a, ...},
B = { b1, b2, b3, b, ...}.

이제 우리는 A와 B의 일대일 서신을 구축하는데 그 서신은 엄격히 증가하고 있다.처음에 A의 어떤 멤버도 B의 어떤 멤버와 짝지어지지 않는다.

(1) a가i B의 어떤 멤버와도 아직 쌍을 이루지 않도록 가장 작은 인덱스가 되도록 한다.b가j A의 어떤 멤버와도 아직 쌍을 이루지 않고, a가i 쌍을 엄격하게 늘려야 한다는 요구조건과 일관되게j b와 쌍을 이룰 수 있도록 j를 어떤 지수로 두자.a와i b를j 짝지어라.
(2) j는 b가j A의 어떤 멤버와도 아직 쌍을 이루지 않도록 가장 작은 인덱스가 되도록 한다.a가i B의 어떤 멤버와 아직 쌍을 이루지 않고, b가j 쌍을 엄격하게 증가시켜야 하는 요건과 일관되게i 쌍을 이룰 수 있는 어떤 지표가 되게 하라.b와j a를i 짝지어라.
(3) 다시 (1) 단계로 돌아간다.

(1)단계와 (2)단계에서 요구되는 선택이 실제로 요건에 따라 이루어질 수 있는지 여전히 점검해야 한다.예로서 단계(1)를 사용:

만약pi B에 각각p b와qq b에pq 해당하는p a와q a가 있다면, 우리는 밀도를 이용하여p b와q b 사이에j b를 선택한다.그렇지 않으면, 우리는 B가 최대도 최소도 없다는 사실을 이용하여 B의 적절한 크고 작은 요소를 선택한다.단계 (2)에서 이루어지는 선택은 일 년에 한 번 가능하다.마지막으로, A와 B는 셀 수 없이 무한하기 때문에 셀 수 없이 많은 단계를 거쳐 공사가 끝난다.우리는 모든 전제조건을 사용해야 한다는 것을 주의하라.

역사

Hodges(1993)에 따르면:

뒤바뀌는 방법은 흔히 캔터, 버트랜드 러셀, C. H. 랭포드 [...]로 귀속되지만, 이러한 귀속성을 뒷받침할 증거는 없다.

촘촘히 주문된 세트에 대한 정리가 칸토르(1895년) 덕분인 데 반해, 지금 증명되고 있는 등·후방법은 에드워드 버밀레이 헌팅턴(1904)과 펠릭스 하우스도르프(1914년)에 의해 개발되었다.후에 그것은 모델 이론에서 롤랜드 프레이제(Roland Fraïssé)에 의해 가장 두드러지게 다른 상황에 적용되었다.

참고 항목

참조

  1. ^ Silver, Charles L. (1994), "Who invented Cantor's back-and-forth argument?", Modern Logic, 4 (1): 74–78, MR 1253680