베이트만 함수

수학에서 베이트만 함수(또는 k-function)는 해리 베이트만(1931년)이 연구한 결합초기하함수의 특수한 경우다.^[1][2] 베이트만은 다음을 통해 정의했다.

${\displaystyle k_{n}(x)={\frac {2}{\pi }\int_{0}^{\pi /2}\cos(x\tan \tan \theta -n\d\theta },d\ta }$

바테만은 테오도르 폰 카르만이 난류^[3] 이론에 나타난 다음과 같은 미분 방정식의 해결책을 요구했을 때 이 기능을 발견했다.

${\displaystyle x{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}=(x-n)u}$

그리고 베이트만은 해결책의 하나로 이 기능을 찾았다. 바테만은 이 기능을 테오도르 폰 카르만에게 경의를 표하여 "k"함수로 표현했다.

이것은 약동학에서 사용되는 같은 이름의 다른 기능과 혼동해서는 안 된다.

특성.

• ${\displaystyle k_{0}(x)=e^{- x }}$
• ${\displaystyle k_{-n}(x)=k_{n}(-x)}$
• ${\displaystyle k_{n}(0)={\frac {2}{n\pi }}\sin {\frac {n\pi }{2}}:}$
• ${\displaystyle k_{2}(x)=(x+ x )e^{- x }}}}}$
• ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k_{n}(x) \leq 1}$의 실제 값$$n {\$displaystyle$n$$} $및{\displaystyle }$x {\$displaystyle$x}
• ${\displaystyle {}_{}}$$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$()의 경우, n ${\displaystyle$ $k_{2n}(x)=0}($n)이 양의$$ 정수인 경우, x< 0$(\displaystyle x<0})$에 대해$$ 0$(\displaystyle$ $n)$이(가)임
• ${\displaystyle k_{1}(x)={\frac {2x}{\pi }}}[K_{1}(x)+]$$K_{0}(x)],\ x<0$ 여기서 ${\displaystyle {Kn}_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle K_{n}(-x)}$은 두 번째 종류의 수정된 베셀 함수다.

베이트맨 및 관련 기능에 대한 최근 조사는 4를 참조하십시오.

대형 순서 및 인수의 베이트만 및 해블록 함수의 점증적 확장에 대해서는 최근 E-프린트 5를 참조한다.

참조

4. A. 아펠블랫, A. 콘시글리오와 F. Mainardi: "Bateman 함수는 90년 후 재방문됨 – 이전 및 새로운 결과에 대한 조사", 수학(MATI), Vol 9(2021), 1273/1-27; DOI: 10.3390/math9111273 E-print ArXiv:2104.08596

5. R.B. 파리: "대규모 질서와 논쟁의 베이트만과 해블록 함수의 점증적 팽창", E-프린트 arXiv:2109.00529