결합초기하함수

수학에서 합체초기하함수는 합체초기하 방정식의 해법으로, 3개의 정규 특이점 중 2개가 불규칙한 특이점으로 합쳐지는 초기하 미분 방정식의 퇴행형이다. 혼합물이라는 용어는 미분 방정식 계열의 단일한 점들을 합친 것을 의미한다. 혼합물은 "함께 흐르기"를 위한 라틴어다. 혼합물 초기하 함수의 일반적인 표준 형태는 다음과 같다.

• 금메르(1837)가 도입한 금메르(confluid hypergeometric) 함수 M(a, b, z)은 금메르 미분방정식의 해법이다. 이것을 제1종류의 합체초기하함수라고도 한다. 같은 이름을 가진 서로 다르고 관계없는 쿠머의 기능이 있다.
• 프란체스코 트리코미(1947년)가 도입한 트리코미(합성초기하학) 함수 U(a, b, z)는 때때로 ψ(a; b; z)로 표기되기도 하는데, 쿠메르 방정식의 또 다른 해법이다. 이것은 제2종류의 결합초기하함수라고도 한다.
• 휘태커 함수(Edmund Taylor Whittaker를 위한)는 휘태커 방정식의 해법이다.
• 쿨롱파함수는 쿨롱파 방정식의 해법이다.

쿠메르 함수, 휘태커 함수, 쿨롱파 함수는 본질적으로 동일하며, 기본적인 함수나 변수의 변화만으로 서로 다르다.

쿠메르 방정식

쿠머의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+(b-z){\frac {dz}-aw=0,}$

정규 단수점을 z = 0으로 하고 불규칙 단수점을 z = ∞으로 한다. 그것은 두 개의 선형 독립 솔루션 M(a, b, z)과 U(a, b, z)를 가지고 있다.

제1종 M의 쿠메르 함수는 (Kummer 1837)에서 도입된 일반화된 초지하계 계열로, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {a^{(n)z^{n}}}}}{b^{n}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

여기서:

${\displaystyle a^{(0)=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)\...}$

상승 요인이다. 이 용액의 또 다른 일반적인 표기법은 φ(a, b, z)이다. 다른 두 개의 상수가 고정된 상태에서 a, b 또는 z의 함수로 간주되는 이 정의는 b = 0, -1, -2, ...을 제외하고 a 또는 z의 전체 함수를 정의한다. b의 함수로서 비양 정수의 극을 제외하고 분석적이다.

a와 b의 일부 값은 다른 알려진 함수의 관점에서 표현할 수 있는 솔루션을 산출한다. #특수 사례 참조. a가 양수가 아닌 정수일 경우, 쿠메르의 함수(정의된 경우)는 일반화된 라구에르 다항식이다.

1의 단수점이 ∞의 단수점을 향해 이동함에 따라 합체 미분방정식이 초지하방정식의 한계인 것처럼, 합체 초지하함수는 초지하함수의 한계로서 주어질 수 있다.

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infit }{}{}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

그리고 결합초기하함수의 많은 특성들은 초기하함수의 특성들의 사례들을 제한하고 있다.

쿠머의 방정식은 두 번째 순서가므로 다른 독립적 해결책이 있어야 한다. 프로베니우스 방법의 지시 방정식은 쿠메르 방정식에 대한 파워 시리즈 용액의 최저 출력이 0 또는 1 - b라는 것을 알려준다. w(z)가 되도록 놔두면

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

그 다음 미분 방정식이

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

z를^1−b 나누고 단순화하면

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}+(2-b-z){\frac {dz}-(a+1-b)v=0.}$

즉^1−b, zM(a + 1 - b, 2 - b, z)은 m(a, b, z)이 1보다 작은 정수가 아닌 것처럼 b가 1보다 큰 정수가 아닌 한 해법이라는 뜻이다. 우리는 또한 프란체스코 트리코미(1947년)가 도입하고 때로는 ψ(a; b; z)로 표기된 트리코미 합금 초기하 함수 U(a, b, z)를 사용할 수 있다. 위와 같은 두 가지 해결책의 조합으로 정의되어 있다.

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\감마(1-b)}{\감마(a+1-b)}}}M(a,b,z)+{\frac {\감마(b-1)}{\감마(a)}}{1-b(a+1-b,2-b,z)}$

정수 b에 대해서는 이 식이 정의되지 않았지만, 연속성에 의해 어떤 정수 b까지 확장될 수 있다는 장점이 있다. z의 전체 함수인 쿠머의 기능과 달리 U(z)는 보통 0에서 특이점을 가진다. 예를 들어, b = 0이고 a ≠ 0이면 γ(a+1)U(a, b, z) - 1은 z가 0이 될 때 아즈 ln z에 무증상이다. 그러나 전체 함수(폴리노말)인 일부 예는 #특수 사례를 참조하십시오.

쿠메르의 방정식에 대한 솔루션 zU^1−b(a + 1 - b, 2 - b, z)는 솔루션 U(a, b, z)와 동일하다는 점에 유의하십시오. #Kummer의 변환을 참조하십시오.

실제 또는 복합 a와 b의 대부분의 조합에 대해, 함수 M(a, b, z)과 U(a, b, z)는 독립적이며, 만약 b가 비양수 정수여서 M(a, b, z)이 존재하지 않는다면, 우리는 zM^1−b(a+1-b, 2-b, z)을 두 번째 솔루션으로 사용할 수 있을지도 모른다. 그러나 a가 비양수 정수이고 b가 비양수 정수가 아니라면 U(z)는 M(z)의 배수가 된다. 그 경우에도 zM^1−b(a+1-b, 2-b, z)이 존재하고 다른 경우 제2의 솔루션으로 사용할 수 있다. 그러나 b가 1보다 큰 정수일 때는 이 용액이 존재하지 않으며, b = 1이면 존재하지만 U(a, b, z)와 M(a, b, z)의 배수인 경우, 이 경우 두 번째 용액은 다음과 같은 형태로 존재하며, a가 b보다 작은 양의 정수일 때를 제외하고 모든 실제 또는 복합적인 a와 모든 양의 정수 b에 유효하다.

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{k=0}^{\infit }C_{k}z^{k}}}}}}}}}}}}$

a = 0일 경우 대안으로 다음을 사용할 수 있다.

${\daystyle \int _{-\infit }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

b = 1이면 지수 적분₁ E(-z)이다.

a-b가 음의 정수이고 b가 1보다 작은 정수일 때도 비슷한 문제가 발생한다. 이 경우 M(a, b, z)은 존재하지 않으며, U(a, b, z)는^1−b zM(a+1-b, 2-b, z)의 배수다. 두 번째 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infit }C_{k}z^{k}}}}}}}}}}}}}{k}:{k}}}}}}}}}}}}$

기타 방정식

결합초기하학 함수는 일반적인 형태가 다음과 같이 주어진 확장된 결합초기하학 방정식을 풀기 위해 사용될 수 있다.

${\dplaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+(b-z){dw}}-\{dw}}-\좌(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\m}\오른쪽)w=0}$ ^[1]

M = 0의 경우 또는 합계가 단 하나의 항만을 포함하는 경우, 전통적인 결합물 초기하 방정식으로 감소한다는 점에 유의한다.

따라서 결합초기하학 함수는 확장된 결합초기하학 방정식으로 변환될 수 있기 때문에 변수 계수가 모두 z의 선형 함수인 "가장" 2차 일반 미분 방정식을 푸는 데 사용할 수 있다. 다음 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+(C+Dz){dw}{dw}{dz}+(E+Fz)w=0}$

먼저 방정식을 다음과 같이 변환하는 A + Bz ↦ z의 치환을 사용하여 정규 단수점을 0으로 이동시킨다.

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}+(E+Fz)w=0}$

C, D, E, F의 새로운 값으로 다음으로 우리는 대체품을 사용한다.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\\sqrt{D^{2}-4F}z}$

그리고 방정식에 동일한 인자를 곱하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

누구의 해결책인가.

${\displaystyle \exp \left(1+{\frac {D}{D}{D^{2}-4F}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

여기서 w(z)는 쿠머와 쿠머의 방정식에 대한 해결책이다.

${\displaystyle a=\좌측(1+{\frac {D}{\sqrt {D}{D^{2}-4F}\우측){\frac {C}{2}}-{\sqrt{D^{D}-4F}},\qquad b=C.}$

제곱근은 가상 또는 복잡한 숫자를 제공할 수 있다는 점에 유의하십시오. 0이면 다른 용액을 사용해야 한다.

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

여기서 w(z)는 결합초기하 한계함수를 만족하는 것이다.

${\displaystyle zw"(z)+Cw'(z)+\좌측(E-{\\tfrac {1}{2}}CD\우측)w(z)=0.}$

아래에 설명한 것처럼 베셀 방정식도 결합초기하함수를 사용하여 해결할 수 있다.

적분표현

Re b > Re a > 0이면 M(a, b, z)을 적분으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\감마(b)}{\감마(a)}}}}}{0^{0}e^{1}^{zu}^{a-1(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

따라서 M(a, a+b, it)은 베타 분포의 특성 함수다. 양의 실제 부품을 가진 a의 경우 Laplace 적분으로 U를 얻을 수 있다.

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\감마(a)}\int_{0}^{0}{-zt}t^{a-1(1+t)^{b-a-1}\,d,\quad(\operatorname {re} \>0}$

적분은 오른쪽 반면 0 < Re z < π/2에 있는 용액을 정의한다.

반스 통합으로 표현될 수도 있다.

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}{\frac {\gamma (b)}{\gamma (a)}}}}{-i\inflt }^{\frac {\gamma(-s){\frma+s}{\\}}}}}}}}}}}}}}\c}\c}}}}}}}}}}감마(b+s)}}(-z)^{s}ds}$

여기서 등고선은 γ(-s)의 극의 한 쪽과 γ(a + s)의 극의 다른 쪽으로 통과한다.

점근거동

쿠메르의 방정식에 대한 해결책이 z → ∞으로 z의 힘에 대한 점증적이라면, 그 힘은 -a여야 한다. 이것은 사실 트리코미의 솔루션 U(a, b, z)의 경우다. z → ∞으로서의 그것의 점근거동은 적분표현에서 추론할 수 있다. z = x ∈ R인 경우, 적분에서 변수를 변경하고 이항 시리즈를 확장하고 기간별로 공식적으로 통합하면 x → ∞^[2]으로 유효한 점증적 시리즈 확장이 발생한다.

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\왼쪽(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}\오른쪽),}$

여기서 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ F ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot ;;}$- ${\displaystyle 1}$/ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle _{$$2$}$F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$은 1을 선행 용어로 하는 일반화된 초기하학 계열로, 일반적으로는 아무 곳에서도 수렴되지 않지만 1/x의 공식 파워 계열로 존재한다. 이 점증적 팽창은 실제 x가 아닌 복합 z에도 유효하며, arg z < 3π/2이다.

큰 z에 대한 쿠메르 용액의 점근거동은 다음과 같다.

${\displaystyle M(a,b,z)\심 \감마(b)\왼쪽({\frac {e^}z^{a-b}}{\감마(a)}}{\fraca(-z)^{-a}{-a}}}}}{\감마(b-a)}\오른쪽)}$

z의 힘은 -3π/2 < arg z ≤ π/2>를 사용하여 취한다.^[3] 첫 번째 용어는 a(b - a)가 유한할 때, 즉 b - a가 비양정수가 아닐 때, z의 실제 부분이 음의 무한대로 갈 때, 반면 γ(a)가 유한할 때, 즉 a가 비양정 정수가 아닐 때, z의 실제 부분이 양의 무한대로 갈 때 필요하지 않다.

쿠메르의 ez^za−b → -such로 ez에 점증하지 않는 방정식에는 항상 어떤 해법이 있다. 일반적으로 이것은 M(a, b, z)과 U(a, b, z)의 조합이지만 e^z(-1) ^a-bU(b - a, b, -z)로 표현할 수도 있다.

관계

다양한 주장을 위한 금머 함수와 그 파생상품 사이에는 많은 관계가 있다. 이 절에서는 대표적인 몇 가지 예를 들어 설명한다.

연속적 관계

주어진 M(a, b, z)에 대해 네 가지 함수 M(a ± 1, b, z), M(a, b ± 1, z)을 M(a, b, z)에 대한 연속이라고 한다. 함수 M(a, b, z)은 a, b, z의 관점에서 합리적인 계수를 갖는 두 개의 인접한 함수의 선형 조합으로 쓸 수 있다. 이것은 ()⁴
₂ = 6개의 관계를 부여하며, 오른쪽의 어느 두 줄을 식별함으로써 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aigned}}$

위의 표기법에서 M = M(a, b, z), M(a+) = M(a + 1, b, z) 등

이러한 관계를 반복적으로 적용하면 M형식의 세 가지 함수(a + m, b + n, z)와 m, n이 정수인 상위 파생상품 사이에 선형 관계를 갖게 된다.

미국에도 비슷한 관계가 있다.

쿠메르의 변신

쿠메르의 기능도 쿠메르의 변신과 관련이 있다.

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {}^{}(1\mathrm{}}$+ a${\displaystyle }$- ${\displaystyle b,}$ 2${\displaystyle }$- ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathrm{z}}$ )${\$right$)\}.$

곱셈 정리

다음과 같은 곱셈이 참이다.

${\displaystyle {\begin}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac{(t-1)^{i}z^{i}}}{i!}}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\frac (1-{{1}{t}\오른쪽)^{i}}{i!}}}}U(a-i,b-i,zt).\end{정렬}}}$

Laguerre 다항식 및 유사한 표현과의 연결

라게르 다항식(Laguere polyomials)의 관점에서 쿠메르 함수는 예를 들어 몇 가지 확장성을 가진다.

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$ (Erdélyi et al. 1953, 6.12)

특례

결합초기하함수의 특별한 경우로 표현할 수 있는 함수는 다음과 같다.

• b가 비양수 정수일 때 왼쪽이 정의되지 않는 일부 초등기능이 있지만, 오른쪽은 여전히 해당 쿠메르 방정식의 해법이다.

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(}$ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a}$, z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ z ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle e^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ d$$ {\$displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{$z}{\$infit }u^{-a}e^{-u}du}($a가 양수인 경우 다항)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma(b-1)}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma(b)}}}=z^{1-b}e^{z}}}}}}$

${\displaystyle }$비양수 정수 n에$$ ${\displaystyle \mathrm{대한}}$M${\displaystyle (n}$ ,${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle z}$ )$${\$displaystyle M(n,b,z)}$은 일반화된 Laguerre 다항식이다.

${\displaystyle U(n,c,z)}$ for non-positive integer n is a multiple of a generalized Laguerre polynomial, equal to ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$ when the latter exists.

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$ when n is a positive integer is a closed form with powers of z, equal to ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$ when the latter exists.

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}$

${\displaystyle 음}$이${\displaystyle \mathrm{아닌}}$ 정수 n에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$U$$${\displaystyle (}$ -${\displaystyle }$n${\displaystyle }$, ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ , ${\displaystyle z}$ ) {\$displaystyle$ U(-$n,-2n,z)$는 베셀 다항식(아래쪽 참조)이다.

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$ etc.

Using the contiguous relation ${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$ we get, for example, ${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.$$}$

• 베이트만의 기능
• 베셀 함수 및 에어리 함수, 켈빈 함수, 행클 함수 등 많은 관련 함수. 예를 들어, 특별한 경우 b = 2a의 경우 함수는 Besel 함수로 감소한다.

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}}\왼쪽({\tfrac {x}{2}}\오른쪽).}$

이러한 정체성을 쿠메르의 제2의 변혁이라고도 한다. 유사하게

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^/2}}:{\sqrt {\pi }}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

a가 양수가 아닌 정수인 경우 이는 2^−a_−a㎛(x/2)와 같으며 여기서 θ은 베셀 다항식이다.

• 에러 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• 쿨롱파 함수
• 커닝햄 함수
• 사인 적분, 로그 적분 등 지수 적분 및 관련 함수
• 헤르미트 다항식
• 불완전 감마 함수
• 라구에르 다항식
• 포물선 실린더 함수(또는 웨버 함수)
• 포아송-차리어 함수
• 토론토 기능
• 휘태커 함수 M_κ,μ(z), W_κ,μ(z)는 휘태커 방정식의 해법으로, 쿠메르 함수 M과 U로 표현될 수 있다.

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}:00}z^{\mu +{1}{1}:{2}}:Mu -\tfrac {1}{1}{1},1+2\mu ;z\rig)}}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}:z^{\mu +{\tfrac {1}{1}2}}:}U\왼쪽(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\오른쪽)}$

• 일반적인 p-th 원시 모멘트(p 반드시 정수는 아님)는 다음과^[4] 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right ^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\rigma ^{2}\right)^{p}\ft(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{1}:{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}:{2\sigma ^{2}}:\오른쪽)\end{liged}}}}}}}}$

두 번째 공식에서 함수의 두 번째 분기 컷은 (-1)과 곱하여 선택할 수 있다.^p

연속 분수에 적용

가우스의 지속 분수에 제한 인수를 적용하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

그리고 이 지속적인 분수는 폴을 포함하지 않는 모든 경계 영역에서 z의 용적함수로 균일하게 수렴된다.

메모들

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 13". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Chistova, E.A. (2001) [1994], "Confluent hypergeometric function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Confluent hypergeometric function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. MR 0058756.
• Kummer, Ernst Eduard (1837). "De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Latin). 1837 (17): 228–242. doi:10.1515/crll.1837.17.228. ISSN 0075-4102. S2CID 121351583.
• Slater, Lucy Joan (1960). Confluent hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. MR 0107026.
• Tricomi, Francesco G. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Series 4 (in Italian). 26: 141–175. doi:10.1007/bf02415375. ISSN 0003-4622. MR 0029451. S2CID 119860549.
• Tricomi, Francesco G. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (in Italian). 1. Rome: Edizioni cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936.
• Oldham, K.B.; Myland, J.; Spanier, J. (2010). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator. An Atlas of Functions. Springer New York. ISBN 978-0-387-48807-3. Retrieved 2017-08-23.

외부 링크

• NIST 디지털 수학적 기능 라이브러리의 결합초기하학 기능
• 울프램 기능 사이트의 금메르 초지하학적 기능
• 울프램 함수 사이트의 트리코미 초지하 함수