벨린스키-자카로프 변환

벨린스키-자카로프(역방향) 변환은 진공 아인슈타인의 자기장 방정식의 새로운 정확한 해답을 생성하는 비선형 변환이다.1978년 블라디미르 벨린스키와 블라디미르 자카로프가 개발했다.^[1]벨린스키-자카로프 변환은 역 산란 변환의 일반화다.이 변형에서 생성된 용액은 중력 용해제(중력 용해제)라고 불린다.중력 솔리톤을 묘사하기 위해 '솔리톤'이라는 용어가 사용되었음에도 불구하고 이들의 행동은 다른 (일반적인) 솔리톤과는 매우 다르다.^[2]특히 중력솔리톤은 진폭과 형상을 제때 보존하지 못해 2012년 6월까지 일반적인 해석을 알 수 없다.그러나 알려진 것은 대부분의 블랙홀(특히 슈바르츠실트 미터법과 커 미터법)이 중력 용해 특례라는 것이다.

소개

벨린스키-자카로프 변환은 폼의 시간 간격에 대해 작동한다.

${\displaystyle ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1}^{2}+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}}}}$

여기서 아인슈타인의 합계 규칙을 $a{\displaystyle }$ ,${\displaystyle }$b${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle a,b=2,3}$에 사용한다$.$ 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$와 행렬$$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle g_{}}$ = ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 모두 좌표 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystystyle$ $x$$^{$$0}$과 $1$에 의존한다고$$$$ 가정한다$.$두 가지 변수에만 의존하는 시간 간격의 특정한 형태임에도 불구하고, 그것은 슈바르츠실트 미터법, 커 미터법, 아인슈타인-로센 미터법 등과 같은 특별한 경우를 포함한 많은 흥미로운 해결책들을 포함하고 있다.

In this case, Einstein's vacuum equation ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ decomposes into two sets of equations for the matrix ${\displaystyle g=g_{ab}}$ and the function ${\displaystyle f}$. Using light-cone coordinates ${\displaystyle \zeta =x^{0}+x$$^{1},\eta =x^{0}-x^{1$ 행렬 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ g$}$의 첫 번째 방정식은$$

${\displaystyle(\explaystyle g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\expect g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는$)$ $g{\displaystyle }$ {\$displaystyle g}$의 결정 인자의 제곱근$,$ 즉

${\displaystyle \det g=\det ^{2}}$

두 번째 방정식은

${\displaystyle (\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1})}$

${\displaystyle (\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1})}$

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$에 대한 행렬 방정식의 추적을 보면 실제로 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 파형 방정식을 만족한다는$$ 것을 알 수 있다$$.

${\displaystyle \property _{,\zeta \eta \}=0}$

더 락스 페어

다음에$$ 의해 정의된 $선형{\displaystyle {}_{}{}_{}}$ D ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,$$D 2 {\$displaystyle D_{$1},$D_{$2}를 고려하십시오.

${\displaystyle D_{1}=\partial _{\zeta }+{\frac {2\alpha _{,\zeta }\lambda }{\lambda -\lapa }}}{\lambda }}}}}}}}}}}}}partial }}$

${\displaystyle D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +}}}{\lambda }}}}}{\lambda }}}}}}}}}partial }}}}}}}}}partalpha.$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 보조 복합 스펙트럼 파라미터다.간단한 계산을 통해 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 파형 방정식을 만족하므로$$ $[{\displaystyle \mathrm{D}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$D ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}]}$ = 0$${\$displaystyle \left[D_{1},D_{2}\right]=0}$.이 한 쌍의 운영자는 출퇴근하고, 이쪽은 Lax 쌍이다.

역 산란 변환 뒤에 있는 요지는 비선형 아인슈타인 방정식을 새로운 행렬 함수 $\psi {\displaystyle }$ =${\displaystyle \psi }$ ( ${\displaystyle \zeta ,}$ ${\displaystyle \eta }$ , ${\displaystyle )}$ )에 대한 방정식의 과도하게 결정된 선형 시스템으로 다시 쓰는 것이다.$$$\$디스플레이 $스타일$ \$psi =\psi (\zeta ,\eta ,\lambda )}.$ 벨린스키-자카로프 방정식을 고려하라:

${\displaystyle D_{1}\psi = {\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi }$

${\displaystyle D_{2}\psi = {\frac {B}{\lambda +\alpha }}\psi }$

$D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 첫 번째 방정식 왼쪽과$$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}의 두 번째 방정식 왼쪽에서 작동하고$$ 결과를 빼면 ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}와$$ $D{\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}의 공통성으로 인해 왼쪽이 사라진다.$스타일 D_{2$ 오른쪽 측면에 대해서는 짧은 계산을 통해 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$가 비선형 매트릭스 아인슈타인 방정식을 만족하면$$ 정말로 정확하게 소멸된다는 것을 알 수 있다.

$이$는 g ${\displaystyle$ g}이$($가) 비선형 행렬 방정식을 풀 때 과도하게$$ 결정된 선형 벨린스키-자카하로프 방정식이 정확히 동시에 해결 가능하다는 것을 의미한다. 실제로 단순한 제한 과정을 통해$$ 행렬 값 함수 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$에서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을 쉽게 복원할 수 있다.벨린스키-자카로프 방정식에서$$ 한계치 $\lambda {\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$을 취하고 오른쪽에서$$ $\psi {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$을 곱하면 도움이 된다.

${\displaystyle \cHB_{,\zeta }\cHB ^{-1}=g_{,\zeta }g^{-1}$

${\displaystyle \property_{,\eta }\property ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}$

따라서 비선형 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ 방정식의$$ 솔루션은 단순한 평가에 의해 선형 벨린스키-자카로프 방정식의 솔루션으로부터 얻어진다.

$(\displaystyle g(\zeta,\eta )=\displaystyle g(\zeta,\eta,0)}$

참조